Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Предварительно отметим, что, хотя наличие или отсутствие равновесия в классической термодинамике показывается на основании следствий контакта двух масс, каждая из которых однородна, в механике сплошной среды обычно приходится рассматривать такие состояния, в которых интенсивность представляет собой функцию координат. Очевидно, что явление молекулярного переноса при неравномерном распределении величины интенсивности в окрестности элемента поверхности приводит к результирующему потоку через элев1ент поверхности в веществе; однако вместо представления атой локальной неравномерности разностью значений интенсивностей по обе стороны элемента нужно придерживаться более общей точки зрения и представить ее в виде вектора градиента интенсивности в каждой точке поверхности.

Линейное соотношение между потоком и градиентом скалярной интенсивности Рассмотрим сначала случаи, в которых соответствующая интенсивность представляет собой скалярную величину (а именно количество отмеченных молекул или температуру), которую обозначим С (как это принято для концентрации). Предполагается, что С вЂ” непрерывная функция координаты х в веществе н, возможно, также времени ~, хотя время не будет оказывать явного влияния на процесс переноса в фиксированный момент времени.

Теперь результирующий поток величины, связанной со скалярной величиной С, через элемент поверхности в веществе на единицу ее площади представляет собой локальную величину, которая изменяется с изменением направления нормали и к поверхности элемента, точно так жв, как компонента некоторого вектора в направлении нормали и. Это формально следует из рассуждения, подобного тому, которое приводит к выражению (1.3.4) для напряжения: сумма направленных внутрь потоков через три ортогональные грани малого тетраэдра отличается от потока, 53 Гл. 1. Физические свойства зкидкостей выходящего из тетраэдра во внешнюю часть пространства через его наклонную грань, только на величину порядка объема тетраэдра.

Следовательно, результирующий поток (перенос в секунду) через элемент поверхности с площадью 6А и нормалью и равен произведению 1 пбА, где поток 1 зависит от х (и, возможно, также от времени з), но не зависит от нормали п. Наша задача состоит в том, чтобы установить соотношение между двумя функциями координат, С и й О прямом вычислении потока, исходя из рассмотрения молекулярного процесса, почти не может быть и речи для жидкостей и твердых тел, и лишь в случае газов (рассматриваемом в следующем параграфе) такое вычисление оказывается отчасти успешным. Требуется ввести некоторое предположение, и лучше всего независимое от действительного характера основного молекулярного механизма, чтобы оно было применимо для возможно широкого круга веществ. Это предположение, к изложению которого мы сейчас приступаем, первоначально основывалось на измерениях переноса в конкретных физических задачах и использовалось только в таких задачах, однако затем было обнаружено, что оно имеет более общее значение.

Первая часть нашего предположения заключается в том, что для достаточно плавного и постепенного изменения величины интенсивности С относительно некоторой точки в веществе поток 1 зависит только от локальных свойств среды и локальных значений С и ~7С. Идея здесь проста: перенос через элемент поверхности определяется движениями молекул и их взаимодействиями в окрестности элемента поверхности и во всей этой области величина С может быть аппроксимирована линейной функцией координат, если удовлетворяется некоторое условие: отношение ! — "!/!й! значительно больше характерной длины молекулярного движения или взаимодействия, как обычно и бывает на практике. Вторая часть предположения состоит в том, что для достаточно малых значений ( ~7С ( поток 1 изменяется линейно с изменением компонент вектора (7С.

Известно, что поток обращается в нуль в случае обращения в нуль (ЧС (, так что наше предположение можно выразить в виде (1.6А) ~еэ ' Как поток Д, так и производная дС/дхэ — векторы, а требование о том, чтобы™ соотношение (1.6.1) было справедливо при любом выборе системы координат, показывает, что коэффизз ент пере- 54 1,6. Явления переноса лося й,» представляет собой тензор второго порядка.

Коэффициент й»! зависит от локальных свойств вещества (т. е. от локального термодинамического состояния вещества) и, возможно, также ет локального значения С, но не от градиента т7С. С математической точки зрения соотношение (1.6.1) можно рассматривать как предположение о том, что в разложении вектора 1 в ряд Тейлора по компонентам вектора ~С члены второго и более высокого порядка малости пренебрежимо малы. Это общее предположение можно дополнить другими предположениями, опирающимися на известные свойства конкретных материалов. Для однородных материалов коэффициенты Й~» могут зависеть от координат точки только посредством зависныости от локального значения С; обращение направления вектора ~С должно приводить к обращению направления потока $, поэтому в рассматриваемом случае члены второй и других четных степеней ряда Тейлора для вектора 1 тождественно равны нулю.

Молекулярная структура многих материалов статистически изотропна '), и для них коэффициент Й»» должен иметь такую форму, чтобы свойства материала во всех направлениях были одинаковыми. Тогда любые ортогональные оси координат должны быть главными осями коэффициента Й;», а зто возможно только в случае йы йб!! (1.6.2) (Другиыи словами, можно утверждать, что в изотропной среде вектор 1 должен быть параллелен вектору ЧС, так как нет никаких оснований для выбора другого направления вектора 1 и это вновь подтверждает необходимость равенства (1.6.2) для йсл) Скалярный коэффициент й положителен, как принято в соотношениях (1.6.1) и (1.6.2), если считать поток положительным, когда он направлен по нормаЛи и, так как величина, связанная с величиной С, переносится против направления ее градиента. Проверка предположения (1.6.1), а также равенства (1.6.2) там, где это возможно, и определение области значений модуля фС(, в которой соотношение (1.6.1) верно,— это в основном задачи эксперимента.

Характер проверки изменяется в соответствии с той физической величиной, перенос которой рассматривается, однако для всех них линейная зависимость (1.6.1) оказывается достаточно точной для большинства известных или встречающихся на практике значений ~ЧС!. Исследование причин, по которым отклонения от постоянной интенсивности С обычно столь малы, что обеспечивают необходимую точность зависимости (1.6.1), требует рассмотрения сложного молекулярного механизма, и поэтому х» твердое тело с правильной н аииаотропиой нрясталлнчесиой струатурай представляет собой важное исключение; обнаружено, что в неяатормх кристаллах тепло распространяется быстрее в одних направчениях, чем ь других.

Но подобнме нсвлючения среди жндноатей, вотарме не обладают определенным молекулярным строением, являются весьма редвями. 55 Гл. 1. Фиавчесвие свойства жидкостей здесь мы ограничимся теы, что будем считать зависимость (1.6.1) эмпирической. Различные соотношения, соответствующие равенству (1.6.1) при различном выборе смысла интенсивности С, известны как определяющие уравнения, поскольку они выражают физические свойства рассматриваемого вещества. Уравнения ди44уеии и теплопроеодности е покоящейся иаотропной среде Выражение для потока в данном случае имеет вид 1 = — йчрС (1.6.3) в любой точке среды.

Из этого следует, что полный перенос в секунду рассматриваемой величины из объема вещества, ограниченного замкнутой поверхностью А с единичной (внешней) нормалью и, определяется интегралом — ~ йп ЧС ЫА = — ~Ч фЧС) ЫУ, (1.6А) где У вЂ” объем замкнутой области. Если известно, что переносимая величина удовлетворяет закону сохранения, то можно составить уравнение, описывающее зависимость интенсивности С от координат и времени. Это будет сделано в отдельных случаях, в которых С представляет собой относительное количество отмеченных молекул или температуру. Будем считать, что среда находится в состоянии покоя; позже (в 3 3.1) мы увидим, что для молекулярного переноса в движущейся жидкости необходимо внести некоторое изменение.

Если С вЂ” относительное количество отмеченных молекул в жидкой смеси, то справедлив простой закон сохранения. Число отмеченных молекул в объеме У жидкости равно ~СЛ ЛУ, где Х вЂ” полное число молекул на единицу объема, и оно может изменяться только вследствие переноса молекул через поверхность, поэтому '( С1У дую„Ч (йоЧС) И, Я ~'~ Ч. (У,ЮС) АУ = О, (1.6.5) где йо — значение коэффициента Й, соответствующее диффузии отмеченных молекул. Полная числовая плотность молекул в результате обмена отмеченных и неотмеченных молекул не изменяется, и ее можно считать постоянной.

Последнее соотношение справедливо при любом выборе объема К, целиком лежащего в жидкости, и поэтому подинтегральное выражение должно всюду 66. явления переноса обращаться в нуль, т. е. )у — = ~у (й~~7С). зС (1.6.6) Коэффициент 7сп зависит от локального состояния вещества и, возможно, от концентрации С (ввиду того, что на величину С могут оказать влияние молекулы, окружающие какую-либо одну отмеченную молекулу)„следовательно, в общем случае йо есть функция координат. Однако на практике градиент величины й„ обычно достаточно мал, и тогда соотношение (1.6.6) можно зависать в вриближенной форме — — х~~7аС, (1.6.7) т. е.

Характеристики

Список файлов книги