Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 14
Текст из файла (страница 14)
1. Физические свойства жидкостей лен, однако его обоснованной мерой служит расстояние между центрами двух отдельных молекул, на котором межмолекулярная сила изменяет знак (см. 3 1.1). Для многих простых молекул этот эффективный диаметр дз находится в интервале (3 —: 4) 10 э см, так что средняя величина удаления молекул друг от друга в указанном выше смысле составляет величину порядка 10до. На этом расстоянии силы сцепления молекул, действующие между ними, столь малы, что большую часть своей жизни молекулы движутся свободно по прямым линиям с постоянной скоростью (мы предполагаем, что они электрически нейтральны). Понятие столкновения между двумя молекулами также точно яе определено, однако если определить столкновение как событие, происходящее всякий раз, когда одна молекула приближается к другой настолько близко, что действующая между ними сила становится отталкивающей, то можно вычислить среднее расстояние, проходимое молекулой между столкновениями и равное 8,3 10 л'Ыззи см, т.
е. 7 10 ' см, или 20Ыо с учетом приведенной выше оценки для Ио. Представление о газе как о скоплении молекул, движущихся почти свободно, исключая случайные столкновения, лежит в основе кинетической теории газов. В этой теории принято рассматривать свойства совершенного газа, молекулы которого не оказывают никакого силового воздействия друг на друга, не считая актов столкновений, н занимают пренебрежимо малый объем. (Частота столкновений молекулы стремится к нулю вместе с объемом молекул, однако она играет малую роль в теории и достаточно лишь знать, что некоторые столкновения происходят.) Из приведенных выше числовых данных кажется вероятным, что прн нормальных условиях реальные газы обладают свойствами, которые мало отличаются от свойств гипотетического совершенного газа, и наблюдения показывают, что это именно так; в действительности некоторые из эмпирических законов, открытые ранее при исследовании свойств газов, такие, как закон Бойля или закон Шарля, можно вывести как свойства совершенного газа.
Поэтому описание элементарных свойств газов целесообразно начать с изучения их отклонений от свойств совершенного газа. Мы, естественно, в полной мере используем мощные идеи и результаты классической термодинамики (з 1.5) и менее строгие результаты теории переноса (з 1.6). Выводы двух предыдущих параграфов не зависят от молекулярной структуры вещества, и плата за такую общность отчасти состоит в том, что в них было получено мало подробных и конкретных результатов.
Если теперь несколько снизить общность рассуждений и перейти к конкретным средам со сравнительно простой молекулярной структурой, таким, как, например, совершенный газ, то появится возможность получить значительно больше дополнительных результатов. 62 1.7. Отлачительвые свойства газов Совершенный сиз е равновесном состоянии Рассмотрим сначала покоящийся совер|пенный газ в состоянии термодинамического равновесия в смысле, указанном З 1.5: все параметры газа не зависят от координат и времени, так что процессов переноса нет. Предположим прежде всего, что все молекулы одинаковы и кансдая имеет массу ш = р!Л', где бс— числовая плотность молекул.
Хотя молекулы подчиняются динамическим законам, их так много, что можно дать соответствующее статистическое описание движения. Поэтому введем плотность распределения вероятностей; эту плотность для скорости молекул и обозначим г (и). Произведение у (н) бибобш есть вероятность того, что скорость данной молекулы в любой момент времени имеет компоненты, значения которых лежат в интервалах и и и + би, и и и+ би, ш и ш + бш; с другой стороны, произведение ~ (н) бибибш можно рассматривать как относительное количество молекул в данном объеме, которые в каждый момент времени имеют компояенты скорости в указанных пределах. Функция Г (н) тождественно удовлетворяет условию М Ц) ) (н) дий>йш=1.
Предпололсим, что столкновения молекул нарушают какое-либо заданное начальное распределение скоростей, так что в состоянии равновесия функция Г зависит только от модуля скорости ~п( и не зависит от вида молекул. Простое соотно|пение между давлением и средними параметрами молекулы служит хорошим примером того, что можно достичь в статистической модели совершенного газа. Для получения этого соотношения рассмотрим перенос количества движения молекул газа, движущихся в обоих направлениях через неподвижный элемент поверхности 6А с нормалью и.
Количество молекул, пересекающих в единицу времени элемент поверхности со скоростями, компоненты которых отличаются не более чем на би, би, бит от скорости н (переход молекул отсчитывается в ту сторону, на которой направление нормали и положительное), равно и пбАЛДн) бибобш; каждая из этих молекул переносит через элемент поверхности количество движения тп. Следовательно, полный поток количества движения через этот элемент в результате движения молекул равен рбА ~ Ц нн нг'(н) Ии й~ йо.
Благодаря симметрии распределения скоростей компонента этого потока количества движения в направлении касательной к эле- 63 Гл. 1. Фивические свойства жидкостей менту поверхности равна нулю и нужно рассматривать только компоненту по нормали к ней.
Кроме того, сила, действующая непосредственно между молекулами по любую сторону от элемента поверхности, равна нулю для совершенного газа, поэтому напряжение в газе порождается только потоком количества движения. Из этого следует, что напряжение в совершенном газе представляет собой нормальное давление р=рЦ) (и и)91(и)с(ис(нг(в=р~в и)', (1.7.1) где черточка означает среднее по всем молекулам в единице объема.
Среднее значение в (1.7.1) не зависит от направления нормали и, так что можно написать 1 р=- З рк'. Если в газе имеется несколько различных видов молекул, то подобное рассуждение справедливо для каждого из них отдельно; поэтому, применяя очевидные обозначения, получаем р = — уг~ р,вв = — Х (Полная кинетическая энергия поступательного движения молекул в единице объема). (1.7.3) Это рассуждение не дает давления газа на твердую границу, однако выражение (1.7.3) справедливо и на твердой границе, поскольку условия механического равновесия газа требуют, чтобы давление р было непрерывным всюду внутри газа (см.
(1.4.2)) и постоянным при отсутствии массовых сил. Функция распределения скоростей у (н) для каждой составной части газа является одной из фундаментальных в кинетической теории, и было предпринято много попыток найти ее вид для совершенного газа в состоянии равновесия. Ни один из имеющихся выводов полностью не свободен от различных предположений, хотя все они дают один и тот же результат, который также находится в удовлетворительном соответствии с наблюдением, и почти нет сомнений в его справедливости. Вероятно, наиболее удовлетворителен вывод с использованием методов статистической механики. Такой «метод наиболее вероятного состоянияв дает полезную дополнительную информацию, и здесь будут изложены общие результаты, полученные по этому методу!).
Указанные результаты касаются распределения вероятностей для всех параметров, необходимых для определения состояния молекулы, включая три компоненты количества движения моле- !1 описание етого метода см., например, в гл. 9 винти кеппагс е. и., к!пенс тьеогу с! Оавев, Мсегам-Н111, 1939 [см. также Ландау Л.
Д., Лившиц е. м., статиснвчееиаи сивина, »наума», М., 199«.— Р»д.1. 64 1.7. Отвичигеаъиыв свойства газов Се-изба>... баебре... бре (1.7.4) где постоянные С и а не зависят от д>,..., р,. Постоянную С можно определить из тождества С ~... ~ е-все(дг...
4(р.=14 (1.7.5) если знать зависимость энергии е от обобщенных координат д,,..., Р„причем интеграл в (1.7.5) берется по всевозможным значениям д„..., р,; постоянная С поэтому зависит только от вида молекул и от параметра распределения а. Выражение (1.7.4) широко используется и известно как классическое (т.
е. неквантовое) распределение Больц ана. Если на газ не действуют массовые силы, то энергия е, а следовательно, также и выражение (1.7.4) не зависят от координат д,, дз, д„поэтому плотность газа постоянна, как это и предполагалось ранее. Независимо от внутренней структуры молекулы можно написать, что энергия е= — ти +(Энергия, связанная с (е — 3) непоступательнымн з степенями свободы) = е е е (Ре + Ре + Рз) + Р (Чеэ ' ' ' е Чев Рм ' ' ' е Ре)е (1.7.6) и допустимые значения р>, рз и р, лежат в интервале от — со до оо. Интегрирование в (1.7.5) по р„рз и ре можно провести 65 5 — ОВ72 купы как целого. Если предполо>кить, что вращательные и колебательные формы движения молекулы описываются классическими законами (в действительности при некоторых условиях необходимо привлекать квантовую теорию, о чем речь пойдет ниже), то в целом состояние молекулы с г степенями свободы в каждый момент времени может быть представлено с помощью в обобщенных координат д„дз, .
> ., д, и соответствующих им г обобщенных импульсов р„рз,..., р;, координаты д„дз, де можно считать декартовыми координатами центра масс молекулы и тогда р, .= ти, рз — — ти, рз = ти>, а другие (в — 3) степени свободы относятся к вращательным и колебательным формам движения. В совершенном газе молекулы динамически не зависят друг от друга,так что в соответствии с данными значениями обобщенных координат и моментов существует полная энергия молекулы в„ включающая как часть энергию их поступательного движения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
