Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Если сделать грубое предположение, что в процессе свободного пробега молекула всегда имеет значение величины д, равное д в положении ее последнего столкновения, то значение д на поверхности элемента определяется разностью ч — й ~уд Гл. з. Фивнчесвие свойства жпдкоотей ти' в виде 1 (из)'/з, где 1 — некоторая средняя длина свободког(р пробега молекулы между столкновениями. Придадим теперь величине д различные конкретные значения. Если д равно единице для молекул определенного вида и равно нулю для других молекул в смеси газов, то д есть локально относительное количество отмеченных молекул, и оно совпадает с концентрацией С, введенной в з 1.6. Поток, определяемый выражением (1.7.27), представляет собой поток числа отмеченных молекул, и в этом случае выражение (1.7.27) эквивалентно оценке- коэффициента диффузии хо (см.

(1.6.3) и (1.6.8)), который имеет порядок тп', где т и из — средние величины для отмеченных молекул. Величина тпз для отмеченных молекул может отличаться от ее значения для неотмеченных молекул, и она уменьшается с увеличением молекулярного веса отмеченных молекул в газе при данной температуре.

Если д есть полная энергия молекулы, то в этом случае отношение 7/т представляет собой внутреннюю энергию единицы массы газа Е(Т) и поток, определяемый выражением (1.7.27), есть по существу поток тепла. Поэтому на основании выражения (1.7.27) коэффициент теплопроводности /сл, определенный в з 1.6 как поток телла через единицу площади на единицу локального градиента температуры (со знаком минус), имеет порядок — г)Е тпзр — = тпзрс„ ((У и соответственно коэффициент термодиффузни хя (см. (1.6.13)) имеет порядок ткзс,/ср. Если в качестве д взять компоненту количества движения молекулы в данном направлении в плоскости элемента поверхности в газе, совершающем простое движение сдвига, так что скорость газа изменяется только в направлении нормали к элементу поверхности, то отношение (//т равно скорости газа ь/, а поток, определяемый выражением (1.7.27) (которое, как предполагается в этом случае, применимо только лишь при одном выборе направления нормали к элементу поверхности), представляет собой касательную компоненту напряжения через элемент поверхности ').

Поэтому из выражения (1.7.27) можно установить, что коэффициент вязкости. жидкости (з, определяемый равенством (1.6.15) как касательное напряжение, разделенное на градиент скорости жидкости, з) Отметим, что отношение каеательпой компоненты напряжения к нормальной оцекнваетоя величиной порядка твкыз, которая, учитывая, что время т для воздуха при нормальных температуре и давленвн составляет пряблизвтельмо 10"'з еек, намного меньше единицы для обычно ветречаюшихея на прантике значений градиента скорости Иоып Однако воздействие напряжеимй на движение газа определяетея их грвдяентами (кзк следует, напрвмер, из (1.4.2)), а не ях абсолютной зеличяной, и, как будет показано, нормальная и паеательпая компонентм напряжений в дейетвятельйоети могут окааызать ераввимые влвявия ва движение гааа. 76 1.7.

Отличительные сяопстаа гааоя имеет порядок рупа, а кинематический коэффициент вязкости ы (см. (1.6.16)), он же коэффициент диффузии количества движения, имеет порядок тп'. Оказывается, что для совершенного газа все три коэффициента диффузии имеют вид произведения (Число порядка единицы) х тих (яли 1(пх)'/~) (1.7.28) (хотя при диффузии одной из составных частей смеси величины т и и' относятся к отмеченным молекулам, а пе ко всему газу в целом). К сожалению, величины т и / не вполне определены для реальных молекул, поскольку они требуют некоторого произвола при решении вопроса о том, что представляет собой столкновение молекул '). Вследствие этого из предложенной выше простой теории нельзя априори сделать точные выводы об абсолютной величине рассматриваемых коэффициентов диффузии; в действительности более полезно действовать в обратном направлении и определять величины т и 1, используя теорию и наблюдаемые значения коэффициентов диффузии.

Однако предсказание того, что коэффициенты диффузии отмеченных молекул (в случае самодиффузии), тепла и количества движения имеют одинаковый порядок величины, подтверя<дается опытом. Простая формула (1.7.29) хорошо согласуется с измерениями кинематического коэффициента вязкости ы и коэффициента диффузии кя для многих газов. Для воздуха эта формула дает ы/кя =- 0,74 при наблюдаемом значении 0.72. Измерениями установлено, что отношение р/кп (кэ— коэффициент самодиффузии) находится для большинства простых газов между 0,6 и 0,8. Представляет интерес также зависимость коэффициентов диффузии от абсолютной температуры и плотности, устанавливаемая оценкой (1.7.28).

Средняя величина па зависит только от температуры Т и изменяется по Т линейно. При данной температуре и, следовательно, при данном типе столкновений количество молекул в каждый момент времени в цилиндре единичной длины, который условно проходит молекула при ее свободном движении, пропорционально р, так что произведение 1р постоянно; по мере же увеличения температуры Т (и средней скорости молекул) можно ояеидать неболыпого уменьшения эффективного числа столкновечий молекулы на единице длины пробега, поскольку более отда- ') В более точном еараанте теории яепольауется термин яожречкое еещкие етохкяоееккя, которое предстааляет собой еьаектнакую площадь молекулы, относящуюся к «удаРяющед» молекуле и ааеасящую от межмолекулярных сал и скорости молекулы, а также от геометрических параметров отолкноаения.

77 Гл. 1. Физические свойства жидкостей ленные встречи молекул друг с другом уже нельзя будет считать столкновениями. Следовательно, долнено быть — змз Г~ ~ 1+ 1 (ий) р (1.7.30) где величина а учитывает влияние температуры на процессы столкновения и, как показали наблюдения, для воздуха в диапазоне температур 200 — 400' К она приблизительно равна 0,25. Измеренные значения коэффициентов диффузии и других параметров для воздуха при различных значениях температуры Т и плотности р приведены в приложении 1 в конце книги. Другие проявления отклонений совершенного гага от равновесного состояния 78 Если на границе массы совершенного газа поддерживаются однородные стационарные условия, то газ приходит в состояние равновесия с окружающей его средой посредством столкновений молекул друг с другом и с границей. Процесс столкновений представляет собой единственное средство, при помощи которого молекулы совершенного газа могут испытывать влияние условий на границе.

Тот факт, что среднее время т между столкновениями для данной молекулы не равно нулю, хотя оно чрезвычайно мапо (обычно около 10 'е сек для воздуха), означает, что состояние равновесия достигается не мгновенно и что если условия на границе непрерывно меняются, то в газе постоянно существует малое отклонение от равновесия. (Ранее уже было описано, каким образом условие своего рода постоянства некоторых молекулярных параметров при движении молекул между столкновениями и продолжающееся влияние состояний молекул в предыдущие моменты времени приводят к явлениям переноса.) Здесь мы кратко рассмотрим некоторые возможные следствия отклонений от равновесия на примере совершенного газа, который сжимается поршнем в цилиндре. Подобно простому движению сдвига, рассмотренному в з 1.6, этот специальный вид двингения газа имеет важное значение в общем анализе движений жидкости, о чем будет сказано позясе; цель настоящего рассмотрения состоит в выяснении физической природы поведения газа при сжатии.

Предполонеим, что масса газа в цилиндре равномерно и адиабатически сжимается поршнем. Внутренняя энергия газа увеличивается за счет работы, совершаемой внешними силами на границе, и влияние столкновений приводит к распределению мгновенной полной внутренней энергии по всем возможным формам движения молекул в соответствии с равновесным распределением Вольцмана (1.7.4).

Очевидно, что в одних формах движения столкяовения С7. Отличительные сиойства газов вызывают более быстрые изменения энергии, чем в других. Первый и непосредственный результат перемещения порп>ня сводится к увеличению энергии поступательного движения молекул в направлении движения поршня. Посредством столкновений часть этого приращения энергии распределяется на две другие поступательные формы движения, а также на вращательные и колебательные.

Подробные расчеты для конкретных законов взаимодействия при стоЛкновении молекул показывают, что равномерное распределение энергии между тремя поступательными формами движения достигается очень скоро после остановки поршня, фактически за время нескольких столкновений, как и можно было ожидать. Следовательно, поступательные формы движения молекул имеют врелзя релаксации для достижения равновесия обычно порядка 10 х' или 10 ' сек и на практике редко встречаются условия столь быстрых изменений, чтобы значения и', вз и и)з заметно различались ').

Если длина столба газа в цилиндре уменьшается с постоянной (отрицательной) скоростью раси>ирения е, то возникающие при этом различия между величинами и', рз и и)з должны быть порядка соответствующих величин, возникающих вследствие движения поршня при условии, что равновесное распределение не восстанавливается путем столкновений за время релаксации, которое для поступательных форм движения составляет величину порядка т.

За это время длина столба газа изменяется на малую величину те, и работа, совершаемая поршнем против сил давления порядка рпз при двингении газа, дает энергию на единицу объема газа порядка (1.7.31) рпзте, которая затем при отсутствии столкновений полностью переходит в поступательную форму по направлению движения поршня (по направлению отсчета и). Этим определяются разности между риз и риз или ри)з, представляющие собой нормальные напряжения в трех ортогональных направлениях. Эти малые разности, которые имеют такой знак, что они увеличивают сопротивление продолжающемуся движению поршня, оказываемое равновесной силой давления на каждой стадии процесса, и которые пропорциональны градиенту скорости в газе (е), представляют собой добавки к нормальным компонентам напряжения, возникающего в результате внутреннего трения.

Эти добавки связаны, хотя и не очевидно, с касательной компонентой напряжения, которая возникает под ') Однаио вследствие соображений, подобных изложенмым в прамечаиин на стр. >б. было бы неправвльио делать вывод, что зги различия вообже не имезм значении. 79 Гл. 1. Физические свойства жидкостей влиянием внутреннего трения в газе, совершающем простое движение сдвига. Как будет показано ниже, отклонение тензора напряжений от изотропной формы (соответствующей состоянию покоя) для любой жидкости при деформации общего вида с учетом используемой в з 1.6 гипотезы можно записать в виде линейной функции локальных градиентов скорости, которая содержит один скалярный параметр, а именно коэффициент вязкости )с.

Следовательно. оценка (1.7.31) разности между двумя нормальными компонентами напряжения эквивалентна оценке сил вязкости, имеющих порядок риат в соответствии с оценкой по молекулярной теории переноса. Перераспределение энергии вращательных и колебательных форм такнсе происходит с некоторым опозданием после передачи энергии поршнем, хотя и с несколько другими последствиями. Вращательные формы движения мпогоатомных молекул не столь быстро возникают при столкновениях между молекулами, как поступательные формы, и, когда поршень остановлен, потребуется значительно больше столкновений для дестин<ения равномерного распределения энергии между поступательными и вращательными формами.

Характеристики

Список файлов книги