Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Ограничение, накладываемое на плотность р и силу Г, принимает более специальную форму в общем случае, в котором массовая сила на единицу массы (Г) консервативна и может быть записана в виде — х Ч', где Ч' — потенциальная энергия на единицу массы, связанная с зтнм полем. В атом случае условие равновесия сводится к уравнению — р\~Ч' = 'ур, (1.4.3) или — после применения оператора ротора к его обеим частям— (~7р) х (ЧгЧ') =-О. Таким образом, поверхности постоянного уровня величин р и Ч' должны совпадать, и когда зто условие удовлетворяется, они представляют собой также поверхности постоянного уровня для давления р, и можно написать др~д Г.— р(тр).
(1.4.4) Частный случай, при котором ЧЧ' всюду имеет одно н то же направление, так что Ч', р и р постоянны на каждой из некоторого семейства параллельных плоскостей, имеет место при изучении земной атмосферы. Плотность элемента нсидкости может изменяться под влиянием приложенного давления, а танисе под влиянием других параметров, поэтому дальнейшее обсуждение применимости уравнения (1.4.3) требует дополнительных сведений о плотности р.
за Гл. 1. Фиоачоснио свойства жидкостей Однако з случае жидкости с постоянной плотностью решение уравнения (1.4.3) имеет простой вид р = ро — РЧ~ (1А.5) где ро — константа. Тело, плавающее в покоящейся жидкости Общее представление о плавании связано с твердым телом, частично погруженным в покоящуюся тяжелую жидкость со свободной горизонтальной поверхностью, хотя этот термин можно использовать и в более общем смысле. Говорят, что тело плавает, когда оно целиком погружено в жидкость (это может быть собственно жидкость или газ, обеспечивающие частичное погружение в обычной терминологии) и когда и тело, и жидкость находятся в состоянии покоя под действием объемных сил. Основной результат для плавающего тела выражается законом Архимеда, который обычно формулируется и доказывается для случая тела, поддерживаемого в жидкости выталкивающей силой, создаваемой действием силы тяжести на однородную жидкость, Это наиболее важная область приложения закона Архимеда, однако представляет некоторый интерес и более общая его форма, устанавливаемая ниже.
Предположим, что тело объема е', ограниченное поверхностью А, погружено в жидкость и что тело и жидкость находятся в покое. Результирующая сила, действующая на тело и обусловленная только наличием жидкости, равпа — ') рпо1А, где и — внешняя нормаль к поверхности тела. Давление р в жидкости определяется условием равновесия (1.4.2), и, используя обычную форму закона Архимеда, воспользуемся условием (1.4.2), чтобы выразить эту результирующую поверхностную силу через полную объемную силу, действующую на жидкость, если бы она заполнила пространство, занятое телом. Нам нужно узнать, каким образом жидкость может заменить тело,не нарушая равновесия и не изменяя условий в окружающей жидкости.
Определенный ответ можно дать в том случае, когда Р = = — ~Ч', где Ч' — заданная функция координат в пространстве. Поверхности постоянного уровня функции Ч' можно продолжить через область, занятую телом; постоянное значение, которое плотность р должна принимать на каждой поверхности уровня Ч', чтобы жидкость в этой области находилась в состоянии равновесия, совпадает со значением плотности р на той же самой поверхности уровня вне этой области. Другими словами, мы получили поле плотности жидкости, которая может заполнить пространство, занятое телом. 36 5.6.
Двумерное тачевве в сужающемся влв расширяющемся канале т. е. величины а и Ке, кан и ожидалось, входят в решение в виде произведения а Ке. Поскольну параметр а Ке есть мера отношения сил инерции и вяэности в течении с почти параллельными линиями тока (т 4.8), то из (5.6 15) следует, что в случае чисто расходящегося течения относительная величина сил вязкости не может уменьшаться неограниченно по мере стремления числа Рейнольдса к бесконечности и ни при каких значениях Ке нельзя пренебречь силами вязкости. В другом предельном случае при Ке -+ 0 имеем 1 Г Ы/ 1 2 ~ 12 12 2 1~ (1 — 1)1 отсюда следует, что ни при каких условиях чисто расходящееся течение не может существовать при угле раствора стенок канала, превосходящем л. На рис.
5.6.4 показано изменение профиля скорости в чисто расходящемся течении при изменении параметра а Ке от значений а Ке (( 1 (параболический профиль) до значений, близких к максимальному (5.6.14). Эти профили были рассчитаны прямым интегрированием уравнения (5 6 8) (Миллсапс и Польгаузен (1953)). Для сравнения на рис. 5.6.4 показаны профили чисто сходящегося течения при тех же значениях ~ и Ке ~. В то время как для чисто сходящегося течения увеличение числа Рейнольдса приводит и образованию плоского участка профиля в центре канала с большими градиентами у стенок, для чисто расходящегося течения это приводит и увеличению расхода на оси канала с меньшими градиентами у стенок.
Предельный случай при с = 0 и Ке = Ке соответствует нулевому напряжению на стенке. Полный расход для этих профилей скорости О= ~ РйВ=- Ке ~ ~дЧ. — а -1 Ясно, что величина а~~к в интервале — оо ( аКе ( 10,31 изменяется с аКе приближенно по линейному закону (прн атом вблизи верхнего предела иКе = 10,31 она возрастает быстрее, чем по линейному закону). Решения длл комбинированных вытекающих и втекающих течений Проведенное выше рассмотрение распределения скоростей для чисто расходящегося (вытекающего) и чисто сходящегося (втекающего) течений позволяют заключить, что и при а Ке ) 10,31 377 ьл. 1.
шиаическке сяоиства жидкостей ( х» в)ге Р и с. 1.1.1. неоднородная жидкость в состоянии покоя под действпем силы тяжести н пентробежной силы. 1 — поверхности уровня Чт, р и р; Л вЂ” направление увеличения плотиостн р; а — равновесное положение одйородното шара; е — положеняе шара, в котОром он вытес. няет равновеликую массу жядкоети. Если теперь твердое тело (например, шар постоянной плотности) погружено в жидкость в этом вращающемся сосуде и находится в нем в состоянии покоя относительно стенок, то жидкость будет оказывать выталкивающее действие на зто тело. Возникает вопрос: может ли выталкивающая сила уравновешиваться такими же объемными силами (силой тяжести и центробежной силой), действующими на само тело? Другими словами, если тело помещено в определенном поло>кении в жидкость, будет ли оно оставаться в этом положении? Нужно найти такое положение центра шара, чтобы он вытеснял равную своей массу жидкости, чему (приблкженно) соответствует некоторое значение функции Ч' (рнс.
1.4.1); кроме того, в указанном положении шара па вытесненную им жидкость и на шар должна действовать одна и та же центробежная сила. Очевидно, что такое положение невозможно на любом расстоянии от оси вращения, так как вследствие наклона поверхностей одинаковой плотности на вытесненную шаром жидкость, если она имеет такую же массу, как и шар, действует большая центробежная сила. Следовательно, однородный шар будет смещаться в направлении оси параболоида вращения (на котором он должен находиться, чтобы вытеснить равновеликую массу жидкости) и придет в состояние покоя только на оси параболонда. Такое же рассуждение справедливо и для шара на свободной поверхности вращающейся жидкости, как для частного случая распределения плотности в зависимости от Ч'. 38 С4.
Механическое раннснесие жидкости С другой стороны, если плотность шара неодинакова, например, одна сторона шара тяжелее, то возможно, что полная центробежная сила, действующая на шар, будет больше силы, действующей на вытесненную им жидкость такой же массы; в этом случае шар будет двигаться в сторону от параболоида вращения, пока не достигнет стенки сосуда. 77окоящаяся жидкость под действием силы тяжести Случай, когда на жидкость действует только сила тяжести, одновременно и важен, и прост. Можно различать два крайних состояния. В первом рассматриваемая масса жидкости велика и изолирована и силы гравитационного притяжения жидкости создают объемную силу, действующую на любой элемент жидкости, как в случае газообразной звезды.
В другом крайнем состоянии рассматриваемая масса жидкости намного меньше массы окружающей ее среды и гравитационное поле в области, занятой жидкостью, приближенно однородно. В случае самотяготеющей жидкости имеем Р = — ~рЧс, где гравитационный потенциал Ч' связан с распределением плотности уравнением т~Ч' = 4лбр; (1.4.6) здесь с — гравитационная постоянная. Из уравнения (1.4.6) и условия (1.4.3) получаем уравнение для давления в покоящейся жидкости 17 ( — р) = — 4лСр. Р (1.4.7) и гсс вр1 — ~ — — ) = — 4лссгер. в ~р в.~ (1.4.8) 39 Кроме того, необходимо, как установлено ранее, чтобы поверхности постоянного уровня функций Ч', р и р совпадали. Записывая дифференциальный оператор в уравнении (1.4.7) в криволинейных координатах (не обязательно ортогональных), так чтобы поверхности уровня р совпадали с однопараметрическим семейством поверхностей, видим, что класс решений сильно ограничен.
Строгое перечисление возможных решений затруднительно, но единственно возможными, по-видимому, будут решения, в которых плотность р и давление р зависят только от 1) одной координаты прямоугольной системы координат, или 2) радиальной координаты цилиндрической системы координат, илн 3) радиальной координаты сферической системы координат, что соответствует симметричным «звездам» в однои, двух или трех измерениях. В последнем случае, описывающем сферическн симметричные распределения плотности н давления, уравнение (1.4.7) принимает вид Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
