Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 126
Текст из файла (страница 126)
Явствует из следствия 1 предложения ХП1 книги 1 при сопоставлепви его с предложениями УП1, ХП и Х1П книги П1. Следсяияле 1. Поэтому, если кометы движутся по замкнутым орбвтам, то эти орбиты аллиптические и времена их описания находятся в полукубическом отношении главных осей их к временам обращения планет. Вследствие этого кометы, находясь по большей части вне области планет и описывая орбиты с ббльшимв осями, обращаются в более продолжительно. Так, если ось орбиты кометы будет в 4 раза больше оси орбиты Сатурна, то время оборота кометы будет относиться ко времеви оборота Сатурна, т. е.
к 30 годам, как 4 ч4, т. е. кан 8 н 1, и составит 240 лет. Следсиише У. Орбиты комет будут поэтому настолько близки к параболе, что их можно принять параболическими без чувствительных погрешиостев. — 608— Слсдсвыме 3. Вследствие этого (по след. 7 предл.
Х ч'1 кн. 1) скорость всякой кометы всегда нзходится к скорости планеты, обращающейся около Солвцз по кругу, в отношении, весьма близком к корню квэдрзтвому из отношения удвоенного расстояния планеты до центра Солнца к расстоянию кометы до центра Солвцз. Примем рздиус орбиты Земли, иначе большую полуось того эллипса, по которому обращается Земля, зз 100000000 частей, тогда Земля проходит в среднем своем движении в сутки 1 720 212 1 частей и в чзс 71 675 —, поэтому комета, находясь в тиком же рзсстоянив от Солнца, кзк и Земля, будет обладать скоростью, относящеюся к скорости Земли, кзк 1/2: 1, и опишет в сутки прв своем движении 2 432 747 частей , 1 и в чзс 10134 — часта.
В оольшем же или меньшем рзсстоянви как су- 2 точное, тзк и часовое движение будет находиться к атому в отношении, равном коряв квздрзтвому из обрзтвого отношения рзсстоянвй, следовзтельно взйдется. Следсвпвле 4. Поэтому, если параметр параболы будет в 4 раза больше рздвусз земной орбиты и положить, что квадрат этого радиуса равен 100 000 000 частей, то площадь, опвсывзевзя рздиусом, проведен- 1 иым от кометы к Солнцу, в одни сутки состзввт 1 216 373 — части и в чзс 1 60 682 — таких чзстей. Если же параметр будет больше вли меньше, то площадь, онвсывземвя в сутки илн в чзс, будет также болыпе вли меньше в отношении корней кввдрзтвьгх из пзрзиетров.
Лепин Т Набиев вараболвчесяозо рода врмбую, юуоходяеяйао через какое-либо число задаяосым вюиея. Пусть этн точке А, В, С, Р, Ж, Р и т. д. (миг. 202), и из кзждой из вих опускзется перпендикуляр из какую-либо зздзнвую но положению прямую НХ, пусть эти перпевдикуляры суть: .Щ ВУ, СК РЬ, ЛМ, РХ,... Случая 1. Если рзсстоявия между точками Н,,Т, К, Ь, М, Ф,...
между собою равны, то, обозначая ординзты"' .4Н= у„ ыо При изложении этого лонезатезытза, ньиноновы обозначенвн завезены обнезупотребительныии теперь, чтобы легче было спереть за нодон сапого рассужлеаин, — 609— составляем их первые разности: Ьз Уа Уз< Ьв Ув Уз) Ьв Уа Уа~ Ь< = У< У<< Ьв = Уа У« затеи вторые: е,=Ь,— Ь,; с,=Ь вЂ” д,; с,=Ь,— Ь,; с,=Ь,— Ь„ третьи: И =е,— е <2 =е — е а а з> а ° в Ы =с — е в ы и продолжаем такам образом далее, пока ве дойдем до последней разности, которая в этом случае есть |;, так что получается такая таблвца: аг. Проведя затем какой-либо перпендикуляр В8, прввнмаем его за орднвату произвольной точки В коконов кривой, и пусть абсцвсса точки В равна х.
Абсциссы же точек Ы, Х, лв< Х,,...соответственно хы хв< ха< Х« и примем, что зсе разности хв — хз, хв — хз< х< — хв и т. д. равны 1. Положвм затеи: р=х — х в 1 ' 1 й = — р (х — х ) = — (х — х ) (х — х ) 2 2 1 1 г = — с (х — х ) = — (х — х ) (х — хз) (х — х~ 3 2 ° 3 1 1 е = — г(х — х ) = — (х — х ) (х — х,) (х — х,) (х — х,) 4 2 °,3.
4 1 1 С 8 (х х ) 2 3 (х х )(х х Н(х х Нх х<)(х хв) продолжая таким образом, пока ве дойдем до предпоследнего перпецлвкуляра; тогда будем иметь У=Уз-<-Ь<Р-<-евй-<-йзг-в-евз-в-~,л-<-... Производя это вычисление, надо обращать должное зввмавве на звакв. Уз Уа с, И, Уа с, <йв ев 1, У< Ув Уа Ь, еа е< <~в е, Случай 2. Когда же промежутки ОХ, Л?' и т. д. между тачками |?, Т, К, Ь,... между собою ке равны, тогда, составляя величавы Ь„Ь„..., вяло разности ординат делать на разности их абсцисс; составляя величины с„с„..., надо разности величии Ь делить на разности абсцисс, взятых через одну, составляя величины И„Ы„..., надо разности величин с делить ва разности абсцисс, взятых через две и т.
д., так что будет: н т. д. После того как зти развоств найдены, положив р=х — х 1 й = р(х — х,) =(х — х,)(х — х,) г= а(х — х,) =(х — х,)(х — х,)(х — х,) в = т (х †) = (х — х,) (х — х,)(х — х,) (х — х,) е = в(х — х,) = (и — х )(х — х )(х — х,)(х — х )(х — хь)1 будем иметь ам у = у -о- Ьь р -+- с, а -е- Йь т -о- е, в -+- ул л -е- Следствие. На основании етого могут быть ваходимы по приближению площади любых кривых, нбо если взять ва той кривой, плошадь которой ищется, какое-либо число точек н вообразвть, что через них проведена парабола, то плоШадь етой параболы будет приблвзитайьно равна вековой площадв кривой.
ПлоШздь же всякой параболы может быть всегда найдена по известным геометрическим способам. Лемма уХ |Уо несполавим местам пометы, известным ио наблюдениям, найеаи ее место в данное время. Пусть Ш,,УК, КЪ, |ЗГ,... (еиг. 202) представляют промежутки между наблюденвями, УИ, ХЗ, ХС, |Зь МŠ— пять наблюденных долгот ло1 Доиаэвтелъство этой оорпулы, капков самим Ньютовом, см. мою статъю «Беселы о способом опр»лелоиик орбит комет и клевет по малому числу ивблюлеивй».
В вва статье покровке разобрав и поковок примерамк способ Ньютона опреиелевик параболическил орбит у — и, Ь = — ' я,— х, Ь,— д, х,— х, х,— х, 2 ул ут х — х а 1 х — х 4 1 с — с, И = — '1 1 х — х, Ь =-' '' в т. д. и — в х,— х Ь вЂ” Ь х — х, — 611— кометы, НЯ вЂ” какое-либо заданное время, долгота в которое ищется.
Если вообрааить, что через точки .4, В, С, З, .Е проведена правильная кривая .4ВСЗЖ, и по предыдущей лемме вайти ее ордввату ВЯ, то ВЯ в представит требуемую долготу. По такому же способу по пяти заблюдеквым швротам вайдется широта для любого даквого времени. Если разяости взблюдевиых долгот малые, напр. 4' вли б', то достаточво трех илв четырех ваблюдений для получевия новой долготы и швроты. Когда же развости больше, напр. 10' или 20', то задо пользоваться пятью иаблюдеквямв. Лепка ч11 Через заданную жочку Р провести нрямую ВС гиок, чтобы ее отрезки РВ, РС, отсекаемые заданными но нолозяению нрямылт АВ и АС, накогкглись в данном друг к другу отношении.
От данков точки Р (авг. 203) проводится к одвой из данных прямых АВ какая-либо прямая РЭ в продолжается в сторону другой прямой л1С до точки Ж так, чтобы отпошевве РЖ к РЭ развелось заданному. Пусть .ЕС параллельва АЭ, тогда проведя СРВ в получим РС: РВ = РЖ: РЭ.
Лемма гШ Пусть АВС есть иарабола, имеющая своим фокусом Я. Хордою л1С, разделенной в точке У комолом, окгсекаегяся сегмент АВСТ, коею диаметр Ур. и вертина у.. На иродолокении,Тр. берется длина р.О, равная колоеине Хр.. Соединив ЯО, нродолягают ее до $ так, чтобы Яс было равно 2ЯО. Жели комета В движется но д1не СВА и нровесвги Щ кересекающую ЛСв Ж, жо я утверждаю, что точка.Е отсекает от кордьг 4С сегмент л1Е, игнгблимгтельно нрокорииокалыгый времени. Проводим .ЕО (евг.
204), пересекающую дугу параболы .4ВС в Х; в прямую иХ, касательную к яей е вершвве у. в пересекающую .ЕО з Х; тогда крвволивейкая площадь ЛЖХу А будет откоситься к кризолвкейиой площадв л1СУр.,1, как АЖ к л1С, а так как площадь треугольиика ЛЯЕ ваходится в таком же отношении к площади треугольника л1ЯС, то в — 612— отвошекие полкой площади ИЕХр..й к площади АЯСлрА равно.4Е к .вС, Так как ~О: ЯО = 3: 1 =.ЕО: ХО то ЯХ парзллельва ЕВ, и если провестя ВХ, то площадь треугольника ЯЕВ будет равна площади треугольввка ХЕВ.
Следовательно, если к площади ИЕХр.А придать площадь треугольника ЕХВ и вз суммы вычесть площадь треугольпвка ЯЕВ, то остается площадь .ИВХН и, равная площади АЯЕХу.А, значит так отяосящаяся к площади ЛЯСКО, как АЕ к .4С. Фиг. 204. Но влощздь йЯВХрА првблизвтельво равна площади АЯВУр 1, площадь же яЯВл'р,й относится к площадв.ИСл 1, как время описавия дуги АВ к времена описания всей дуга АС, следовательно отвошевве АЖ к .йС првблизительио равно отношению времен.
ПО УтЕВВЖ Если провести У4 пересекающую.аСв 3, в взять длину си так, чтобы было Ь: УВ = 27МУ: 16ЛР, и провестк Вм, то эта прямая рассечет хорду в отношение, гораздо более близком к отношению времен, нежели равее. Точва и располагается за точкою С, когда точка В более удалена от главной вершины параболы, вежели точка р., и по сю сторову, есле точка В ближе к главной вершкве параболы, иежелв р..
— б1й— Леива 1Х Длины Хр~, рМ и равны между собою. ьу,ус 4Я~а Ибо 4Яр. есть параметр параболы, принадлежащий вершвае р..ю' Леива Х .Яст ирямро Яр. иродолжтяь до точек лт и Ртак, чтобы р1т' было 1 равно — р Т и чтобы имела место нуокоркия 3 ЯР: ЯХ= ЯХ: Яр, то комета, дюлеаясь равномерно с такою скоросяюю, котоуую она имеет в удалении ЯР от Солниа Я, описала бы д»тну, равную корде 2 С, в такое же вуекя, в какое сна оиисывает сЪау .фС. Если бы комета с тою скоростью, которою оза обладает в точке р. (авг.
20б), А продолжала бы двигаться рав- фнг. 205, ноиеряо по прямой, касающейся параболы в этов точке, то плошадь, описыеаеиая радиусом, проводимым в точку Я, была бы равна параболической площади лтЯСр., описанной в такое же время. Следовательзо, провзведенве отрезка касательной, пройдеввого кометою, на длвпу Яр., относилось бы к провзведезию лтЗ ЯМ, как площадь МЯЛ. к площэдв треугольввка лЫС, т.
е. как ЯХ: ЯЛ; Поэтому 1С отяосатся к длине, пройдезной по касательеой, как Яр.: ЯХ Но так как е расстоязии ЗР скорость коветы (по след. 6 предл. Х ч1 кз. 1) отзосвтся к ее скорости з расстоявии Яр., как 1Яр: чЯР, т. е. как Яр.: Ялчг, то длина, описываемая в такое же время с этою скоростью, будет отвосвться к длзне, описанной по касательной, как Яре: Яльт, значит хорда л1С в длвва, описываеиая с этою новой скоростью, заходятся в одном и тои же отзошезви к длвпе, описываеиой по касательзой, следовательно ози равны между собою вж тет Эта лемма есть иовторение леммы ХШ ванги», в иримечавни и которой и даве ее дов«нателл«тле.
ше лагранж в своей «йййсаючие два!уячве» бнше лесе«он, й 2ей ирнведя таи вааывае- иуш еормулу Эйлера или Ламберто, которой выражается свнаь между временем, двумя радиу- — 614— Следствие. Следовательно, комета, двнгаясь равномерно со скоростью„ 2 которою она обладает в расстоявни 8р.-е- —,7(ь, описала бы хорду 1С приблнаиуельно в то же самое время, как н дугу параболы А(ьС. Лемма Хд лэсли бы кояева, ие обладаишбоя иикаатам двквкеиием, была бы му- 1 ибеиа е рассшояния 8))Т кли Вр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
