Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Отклонения от законов совершенного газа В этой книге не рассматриваются условия, при которых полученные выше соотношения не применимы с достаточной точностью к обычным реальным газам, однако имеет смысл отметить вкратце Гл. 1. Физические свойства жидкостей отклонения от законов совершенного газа, которые могут возникать при особых условиях. Эти отклонения бывают двух основных типов. Первые из них проявляются при больших плотностях и возникают вследствие взаимной близости молекул, вторые наблюдаются при высоких температурах и вызваны изменениями в структуре молекул. При больших плотностях на динамическое поведение молекулы влияют расположенные поблизости другие молекулы, и основная формула (1.7.2) для давления в газе нуждается в изменении. В этой формуле учитывается только поток количества движения по нормали к элементу поверхности, а теперь нужно добавить еще слагаемое, обусловленное силами, действующими в один и тот же момент времени между парами молекул по обе стороны от элемента поверхности.
Сила, приложенная к одной молекуле в любой момент времени со стороны всех молекул, расположенных на другой стороне элемента поверхности, пропорциональна числовой плотности молекул Л', поэтому полная сила, действующая через элемент (и направленная по нормали вследствие симметрии), будет пропорциональна Хв. Следовательно, давление Поток нормальной компоненты количества) Р= движения на единицу площади / ор ' где а — постоянная для данного газа, которая зависит от межмолекулярных сил. Если преобладают силы сцепления между молекулами, то а ) О.
Наблюдения указывают на то, что эффективное значение а убывает с увеличением температуры Т особенно потому, что по мере возрастания скоростей молекул все большую роль играют силы отталкивания в связи со все более глубоким взаимо- прониканием молекул в их силовые поля. Выражение для потока количества движения также нуждается в уточнении, так как оно получено в предположении, что вероятность прохождения молекулы через элемент поверхности не зависит от наличия других молекул. Если объем, занимаемый молекулами, уже не является пренебрежимо малой частью всего объема, то частота, с которой данная молекула пересекает элемент поверхности, становится больше, чем предполагалось, поскольку пространство, доступное молекуле, оказывается меньшим. С точностью до величин первого порядка по отношению к объему молекул можно получить возросшую частоту, с которой молекулы пересекают элемент поверхности, путем деления ее прежней величины на коэффициент 1 — Ьр (соответствующий одному и тому же числу молекул, движущихся независимо друг от друга в объеме, который уменьшается на величину Ь для каждой единичной массы газа); отсюда следует, что уточненная величина давления р, определяе- 1.7.
Отличительные свойства газов мая потоком количества движения молекул, принимает вид мы врт 1-Ьр = 1 — Ьр ' Здесь снова параметр Ь не является абсолютной постоянной, а уменьшается с увеличением температуры Т, поскольку прн более высоких скоростях молекулы подходят ближе друг к другу.
Таким образом, получаем уточненное уравнение состояния крг Р=1 ь ЛР (1.7.26) Однако здесь т — средняя масса частиц, из которых составлен газ, и она зависит от температуры и плотности (поскольку они влияют на равновесное соотношение между молекулами и атомами или между атомами и электронами), поэтому полученное уравнение 73 так называемое уравнение Ван-дер-Ваальса, которое наиболее известно среди различных попыток учесть «несовершенство» реальных газов. Рассуждения, на основании которых оно выведено, не вполне строги, однако установлено, что зто уравнение применимо при описании малых отклонений от уравнения состояния для совершенного газа. Для воздуха опытные значения коэффициентов а и Ь приблизительно равны 340 ' р,/р, 'и 340 ' 1/ро соответственно, причем значения рв и р, берутся при стандартных условиях.
Это уравнение непригодно для газов вблизи точки конденсации. Совсем другого рода отклонения от соотношений для совершенного газа возникают при очень высоких температурах, когда некоторые столкновения становятся настолько интенсивныыи, что может происходить диссоциация многоатомных молекул на отдельные атомы. Например, при нормальном давлении значительная часть двухатомных молекул кислорода диссоциирует при температуре 3 000' К, а азота — при 6 000' К. Следовательно, при температурах такого порядка воздух представляет собой смесь О, От, Х и Хз. При еще более высоких температурах может, кроме того, начаться процесс ионизации, и тогда в смесь добавятся свободные электроны.
Частицы такой газовой смеси могут быть прнблин<енно динамически независимы (во всяком случае, если не принимать во внимание электростатические силы, которые уменьшаются обратно пропорционально квадрату расстояния между молекулами), так что в этом смысле газ еще можно считать совершенным. При этом выражение для давления и соотношение между энергией поступательного движения и температурой все еще сохраняют силу, откуда, как и раныпе, следует в Вт.
Гл. 1. Физические свойства жидкостей состояния лишь внешне похоже на уравнение состояния совершенного газа. Кроме того, энергетические соотношения также нуждаются в уточнении, поскольку при диссоциации молекул и ионизации атомов поглощается энергия. Таким образом, внутренняя энергия газа зависит от состава смеси, а не только от одной температуры, что характерно для совершенного газа. Коэффициенты переноса в совершенном гаге Если некоторые параметры газа неоднородно распределены в пространстве и если эти параметры определяются величинами, которые связаны с отдельными молекулами и в некотором смысле сохраняются, то вследствие случайных движений молекул и неизменности их свойств с течением времени происходит сглаживание распределений параметров в пространстве.
Явления молекулярного переноса подобного рода существуют у всех жидкостей, как уже отмечалось в з 1.6. В случае совершенного газа можно оценить величину коэффициентов переноса (представляемых параметрами й11 в выражении (1.6.1)) путем фактического расчета переноса, обусловленного молекулами, движущимися независимо друг от друга.
Точный расчет коэффициентов переноса для газа сопряжен как с принципиальными, так и с математическими трудностями, и описание соответствующих методов и их результатов выходит за рамки данной книги '). В совершенном газе, находящемся в состоянии равновесия, распределение молекул по скоростям (см. (1.7.8)) изотропно. Следовательно, реакция газа на отклонение от состояния равновесия в виде пространственной неоднородности параметров газа не имеет какого-либо предпочтительного направления, и поэтому тензор коэффициента переноса Й1т определяется единственным скалярным параметром й, введенным в (1.6.2).
Предположим, что неоднородность газа связана с некой величиной, которая в процессе столкновения молекул сохраняется и значение которой для данной молекулы равно а; различные возможные интерпретации величины а будут даны ниже. Тогда вследствие свободного перехода молекул с характеристикой о и скоростью и и по нормали к элементу поверхности в газе происходит перенос этой величины (на единицу площади и в единицу времени), равной произведению и пд на число молекул в единице объема, и, таким образом, полный поток на единицу площади равен Лгп ва, >) Отсылаем чятателя к кинге: Чепмеп С., Каулянг т., Математяческая теоряя неояиоропных газов, ИЛ, М., 1960. Более простое изложеняо вопроса можно паата з работах по кинетической теории газов.
74 $.7. Отличительные свойства газов где д и Чд вычислены при определенном полоясении элемента, а à — промежуток времени, прошедший после столкновения. Еще одно грубое приближение, которое нужно сделать, заключается в толг, что время 1 можно заменить средним временем т между столкновениями. Тогда поток на единицу площади будет равен — Л'ти пп туд.
В этом случае изотропной среды вектор потока г направлен вдоль локального градиента величины д и поэтому величина вектора г равна потоку на единицу площади через элемент поверхности с нормалью и в направлении туд. Отсюда следует выражение вектора потока 1 = — 3 (1.7.27) в котором мы пренебрегли малыми различиями среднеквадратичных значений компонент скорости и.
Нельзя ожидать, что это выражение даст правильные численные результаты, но оно показывает, какие параметры влияют на коэффициенты переноса для совершенного газа. Характерным для этого выражения является произведение тиз, которое входит в выражения всех коэффициентов диффузии для совершенного газа. Можно написать произведение 75 причем осреднение производится по всем молекулам в окрестности рассматриваемого элемента.
Если локальная средняя (в том же самом смысле) величина д постоянна по всему газу, то статистически не может быть никаких данных, чтобы с определенным значеяием д связать тот или иной знак нормальной скорости и и, и поэтому полный поток равен нулю. С другой стороны, если величина д непостоянна, то молекулы, двюкущиеся в направлении возрастающих значений д, будут смешиваться с молекулами, имеющими величины д, меньшие их локального среднего значения. Направление движения молекулы становится совершенно случайным в пределах нескольких столкновений после заданного направления дви'кения, поэтому на поток может оказать влияние только изменение величины д в пределах нескольких длин свободного пробега молекул от рассматриваемой точки; иначе говоря, поток может зависеть только от локального градиента величины д, как и в более общем случае, обсуждавшемся в з 1.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
