Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Чтобы получить первое из ннх, отметим, исходя из (1.5.8), что всли о и Я рассматривать как два независимых параметра состояния, от которых зависят. Гл. 1. Фкакчсскке свойства жидкостей (1.5.13) (1.5 16) который играет важную роль при изучении действия силы тяжести на жидкость с неоднородной температурой. Введение энтропии дает возмолгность получить и другие выражения для удельной теплоемкости. В случае общей удельной 48 есе остальные термодинамические функции, то две частные производные от Е соответственно равны (д ) = — р, ( — ) =Т, (1.5.11) где нижним индексом отмечена перемонная, которая при дифференцировании сохраняется постоянной.
Вторую производную даЕ/додЯ можно получить двумя различными путями, приводя- шими к соотношению (1.5.12) Остяльные три соотношения имеют вид (1.5,14) (ЕГ)с (Ео)т (1.5.15) и могут быть получены аналогично путем вычисления второй производной двумя различными способами от функций Е+ро, Š— ТЯ и Е + ри — ТЯ соответственно. Можно показать, что онн получаются иначе из (1.5.12) по правилам нахождения частных производных от неявных функций. Например, поскольку температуру Т можно рассматривать как функцию давления р и энтропии Я, производную правой части соотношения (1.5.12) можно записать в виде (т), = ( —,), ( —.).
а для преобразования левой части соотношения (1.5 12) можно воспользоваться известным тождеством (~~).= — (~'. ), ( — '." ). для трех величин р, о, Я, связанных одним функциональным соотношением, откуда и получается искомое соотношение (1.5.13). Одна из производных в термодннамических соотношениях Максвелла определяет коэффициент теплового расширения жид- кости $.5. Классическая термедииамака теплоемкости имеем ВР Вл с— Вт дт' а для двух главных теплоемкостей (ср. выражения (1.5.5)) полу- чим ср — Т( — ), с,— Т( — ) (1.5.17) Кроме того, рассматривая энтропию Я как функцию темпера- туры Т и удельного объема р, находим ~~=( — „т) ЬТ+( — ) бр, так что а затем иа (1.5.17) и из соотношения Максвелла (1.5.15) следует, что ср — с,— Т( — ) ( — ) (1.5 18) Правая часть этого равенства может быть вычислена, если извест- но уравнение состояния, связывающее р, р и Т.
Другое выражение для разности (ср — с,), содержащее величины, которые можно измерить, получается с помощью тождества для трех величин р, р, Т, связанных одним функциональным соот- ношением, т. е. ср — с„= — Т( Р) ( — ') . (1,5,19) Наконец, получим выражения для приращений энтропии Я и внутренней энергии Е, возникающих вследствие малых изменений двух параметров состояния; зти выражения потребуются позднее при изучении потока жидкости с неоднородной температурой. Можно рассматривать энтропию Я как функцию температуры Т и давления р, откуда следует, что (эт) ЬТ+(~ ) ЬР, или, учитывая (1,5.17) и (1.5.14), получаем т Ь1 ( ат) ЬР' Следовательно, используя обоаначения для коэффициента теплового расширения (1.5 16), имеем ТЬБ = ЬЕ+ рбр = србТ вЂ” ррТЬР.
Гл. 1. Физические свойства жидкостей Ценность этого соотношения заключается в том, что все члены, за исключением ТЬЯ и ЬЕ, содержат только непосредственно измеримые величины. Приращения 6Т и бр в правой части равенства (1.5.20) независимы, и относительное значение двух членов, содержащих эти приращения, будет, конечно, зависеть от конкретных условий. Из (1.5.19) видно, что отношение двух членов правой части второго равенства (1.5.20) можно представить в виде де — ЬТ вЂ” Ьр дд т позволяющем часто сразу определить, какой из этих членов будет доминирующим.
Если коэффициент у/(у — 1) порядка единицы, как это обычно бывает для газов и большинства жидкостей, то сравнение двух членов сводится по существу к сравнению приращений величины и, которые могли бы быть вызваны по отдельности заданными приращениями температуры Т и давления Р.
1.6. Явления переноса Равновесные состояния вещества характеризуются равномерным распределением в пространстве всех его параметров, причем каждый элемент вещества находится в механическом и тепловом равновесии с соседними элементами. Если некоторые параметры вещества в исходном состоянии распределены неравномерно, то между соседними элементами вещества происходит механический или тепловой обмен, который всегда приводит вещество в равновесное состояние, т. е. стремится сгладить имеющиеся в нем неоднородности.
Существование этого стремления к равновесию в неоднородном веществе, которое в классической термодинамике принимается без доказательства, по-видимому, требует только, чтобы смежные части вещества взаимодействовали определенным образом. Характер этого взаимодействия может зависеть от молекулярного строения смежных частей вещества и от физических свойств процессов переноса, зависящих от конкретного параметра, который распределен неравномерно, однако тенденция к равновесию между взаимодействующими частями вещества имеет вполне общий характер и не зависит, как и все результаты классической термодинамики, от конкретного строения данного вещества.
Важный и общий результат обмена между двумя элементами вещества с различными параметрами состоит в том, что величина некоторого количества, удовлетворяющего закону сохранения, связанная с одним элементом, уменьшается, а величина, связанная с другим элементом, увеличивается. В целом ряд таких обменов составляет то, что называют явлением переноса. Три 1.6. Явления перенося основных вида этого явления — зто перекосы вещества (массы), энергии и количества движения.
Основное внимание в этом параграфе обращено на общие свойства этих трех видов переноса. Мы ке будем привлекать конкретные молекуляркые свойства вещества, хотя иногда яа иих придется ссылаться для удобства и выяснения природы молекулярного мехакизма переноса в жидкостях. В жидкой смеси, состав которой изменяется в зависимости от координат, возникает перенос вещества особого вида '). Предположим, что молекулы одной составной части смеси отмечены определенным образом. Все молекулы находятся в иепрерывиом хаотичном движении и вследствие этого имеют теидеяцию к удалекию от какого-либо иачалького положения. В таком случае если в некоторый момент времени количество отмеченных молекул вблизи одной стороны элемента поверхиости, проведенной в жидкости, больше чем ка другой, то случайное блуждаиие отмеченных молекул в обоих иаправлеииях через элемент поверхности приводит в общем случае к ненулевому потоку молекул через него; направление этого потока таково, что ок приводит к выравиивакию количества отмеченных молекул с обеих сторон от поверхности э).
Этот ненулевой поток одной из частей жидкой смеси, создаваемый перемещением самих молекул, порождает диффузию вещества (массодиффузиуо). Обсуждение этого весьма сложного явлеяия будет ограничено случаями малой концентрации диффукдирукицей части смеси. Перенос кинетической зиергии молекулярного движения осуществляется путем взаимодействия соседних молекул (или в результате столь малых расстояний ме)кду молекулами, что одна находится в пределах действия поля сил другой, как в случае твердых тел и жидкостей, или в результате случайных столкиовеиий, как в случае газа).
Условия, при которых происходит перекос только энергии молекул, т. е. тепловой зиергии, известиы из эксперимекта. Две массы жидкости, разделенные тонкой жесткой стенкой, провицаемой для тепла, находятся в тепловом равновесии, если функция состояния, иазываемая температурой, имеет одинаковые значения для этих масс; а если две температуры ие равны, то существует некоторый ненулевой поток тепла через ') Такой перенос наблюдается также н в твердом теле, например, в свлаве, состоящем ив молекул разных видов, поскольку молекула в твердом теле не сохраняет абсолютно одно и то же положение в решетке, хотя скорости переноса в твердом теле намного меньше, чем в жадности.
в) Можно было бы предположить, что условием ненулевого потока отмеченных молекул чвреэ влемевт поверхности являетс» различие ях числовой плотности (числа в едияяке объема) по обеим сторонам поверхности. Когда плотность жидкости постоянна, выбор между этими двумя условиями ненучевого потока не ямеет вначенвя. Но если плотность жидкости непостоянйа (что, как правило, влечет за собой танже и непостоянство температур), то стремление отмеченных молекул двигаться — путем хаотического двяжения— по отношению к неотмеченнмм молекулам проявляется в основном в результате неодинакового относительного колачества отмеченных и неотмеченных молекул по обеям сторонам поверхности, а ие вследствие неодянаковой их числовой плотяости.
4е Гл. 1. Физические свойства жидкостей границу в направлении убывания температуры. Удаление стенки, разделяющей эти две массы при одном и том же давлении, очевидно, не влияет на условие теплового равновесия или на направление указанного теплового потока в том случае, когда две температуры различны, хотя величина теплового потока изменяется ввиду того, что давления при отсутствии стенки должны оставаться одинаковыми. Этот поток энергии молекул, когда температура распределена неравномерно, создает тгплопроводногть.
Перенос количества движения молекул через элемент поверхности, движущейся с локальной макроскопической скоростью жидкости, возникает в том случае, когда молекулы пересекают поверхность, и он всегда происходит, если имеется сила взаимодействия между двумя группами молекул на обеих сторонах элемента поверхности. Суммарный эффект потока количества движения при прохождеяии молекул через элемент поверхности и снл, создаваемых между молекулами на его обеих сторонах, представляется в виде локального напряжения в жидкости.
Напряжение в какой-либо точке жидкости есть результат движения молекул и их взаимодействий в окрестности этой точки, поэтому если скорость жидкости постоянна в этой окрестности, то напряжение имеет вид, соответствующий покоящейся жидкости, и направлено по нормали к элементу поверхности при любой его ориентации. Если же скорость жидкости непостоянна в этой окрестности, то касательные напряжения могут быть отличными от нуля, Закон изменения векторной функции координат, например скорости жидкости, в окрестности какой-либо точки не очевиден и будет рассмотрен в гл.
2; напряжение, связанное с этим изменением скорости, будет полностью описано в гл. 3. Однако пока можно испольэовать понятие переноса количества движения в рамках предварительного обсуждения, ограничиваясь частным случаем (имеющим, однако, как будет установлено позже, фундаментальное значение), когда скорость жидкости по отношенвю к элементу поверхности (движущемуся вместе с жидкостью) расположена в его плоскости и имеет величину, которая изменяется только по нормали к этому элементу поверхности; такое движение называется простым сдвигом, кри котором плоскости жидкости, параллельные элементу поверхности, скользят как жесткие друг над другом.
В этих условиях очевидно, что если скорости жидкости по обе стороны элемента поверхности различны, то любое случайное взаимодействие молекул через этот элемент приводит к появлению касательной составляющей напряжения, а знак напряжения будет таким, который соответствует уменьшению разности скоростей по обе стороны от элемента поверхности. Перенос количества движения создает таким образом внутреннее взргяие, а жидкость, в которой проявляется внутреннее трение, называется вязкой. 52 $М. явления переноса Основные общие свойства всех трех видов переноса состоят з следующем: во-первых, результирующий поток некоторой величины (числа отмеченных молекул, тепла, количества движения) равен нулю тогда, когда связанная сией другая величина, характеризующая локальную интенсивность (долю отмеченных молекул, температуру, скорость жидкости), распределена равномерно в пространстве; во-вторых, направление движения ненулевого результирующего потока через элемент поверхности в веществе таково, что происходит выравнивание интенсивности по обе вго стороны, Приступим теперь к рассмотрению количественного соотношения между результирующим потоком и неоднородностью связанной с ним локальной интенсивности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
