Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 13
Текст из файла (страница 13)
как ураанение диффузии. Новый параметр ьо хп — —— Ж (1.6.8) называется коэффициентом диффузии отмеченной составной части смеси в окружающей ее жидкости, состоящей из неотмеченных молекул, и имеет размерность (Длина)а х (Время) ~. Ч (ЙНС7Т)б)г, где величина кв — значение )е, соответствующее теплопроводности,— называется коэффициентом теилопроеодноети. ТермодиваЙ»" Когда число молекул )У не зависит от координат, коэффициент диффузии хо равен потоку отмеченных молекул на единицу градиента числовой плотности отмеченных молекул.
В частном случае, в котором отмеченные и неотмеченные молекулы с динамической точки зрения подобны и, следовательно, движутся статистически одинаково, коэффициенты к и хо не зависят от С, и тогда хп называется коэффициентом еамодиффузии. Уравнение (1.6.7) относится к одному нэ основных типов линейных дифференциальных уравнений второго порядка с частными проиаводными, и решения таких уравнений при различных граничных и начальных условиях хорошо изучены а). Если С вЂ” температура, то можно воспользоваться законом сохранения энергии, учитывая, если нужно, как тепло, так и работу. Переносимой величиной является тепло, и, согласно равенству (1.6.4), скорость нагревания среды внутри малого объема 6Р вследствие переноса тепла через ограничивающую его.
поверхность равна (У, как обычно, обозначает температуру) Га. т. Физические свойства мивкостей мнческое состояние среды вследствие этого потока тепла постепенно изменяется, но если скорость этого изменения мала (при выводе основного соотношения (1.6.1) уже предполагалось, что это условие выполняется), то можно считать приращение тепла за малый промежуток времени бс на единицу массы подводнмым теплом бф которое рассматривалось при обсуждении в з 1.5 обратимых изменений, происходящих при переходе вещества нз одного равновесного состояния в другое, и, значит, 6Д = — Ч ((слИ') 6с (1.6.9) Р Часть этого подводимого тепла может пойти на увеличение внутренней энергии на единицу массы, а часть перейти в работу, совершаемую единицей массы, как это представлено соотношением (1.5.3) в случае работы, совершаемой при расширении против сил внешнего давления (этот случай несомненно наиболее важен в механике жидкости). В любом случае происходит возрастание энтропии единицы массы на величину Щ~Т (см.
(1.5.7)) и количество выделяемого дополнительного тепла можно выразить через приращения как температуры Т, так и давления р с помощью соотношения (1.5.20). Таким образом, из (1.6.9) и (1.5.20), заменяя 1Ь на плотность р и переходя от приращения всех величин к скоростям их изменения, получаем Т вЂ” = с — — — — = — ~7 ()сл~уТ). (1.6.10) дх дг бг др 1 дс еш Р ш Р Это наиболее общее уравнение, описывающее распространение тепла в покоящейся среде (не считая малых движений в результате теплового расширения). Среда может быть твердой, жидкой или газообразной, если только в ее внутренних точках действуют чисто нормальные напряжения.
Производные от температуры Т и давления р по с независимы, так же как их приращения бТ и бр в (1.5.20), а относительная величина обоих членов, содержащих эти приращения, будет зависеть от конкретных условий. На основании (1.5.21) было показано, что отношение этих двух членов имеет такой же порядок, как и отношение изменений удельных объемов и (или плотностей р), которые происходят в результате данных приращений температуры Т и давления р, происходящих независимо друг от друга. Если газ находится в движении, то при этом вполне возможны такие изменения температуры Т н давления р, которые будут соответствовать изменениям плотности р (при постоянном давлении р и температуре Т соответственно) на величины такого же порядка, Кроме того, для твердого тела, жидкости или газа, объем которых ограничен жесткими замкнутыми стенками и в которых температура 1.С.
Яалеяяя переноса (1.6.11) Из соотношения (1.5.10) видно, что левая часть написанного равенства может быть также представлена как скорость изменения энтальпии 1 в условиях постоянного давления. Когда коэффициент теплопроводности йн приближенно постоянен, уравнение для температуры имеет вид — = кп~~Т, д! (1.6.12) где дн кн = — ° рс, Это уравнение, называемое уравнением теплопроводности, совпадает по форме с уравнением диффузии среды в состоянии покоя.
Величину хн можно назвать коэффициентом термодиффуеии, который иавестеп также как коэффициент температуропроводности. Поскольку те области, в которых температура низкая, стремятся приобретать тепло путем теплопроводности, и наоборот, то влияние множителя Т в члене„содержащем энтропию в уравнении (1.6.11), сводится к увеличению роли приращения энтропии.
Вывод состоит в том, что полная энтропия термически изолированной массы, внутри которой температура не постоянна, увеличивается. В этом можно убедиться формально, переписав равенство (1.6.11) так: (1.6.1З) р д =йн (, ) +1у ° ~+ОТ); (1.6.14) интегрирование по различным элементам массы рбу дает д11дрдр=~й ( т '1 др)0 поскольку и ч Т = 0 всюду на граничной поверхности. Это необратимое изменение системы, образованной всей изолированной массой вещества, так как никакое изменение внешних условий не может привести к обратимому изменению состояния, а возрастание энтропии, связанное с внутренней теплопроводностью, под- изменяется со временем более или менее равномерно по всему веществу, очевидно, что изменения давления и температуры по отдельности могут привести к сравнимым изменениям плотности о.
Однако для покоящейся среды, имеющей возможность беспрепятственно расширяться, давление р постоянно, и для ограниченной покоящейся среды, в которой средняя температура, а, следовательно, также и давление, сохраняются приближенно постоянными, соотношение (1.6.10) записывается как дд дТ 1 Т вЂ” =ср — — — — ~7 ((снЧТ). т эд1 р Гл. т. Физические свойства жидкостей тверждает общее утверждение из 3 1.5 о том, что энтропия при аднабатнческом необратимом изменении состояния не может уменьшаться.
Однако процесс приобретения тепла малым элементом вещества за счет теплопроводности можно рассматривать как обратимое изменение системы, состоящей из одного этого элемента, подобно тому как это было сделано в рассуждении, приводящем к соотношению (1.6.10). Молекулярный перенос количества движения в жидкости оо' о~в = )г— нв (1 6,15) Перенос количества движения требует другого аналитического описания вследствие векторного характера переносимой величины. Однако, как уже говорилось ранее в этом параграфе, можно исследовать общие свойства переноса тепла и количества движения, осуществляемого отмеченными молекулами, накладывая некоторое ограничение на локальное распределение скорости их движения, а именно допуская только простое движение сдвига с поперечным градиентом скорости в определенном направлении.
В декартовой системе координат скорость жидкости в точке х, у, г при простом сдвиге имеет компоненты У(у), О, 0; рассмотрим напряжение, действующее на элемент поверхности, расположенный в плоскости (г, х). Касательная компонента этого напряжения не обращается в нуль из-за существования, во-первых, неравномерности скорости жидкости и, во-вторых, из-за взаимодействия молекул по обе стороны от элемента поверхности либо вследствие их движения через этот элемент, либо вследствие межмолекулярных сил, действующих через элемент. Рассуждения, приводящие к гипотезе о линейном соотношении между вектором потока и локальным градиентом скалярной интенсивности, можно применить, изменяя только обозначения.
Молекулярные взаимодействия распространяются только на малое расстояние, и молекулярный перенос количества движения через элемент поверхности обычно зависит от распределения скорости жидкости только вследствие изменения локального градиента йУИу (причем зависимость от скорости У невозможна, так как У изменяется при использовании движущейся системы координат). Кроме того, предполагается, что для достаточно малых значений градиента фУЯу ~ касательная компонента напряжения, действующего на элемент поверхности (т. е.
результирующий поток х-компоненты количества движения через элемент в единицу времени на единицу его площади), изменяется линейно по НУ/Иу. В обозначениях, принятых для напряжений в з 1.3, это означает, что 07, Отлкчвтезьвые евейетва газов где величина (е, коэффициент вязкости жидкости, зависит от ее локальных свойств. Этот поток количества движения получается в результате взаимодействия молекул при нх случайном и беспорядочном движении и имеет обязательно такое направление, чтобы происходило сглаживание неравномерного распределения скорости. Поэтому коэффициент положителен, как это следует нз (1.6.15) (и с учетом принятого в з 1.3 допущения о том, что произведение омнэ представляет собой силу, с которой жидкость действует на единицу площади той стороны элемента поверхности, к которой направлена нормаль и), и представляет собой меру внутреннего трения, препятствующего деформации жидкости.
Линейное соотношение (1.6.15) хорошо известно как эмпирическое выражение для касательного напряжения, возникающего в обычных жидкостях при простом сдвиге; установлено, что оно справедливо в неожиданно большом диапазоне изменения величины ~ ЫУ/йу (, который включает все значения, обычно встречающиеся в практике. Изучению влияния этого напряжения, вызываемого вязкостью, на распределение скорости жидкости должен предшествовать более полный анализ, который будет проведен в гл.
3. Однако уже теперь ясно, что величина, которая, подобно коэффициентам диффузии хо и хя, определяет способность молекулярного переноса сглаживать неравномерность соответствующей интенсивности (в данном случае скорости жидкости), вызывающей перенос, есть Р Величина т называется кинематичггн м коэффициентом вязкости, поскольку в ее размерность (длина)т Х (время) ' не входит размерность массы. Коэффициенты хо, хл и т выесте можно назвать коэффициентами диффузии массы, тепла и количества движония соответственно. 1.7.
Отличительные свойства газов Основная особенность газа, с которой связано большинство его характерных свойств, заключается в том, что молекулы газа находятся на большом удалении друг от друга и каждая молекула с динамической точки зрения изолирована от других молекул в течение большей части своей жизни. При температуре 0'С и давлении в одну атмосферу число молекул в одном кубическом сантиметре газа равно 2,69 10'в (оно называется числом Лопгмидта, а тот факт, что оно одинаково для всех газов, известен как закон Авогадро), поэтому, если бы молекулы были размещены в углах кубической решетки, расстояние между соседними молекулами было бы З,З 10 ' см. Диаметр молекулы точно не опреде Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
