А.М. Попов, О.В. Тихонова - Лекции по атомной физике (1120656), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Определите основное состояние в этой конфигурации.Напишите электронную конфигурацию, в которой основным является D – терм.Определите основное состояние в этой конфигурации.При каких условиях величина мультиплетности атомного терма указывает числокомпонент тонкой структуры? Приведите примеры, иллюстрирующие ответ.Компоненты тонкой структуры многоэлектронного атома характеризуются значениями квантового числа J = 1,2,3. Найти все возможные термы, дающие такуюкартину «тонкого» расщепления.Сверхтонкая структура основного состояния атома, имеющего конфигурациюp 4 , состоит из трех компонент. Определить спин ядра.Спин ядра атома 27 Al равен I = 5 / 2 .
Определить количество компонент сверхтонкой структуры в основном состоянии.Компоненты сверхтонкой структуры некоторого атома характеризуются значениями квантового числа F = 1,2,3,4. Какие значения спина момента ядра возможны в этом случае?154155Лекция 12.Взаимодействие квантовой системы с электромагнитным полем.В этом разделе мы рассмотрим вопрос о взаимодействии квантовой системы сполем электромагнитной волны. Для определенности мы будем говорить о воздействииполя излучения на атом, но фактически в качестве квантовой системы может выступатьи атомное ядро, и молекула, и электронная подсистема твердого тела.
Пусть атомнаясистема описывается гамильтонианом Ĥ 0 , причем будем в дальнейшем считать, что мызнаем набор собственных значений и собственных функций атомного гамильтониана ψ nи E n , удовлетворяющих уравнениюHˆ ψ = E ψ .(12.1)0nnnМы должны теперь записать гамильтониан системы в присутствии внешнегоэлектромагнитного поля. Будем считать, что у нас имеется плоская линейно поляризованная электромагнитная волна, напряженности электрического и магнитного полей вкоторой записываются в видеrrr rrΕ (r , t ) = Ε 0 cos k r − ωt ,rrr rrΗ (r , t ) = Η 0 cos k r − ωt .Со стороны поля волны на атомный электрон действует сила Лоренцаrr e r rF = eΕ + v × Η .cМы будем считать, что поле достаточно слабое, и электрон остается нерелятивистским1.rrПоскольку в электромагнитной волне в вакууме Ε 0 = Η 0 , то магнитная и электриче-([)()]ская части силы Лоренца связаны соотношениемFM v≈ ≅ α = 1 137 << 1 ,(12.2)FEl cпоэтому магнитной частью силы Лоренца можно пренебречь, и считать, что на атомныйэлектрон воздействует только электрическое поле волны.
Будем также считать, что длина волны воздействующего излучения λ = 2πc ω заметно больше характерного размераквантовой системы, т.е.a << λ .(12.3)Для атома в качестве оценки размера a следует использовать боровский радиус. Это означает, что для излучения оптического диапазона частот условие (12.3) также хорошовыполняется. Следовательно, что при выполнении условия (12.3) электрическое полеволны можно считать пространственно однороднымrrΕ (t ) = Ε 0 cos ωt .Если же мы захотим рассматривать взаимодействие рентгеновского излучения с энергией квантов ~10 кэВ ( λ ~ 1 А), то необходимо учитывать пространственную неоднородность поля электромагнитной волны.Условия (12.2) и (12.3) представляют собой условия применимости электрического дипольного приближения для взаимодействия квантовой системы с электромагнитным полем, суть которого заключается в возможности пренебречь действием магнитно1В тяжелых многозарядных ионах электроны являются изначально релятивистскими, поэтому в этом случае все наши дальнейшие рассуждения, вообще говоря, не справедливы.155156го поля волны на атомную систему и в возможности не учитывать изменение напряженности электрического поля волны на характерном размере системы.Условия применимости электрического дипольного приближения, как правило,выполнены и при анализе взаимодействия γ - излучения с атомными ядрами.
Действительно, характерная энергия нуклонов в атомных ядрах составляет величину порядканескольких МэВ, т.е. нуклоны являются нерелятивистскими (энергия покоя нуклона ~1000 МэВ). Для энергий γ - квантов E γ = 1 − 10 МэВ соответствующие длины волн со-ставляют λ ~ 10 −10 − 10 −11 см, что также больше размера атомного ядра RN ~ 10 −13 − 10−12см.Фактически электрическое дипольное приближение является первым членоммультипольного разложения энергии взаимодействия квантовой системы с полем излучения. Учет членов порядка v c и a λ по теории возмущений приводит к магнитномудипольному и электрическому квадрупольному приближениям.
Всюду в дальнейшем мыбудем работать только в рамках электрического дипольного приближения, пренебрегаямультиполями высших порядков.Энергию взаимодействия атома, как системы зарядов, с внешним электрическимполем запишем в видеrrW = − dΕ ,(12.4)rrгде d = e∑ ri - дипольный момент системы. Для простоты мы будем работать в одноirrrэлектронном приближении, полагая, что d = er , где r - координата атомного электрона(начало координат совмещено с атомным ядром).Переход от классической теории к квантовой предполагает, что выражение (12.4)следует рассматривать как определение оператора взаимодействия атома с внешнимэлектромагнитным полем в дипольном приближенииrˆ rrWˆ (r , t ) = −⎛⎜ dΕ (t ) ⎞⎟ .⎝⎠r̂Здесь d - оператор дипольного момента.
Как видно, с точностью до величины зарядаэлектрона этот оператор совпадает с введенным ранее оператором координаты. В дальнейшем мы будем рассматривать только случай линейной поляризации поля излучения.Направляя ось z вдоль направления вектора электрического поля волны, перепишемвыражение для оператора взаимодействия в видеrWˆ (r , t ) = −dˆ z Ε (t ) .(12.5)Таким образом, в рассматриваемых приближениях гамильтониан атома в электромагнитном поле мы можем записать в видеrHˆ = Hˆ 0 + Wˆ (r , t ) ,(12.6)а эволюция системы во времени под действием поля волны описывается решением нестационарного уравнения Шредингераrr∂ψ= Hˆ 0 + Wˆ (r , t ) ψ (r , t ) .ih(12.7)∂tЗаметим, что на примере оператора Ŵ мы впервые столкнулись с оператором, которыйявно зависит от времени. Прежде чем обсуждать методику решения уравнения (12.7) сопоставим энергии взаимодействия, которые входят в полный гамильтониан Ĥ , а именноэнергию взаимодействия атомного электрона с внешним электромагнитным полем W и( )()156157энергию его взаимодействия с атомным ядром V ~ e 2 a 0 ( a0 - боровский радиус).
Полагая, что дипольный момент атома есть величина порядка ea0 , получим W ~ ea0 Ε . Каквидно, для значений напряженности поляΕ << e a02(12.8)величина дополнительной энергии, обусловленной воздействием внешнего электромагнитного поля, мала по сравнению с внутриатомной энергией. В таких условиях воздействие внешнего поля волны можно рассматривать как малую поправку и учесть по теории возмущений. Условие (12.8) имеет простой физический смысл. ВеличинаΕ at = e a 02 ≈ 5 ⋅ 10 9 В/см есть внутриатомное значение напряженности электрическогополя.
Поэтому решение задачи по теории возмущений возможно, если напряженностьполя волны существенно меньше внутриатомного значения. Для электромагнитных волнчаще задают не значения напряженности поля, а величину интенсивности излученияI = cΕ 02 8π .
Поэтому условие (12.8) как условие применимости теории возмущений повзаимодействию квантовой системы с полем электромагнитной волны можно переписать в видеI << I at ,(12.9)где I at = cΕ at2 8π - так называемое атомное значение интенсивности. Как видно из определения, это такая интенсивность излучения, амплитуда напряженности электрическогополя волны в котором равна напряженности поля внутри атома Ε at . Оценка атомной интенсивности дает I at ≈ 3.5 ⋅ 1016 Вт/см2.Полученное значение весьма велико. В долазерную эпоху (до 60-х годов прошлого века) такие интенсивности казались принципиально недостижимыми. Использованиережима модуляции добротности позволило в первой половине 60-х годов XX века получить интенсивности ~1010 – 1012 Вт/см2.
Освоение этого диапазона интенсивностей привело к открытию широкого круга эффектов и развитию нового раздела физики - нелинейной оптики. Однако, соответствующие значения интенсивностей на много порядковменьше атомного значения и, следовательно, задача о воздействии таких оптических полей на атомную систему может быть рассмотрена в рамках теории возмущений. В середине 80-х годов прошлого века в лазере на кристалле титаната сапфира (Ti:Sapphire) были получены импульсы фемтосекундной длительности, в которых были достигнуты потоки энергии излучения порядка I at .
Использование техники усиления так называемыхчирпированных импульсов2 (G.Mourou) позволило еще существенно увеличить интенсивность лазерного излучения (вплоть до 10 20 − 10 22 Вт/см2) и получить напряженностиэлектрического поля в волне многократно превышающие внутриатомное значение.Мы ограничимся рассмотрением случая лишь слабых (по критериям 12.8-12.9)электромагнитных полей, воздействие которых на атом может быть учтено по теориивозмущений.Нестационарная теория возмущений.Как мы уже отмечали, общая задача об эволюции атомной системы в поле электромагнитной волны в дипольном приближении предполагает решение нестационарногоуравнения Шредингера (12.7) с оператором взаимодействия в виде (12.5).
Мы будем по2Более подробно о получении импульсов предельно короткой длительности методами оптической компрессии – см. С.А.Ахманов, С.Ю.Никитин «Физическая оптика», М.: МГУ, (1988), часть IV.157158лагать, что в начальный момент времени ( t = 0 ) система находится в некотором стационарном состоянии невозмущенного атомного гамильтониана Ĥ 0 , то естьrrψ (r , t = 0) = ψ i (r ) ,(12.10)где ψ i - одна из функций, удовлетворяющих стационарному уравнению Шредингера(12.1). Система собственных функций атомного гамильтониана Ĥ 0 является полной, этоrозначает, что волновая функция произвольного состояния ψ (r , t ) может быть однозначно представлена в виде линейной комбинации собственных функций невозмущенногогамильтониана3:rv⎛ i⎞ψ (r , t ) = ∑ C n (t )ψ n (r ) exp⎜ − E n t ⎟ .(12.11)⎝ h⎠nЗдесь мы явно указали зависимость волновой функции стационарного состояния от времени.
Учитывая разложение (12.11), мы можем переписать начальное условие (12.10) ввиде⎪⎧0, n ≠ i,C n (t = 0) = δ ni = ⎨(12.12)⎪⎩1, n = i,то есть в начальный момент времени лишь один из коэффициентов разложения отличенот нуля. Отметим, что разложение (12.11) фактически определяет физический смыслрешения, которое мы ищем. Поскольку коэффициенты разложения C n (t ) есть амплитуды вероятности обнаружить систему в момент времени t в n -ном стационарном состоянии, то наше решение означает, что в процессе внешнего воздействия в системе возникнут переходы между состояниями атомного гамильтониана, причем их вероятность бу2дет определяться квадратом модуля коэффициента разложения C n (t ) .Подставляя разложение (12.11) в уравнение (12.7), получимi⎞⎛ dC⎛ i⎞⎛ i⎞ih ∑ ⎜ n − E n C n ⎟ψ n exp⎜ − E n t ⎟ = ∑ C n Hˆ 0 + Wˆ ψ n exp⎜ − E n t ⎟ .h⎝ h⎠ n⎝ h⎠⎠n ⎝ dtУчитывая, что ψ n есть собственная функция атомного гамильтониана, перепишем полученное в видеdC⎛ i⎞⎛ i⎞ih ∑ n ψ n exp⎜ − E n t ⎟ = ∑ C nWˆ ψ n exp⎜ − E n t ⎟ .(12.13)dt⎝ h⎠ n⎝ h⎠nУмножим теперь (12.13) на комплексно сопряженную волновую функцию какого-либоrсостояния атомного состояния ψ *f (r ) exp((i h ) E f t ) и проинтегрируем по всей области()определения функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
