Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 127
Текст из файла (страница 127)
-г- — Т(л свободно кадаяаь иа Солнце, армчем иа иее продолжала би все время двйсввовакеь одинаково иеа сила, котяорая иа иее дейстявоваеа вначале, оиа ирокбла бы иутяь, равкий,у(д, в иродолже- савв-векторамя в хордою пря л;вяжевяя яомегы по маревые, говорит: авта яэощяая мормула была сперва дава Эйлером в томе 1»п «Д(ысеряв»я Вмовя»яи» . Ее можво выееств вэ леммы Х кввгк П1 выотововых»Начал», вырезав авалатвческя то построевяе, аоторым Иьюгов определяет скорость, двкгллсь с кшорою раввомерво точка прошла бы хорду в такое же время, как комета проходят соответствуюшую дугу параболы.
Для этого кадо эаметять, что для параболы полусумма рею»усов-веаторов, идущих к ловцам любой дуги, всегда равна радиусу-вектору, ядущему к вершине этой дуги, сложеввому с ее стрелкою, т. е. с отрезком дпвметрэ, заключеввым между шею верш явою я середявою хорды; отсюда, ва освовавяк леммы 1Х, получаегоя велвчвва этого радпуса-векторе выражеввого через хорду в через радкусы-векторы ковцов дуги». Пользуясь этап укаэавяем Лагравжа я сделав следующие обоэвачеввж Яб=гл( ВС=гл; Ба=с; 7Г»=м; ЛС=а гг .+. гт —— л, будем кметы 1 г -г- в = — е (по указанию Лагравжа) 2 1 Ф к= — — (по лем.
(Х) 16 г ьй гг2 (с, — ад = (Ог.+- х) — (по лем. х), б' (2) (а) Есля покус лежит вяе сешюята ограяячеввого рассматрвваемою дугою параболы я ее хордою, то стрелка х щ г, в вэ,то браты г = ел — — — (е -»- Вэт — ет) 1 4 1 к = еа = — (е — ь'ел — от) 4 (4) когда же покус лежат ввутрв этого сегмевтл, то будет в > г, в вако брать: » =о,= — (» — т»е — ат) 1 4 х= ел — — — (» -г- Ч»е — ет) 1 4 (б) прячем в последвей пормуле Ь есть векоторэя постыяпая, о которой будет скалаво паже (првмеч. 206). Иа моркул (1)м (2) следует»что г в в ояредсюпотся кав корвв урэввевяя 1 1 гл — — со -»- — от = о. 2 16 Положии, что имеет место пе(мыд случай, тогда будет по оормула (6): 1 - — 1 а эд т 2 (аз — ел) = (в ч- — ь'вз — аз 1 °вЂ” 2 )';; но очевидно Ег = 2в.+. 2 твз — ав = (т'в -в- а -е- т в — а)з следовательно будет 2 (в .+.
— т'вл — аз) 1 зд (ч — вт) = 2 ь'в-в-ач- Нв — а 1 = (в -е- — увз- аз) (\~в -в- а — т'в — а) = 2 з 3 з з ч- а) — (в — а) 1 = — (е 2 т. е 61 ((т — (л) = (в.+- а)з — (в — а)з, (6) Совершенно так же во втором случае, ва осншжнви оориулы (6), получили бы з з ел (Вз — Вл) = (в -+. а)' -+-(в — а) . (69 Это н суть оормувы Эдлера. Равносильность этих оормул лемме Х ньютона, таким образом, очевидна. ЗЕЕ ПрМ раССтОяНИИ ЕРяят, В Прщапжсннс Вроясвн 4 тОЧКа, дВИГаяСЬ раняаксрва ПО кругу со скоростью со, пютветствующев етому расстоянию, прошла бы дугу 1 в = — лС=с~в; со' ускорение ири движеяии по кругу ы = — ~ поэтому прохолявзя н продолжение времевя 1 пря прямолянеднои падении с таким ускорением высота 1 со' Ъ= — ын= — — м =я — ° 2 2 в 4т с В продолжение же нремеян — высота падения будет 2 1 (бв .АР— ь= — =-- 4 16т АР ние иолооинев жою времени, в вменение коею, доиинвсь но орбиже, она оииеиеаеке дубу л((дС.
Ибо комета в продолженве такого времевв, в которое она описывает дугу параболы .4С, двигаясь рэннОМЕРно со скоростью, соответствующей расстоннвю ЯР (по лем. Х), проходит длвву, равную хорде 1С, поэтому (по след. 7 предл. Х т'1 кв. 1), обращаясь под действвем свлы своего тяготенвя по кругу, коего радиус ЯР, она опвсала бы дугу, длина коей относятся к длвне хорды 41С, как 1: )Г2.
Поэтому, падая на Солнце с расстояввя ЯР под действием такой силы, с какою она првтягввается к Солнцу в этом расстоянвв, комета опвсала бы в полоевву того же промежутка времеви (по след. 9 предл. 1т кн. 1) путь, равный квадрату этой полу- хорды, равделенному на учетверенную высоту ЯР, т. е. путь,®" равный — 616— Л,Р— Но так как сала притяжения кометы к Солнцу с расстояния 8В относится к ее притяжению в расстоянии ЯР, как ЯР: Ян, то комета, падая под действием постоянной силы, равной сале првтяженвя ее в расстоянии ..лдэ ЯУ, в продолжение того же времени пройдет путь равный —, т.
е. путь 1 юг равный,УМ клв Мр. (по лем. 1Х). Предложение Х1Л. Задача ХХ1 Овуеделняю но заданным жуем наблюденном оубиеяу номепэы, движуиеейея по вауаболе. Задача эта весьма трудна; пытаясь ее решить рэянымк способами, я составил некоторые задачи, помещенные в кнвге 1, которые предназначались для решения ее, но затем я нашел следующее несколько более простое решение.
Выбирают трв наблюденвя, следующвх одно эа другим приблизительно через равные промежутка времени, првчем тот промежуток времеви, в который комета движется медленнее, надо брать немного больше другого, так чтобы разность промежутков относилась к вх сумме, как эта сумма к 60 дням вли около того, иначе чтобы точка Л упадала приблизительно в точку М н лучше уклонялась бы от нее к точке,У, нежели к ч. Если таких наблюдений нет н готовности, то надо найти новое место кометы по лемме 71. Пусть Я (фиг.
206) представляет Солнце, Т, 1, 1 — три места Земли на орбите ее, ТЯ ~В, тС вЂ” три наблюденные долготы кометы, Г' — промежуток времени между первым в вторым наблюденвеи, Ю' — между вторым и третьим наблюдением, Х вЂ” длвна, которую комета могла бы пройти за время между первым и третьим наблюденвем, двигаясь равномерно с такою скоростью, какою она бы обладала, находясь от Солнца в расстояние, равном среднему расстоянию Земли; эта длина рассчвтывается по следстввю 3 предложения Х1 книги Ш; наконец, 1à — перпеедвкуляр, опущенный ва хорду Тт.
На прямой ~В, соответствующей долготе при среднем наблюдении, берется где-лабо точка В в принимается за место проекции кометы на плоскость эклиптика; от этой точки проводится по направлению к Солнцу прямая, по которой откладывается длвна ВЛ, находящаяся к стрелке Лг в отношекви, равном отношению проиэведенвя ЯВ. ВР к кубу гипотенузы прямоугольного треугольника, коего одна сторона есть ЯВ, другая же есть тангенс широты кометы прв втором наблюдеввв и при радиусе еВ. Через — 617— точку .Е (по лев. т'П) проводится прямая АЛО так, чтобы ее отрезки АЖ в ЕС между точкою .Е и прямыми Т.я в сС отяосвлвсь бы друг к другу, как Р'к РР; тогда .4 в С будут проекцяями кометы ва плоскость эклиптика прв первом в третьем яаблюдеввях, если только место В прв втором ее наблюдении было прввято верно.
Из середины Х прямов АСвосставь перпевдвкуляр,Уг'. Через точку В проведя прямую Вэ, параллельвую АС. Проведи засечку Я, пересекающую $С в Х, в доползя параллелограмм ели, Возьми .Уа = З,УД в, проведя через Солнце Я прямую а8, отложи по ней длину ас, раввую ЗВп -+- ЗгХ Сотри точки й, .Е, С, У, в вз точки В по Фаг. 206.
яаправлеввю к точке с проведя прямую, по которой отложв новую длвву ВЕ, относящуюся к прежней, как (ЕР 3 )) Через вновь получеввую точку Ж проведи опять прямую ЛЕС по тому же условию, как и прежде, т. е. чтобы было 4Е:ЕС= Г: Я". Полученные точка з в С представят места кометы более точно. В точке,7, середине АС, восставь к ней перпендикуляр ,УО, и в точках.й в С вЂ” перпевлвкуляры АМ в СУ, прячем двины вх АМ в СУ соответственво равны тангевсам швроты прв первом в третьем ваблюденвнх при радиусах Тз в тС. Проведи МУ, пересекающую УО в точке О. — 618— Построй затеи прнмоугольивк ьудр., как и прежде. 2 На продолжении,Ы возьми длину УВ, равную ф -+- — е)!. Затем от МУ в сторону к Ю отложи длину МР, которая находилась бы к найденной выше длине Х в отношении корня квадратного из среднего радиуса земной орбиты к корню квадратному нз расстонннн ОВ.
Если точка Р упадет в точку 1Ч, то л1, В, С и будут тремя местамв кометы, через которые и можно бы провеств проекцию ее орбиты на плоскость эклиптики. Если же точка Р не упадает в точку 1Ч, то ко прямой АС надо отложить от точки С в ту же сторону от прямой УС, как Р от 1Ч, длину СС= ЖР. Таким же точно способом, по которому построены точки Я, т, С, 6, исходя вз првннтого положеввн точки В, стронтсн, приняв еше два какихлвбо других ее положенин д в р, новые точки е, а, с„д и е, в, х, т.
Затеи через 6, д, у проводитсв дуга круга Сду, пересекаюшав прямую тС в точке Я; зта точка Я в будет искомою проекцией места кометы при третьем наблюденви на плоскость эклиптккв. Если по правым тС ас и ах отложить длины л1Г, ау', ар, соответственно равные СС», сд, ху, и через точки Р, у, р провести дугу круга РУр, пересекаюшую прямую АТ в точке 1", то эта точка Х'будет проекциею места кометы на плоскость эклиптики прв первом наблюдении.
В точках У и Я восставлнютсн перпендикулзры, равные тангенсам широт кометы прв радиусах ТУ и тЯ, тогда получатся два места кометы, принадлежащие истинной орбите ее. Затем, по предложению Х1Х книги 1, через эти две точки проводвтсн парабола, имеющая сновм шокусом точку 8. Эта парабола и будет искомою орбитою. Доказательство этого построения следует из лемм: в самом деле, припав АС рассекаетсн по лемме Ч11 точкою .Е в отношеннв времен, как то требуется леммою ЧШ. Длина ВЛ по лемме Х1 составвт часть прэмов ВЯ нли Вс, заключенную на плоскости эклиптики между дугою АВС и хордою ЛЕС, и МР (по следствию лем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
