Г.Ю. Риниченко - Лекции по математическим моделям в биологии 2011 (1123215), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Многие параметры оценивакпся в процессе фитирования (подгонки) — в качестве адекватных величин параметров выбириотся те, которые обеспечивают наилучшее соответствие полученных модельных кривых экспериментальным данным. Здесь мы рассмотрим математическую постановку и решение задачи идентификации параметров для двух простых примеров — комплекса из двух переносчиков (пример А) и замкнутой системы из трех переносчиков, содержащей один электрон (примеры В).
Процесс переноса электрона в фотосинтетической электрон-транспортной цепи описывается и-мерным вектором состояний (например, состояний комплекса ФРЦ) Х =(хи хь ...,х„) и и-мерным вектором наблюдений У =(уьуж ..., у„) по числу измеряемых характеристик, причем на показания измерительных приборов может накладываться шум С(г). Математическое описание процесса представляется в форме уравнения со- стояния 458 ПРИЛОЖЕНИЕ К ЛЕКЦИИ 22 Задача идентификации состоит в том, чтобы по данным наблюдений над вектором х'(Г) определить структуру уравнений состояния, оценить вектор неизвестных параметров а и вектор переменных состояния Х(г).
Будем считать, что структура модели уравнения (П1) известна. Пусть в точках гь ..., й проведены измерения уь..., уг с дисперсиями ~с,...,о'„'. Тогда оценки параметров могут быть получены путем минимизации суммы взвешенных квадратов: (ПЗ) 1 где и, = —. Получаемые этим методом оценки являются несмещенными. сгт ' Особенностью задач фотосинтетического электронного транспорта является большая разница характерных времен отдельных процессов.
При этом одна и та же переменная может иметь участки на экспериментальной кривой как «быстрого», так и «медленного» изменения. Это затрудняет прямое применение метода квазисгационарных концентраций и теоремы А. Н. Тихонова (лекция 6). В этом случае проводят численное интегрирование системы методами, предназначенными для расчета «жесгких» систем, описывающих как быстрые, так и медленные процессы в системе. Задача Коши является жесткой, если в локальной области задача устойчива, т.е.
собственные значения якобиана имеют отрицательные действительные части: йе(~) < О, йе( — 1, ) /йе( — 1,,„)»1. Может возникнуть ситуация, когда в локальной области якобиан системы уравнений имеет положительную действительную часть собственных значений. В таких случаях сама задача Коши перестает быть устойчивой. Поэтому необходима проверка системы уравнений на устойчивость, т. к, в случае неустойчивости решений нельзя требовать устойчивости численного метода.
Кроме условий устойчивости решений прямой кинетической задачи, для решения задачи идентификации следует проверить свойства наблюдаемости иидентифицируемости системы. При выборе объекта и построении моделей важно учитывать, что условия однозначной идентифицируемости установлены лишь для линейных систем с полностью наблюдаемым вектором сосгояний.
Рассмотрим эти свойства для обьектов, описываемых линейными дифференциальными или разностными уравнениями. Пусть система описывается уравнениями х=Ах, у=Нх. (П4) Здесь х — вектор состояния системы размерности л, у — наблюдаемый выходной сигнал, А, Н вЂ” матрицы соответствующей размерности. НАБЛЮДАЕМОСТЪ. ИДЕНТИФИЦИРУЕМОСТЬ. ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ 459 Объект называется наблюдаемым, если по измерениям выходного сигнала можно определить его состояние.
Необходимо найти условие, при котором по измерениям у можно определить х(0). (О) = Нх(0) левое изме ение Н(1) = НАх О) пе все изме ние У(п — 1) = НА х(0) (п — 1) -у измерение Или, транспонируя, имеем: [у'(О): у'(1): ...: у'(л — 1)) = х'(0)[Н': А': ...: А'" 'Н'). Так как векторы у известны — это измеренные значения на выходе системы, единственное решение х(0) существует только тогда, когда матрица [Н': А'Н': ...: Ам 'Н') имеет ранг л. В этом случае (А, Н) называются наблюдаемой парой. Объект называется идентифицируемым, если по измерениям координат состояния объекта можно определить матрицу системы А: х(1) = Ах(0) х(2) = А х(0) х(л) = А"х(0) или [х(1): х(2):...: х(л)1 = А'[х(0): Ах(0):...: А" 'х(0)).
Так как векторы у известны, единственное решение существует только тогда, когда матрица [х(0): Ах(0): ...: А" 'х(0)) имеет ранг л. Если система не наблюдаема, она не может быть идентифицирована, так как невозможна оценка параметров, относящихся к ненаблюдаемым состояниям. Пример А. Условия наблюдаемостпи и идентифицируемости для комплекса из двух переносчиков Состояние системы описывается вектором состояний х, компоненты которого х, суть вероятности состояний р; (1 = 1,4 ) комплекса [АВ]: ( ' ) А+В+ — 'А В (') ПРИЛОЖЕНИЕ К ЛЕКЦИИ 22 Система уравнений принимает вид — = — зсх +зс х„ ссх! 2 ' = — (Е, +1с, +)с )х,+зс,хз, с(с 'СЗЗС4 + 'С!Х! + 'С4Х2 + )'2Х4 42Хз 4 — = — зс х + зс л .
2 4 2 (П5) Наблюдаемой переменный является переносчик А в окисленном состоянии: у =х, +х,. В матричных обозначениях: х=Ах, у=Нх. (Пб) Здесь 0 0 о зС2 2 х, Н = Х4 Транспонированные матрицы А' и Н' имеют вид Н'= Матрица )х = 1Н' ! АН': А "Н': АсзН') будет иметь следующий вид: 1 — зс! зс +зсЕ, А, ! 4) ( ! 4) 4( 2 3) А24 0 0 — зСз(зС!+зСз+зС4) А24 0 0 зс lс А„ ! 2 ('с! + сз+'с4) зс! 244 0 сс, — зС! 442 2 ( ! 2 4) О Е, 0 0 зс, 0 4 ! з 4 2 НАБЛЮДАЕМОСТЪ. ИДЕНТИФИЦИРУЕМОСТЬ. ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ 4б! Приведем матрицу П к диагональному виду: !2+! ! !)„ !)24 ' 3 (!"1 + !43 + ~4) '~ 34 О 1 — /41 0 — /44 0 0 0 0 Здесь 423 2 3 ~Е (2! +Е +! ) (! +! +! )2 ! ! ~ ! ! (3 +! +2! +! /4, +!4,+)4, Отсюда следует, что ранг матрицы Р не равен 4 при следующих условиях: /42 = О, ИЛИ Й4 0 Илн )43 = 0 ИЛИ /41 + /43+ 44 — О, ИЛИ 342(2/41 +)сз+/44) — ((41 +/сз +/44)' — (к1 + )43+ )44)(/41 +/сз+ 2/43 + к4) = О.
(П7) Иными словами, система ненаблюдаема тогда и только тогда, когла выполняется равенство де1 П = О, что эквивалентно условию (П7). Это означает, что система ненаблюдаема только в некоторых специальных случаях, когда ее параметры связаны соотношениями (П7). В остальных случаях система наблюдаема. Исследуем условия идентифицируемости. Пусть в начальный момент времени компонент А восстановлен, а компонент  — окислен. Это означает, что х(0) = = 100 1 01.
Тогда матрица М = 1х(0): Ах(0); А х(0): А х(0)) будет иметь следующий вид: 12 13 3 23 М=О О 14,/с, М,л М24 Ми 1П81 0 0 0 — '()44 + !43 !42) + кзкз(!44 + кз !42) Щ 2 идентифицируема только тогда, когда 4)ет М = О. Это /42 = О, ! 3 = О, /42 — )41, lс4 + йз )42 — О. Таким образом, система переноса электрона в комплексе двух переносчиков ненаблюдаема и неидентифицируема лишь при выполнении специальных условий (П7, П8). В остальных случаях она идентифицируема по наблюдаемой переменной у, которая представляет собой степень окисленностн донорного компонента.
Пример В1. Наблюдаемость и идентифиз!ируеиость комплекса ФС! Схема переходов между состояниями имеет внд (схема 22.б): (,) РОА ОА О Р4А-АО (1 (2) Р А ОА2 Р+А ОА О (,) Система не эквивалентно условию: ПРИЛОЖЕНИЕ К ЛЕКЦИИ 22 Состояние системы описывается вектором х, компоненты которого соответствуют вероятностям состояний р,, рг.
Система уравнений с учетом условия замкнутости системы принимает вид хс(с-а+ с1)+'со(1 х1 х )' Нх, с1хг =Х,й, — Й,Хг. й Пусть наблюдаемыми являются переменные: ус = хс + хг (соответствует степени окисленности фотоакгивного пигмента) и уг —— хг (соответствует интенсивности замедленной люминесценции). Введем новые переменные: х, = х, + х,; х, = х,. Тогда в матричных обозначениях х=Ах, у=Нх. -()с + Ео) ()с, — Е,) 1 х, 1 0) Здесь А= ' ', х=, Н= . Имеем: 1с, — (/с, +)с,)~ х 0 1~ ()с-а + )со ))сс ! 0 . К,) (Е,.Е,) Первые два столбца матрицы линейно независимы, она имеет ранг 2. Следовательно, система всегда наблюдаема.
Проверим условие идентифицируемости. Пусть начальные условия соответствуют сосгоянию (3) на схеме 22.6; хс(0) = 1, хг(0) = О. Матрица М может быть записана в виде: ()с-а + ко) М= 0 — (ко+/с,,) Ее ранг равен 2, объект является идентифицируемым. Для относительно простых моделей переноса электрона в изолированных пигмент-белковых комплексах ФС11 выполнение условий наблюдаемости и идентнфицируемосги, гарантирующих достоверность однозначной идентификации, может быть проверено аналитически. В случае более сложных систем, в том числе нелинейных, для идентификации параметров приходится привлекать дополнительные критерии зависимости кинетических характеристик от режима освещения, температуры, ингибиторов и т. д. Задача поиска минимума заданного функционала (ПЗ) решается методами нелинейного программирования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
