А.М. Попов, О.В. Тихонова - Лекции по атомной физике (1120656), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Тогда используя условие ортогональности собственных функцийоператора Гамильтона, получимdC fih= ∑ C n ψ f Wˆ ψ n exp(iω fn t ) ,(12.14)dtnгде ψ Wˆ ψ = f Wˆ n = W = ψ * Wˆ ψ dτ - матричный элемент оператора Ŵ ,fnfn∫fnω fn = ( E f − E n ) h - частота перехода.Система уравнений для коэффициентов разложения по базису собственныхфункций (12.14) тождественна исходному уравнению Шредингера (12.7). Мы будем ре3В общем случае при записи этого выражения необходимо учесть также состояния континуума.158159шать эту систему приближенно в рамках нестационарной теории возмущений. Представим амплитуды вероятности C n в виде ряда теории возмущенийC n = C n( 0) + C n(1) + C n( 2 ) + ...
,(12.15)причем каждый последующий член ряда много меньше предыдущего. В качестве малогопараметра будем рассматривать возмущение W . В нулевом порядке малости мы рассматриваем решение в отсутствие действия возмущения. Тогда, очевидно,C n( 0 ) (t ) = δ ni .Подставляя (12.15) в (12.14) и удерживая члены только первого порядка малости, получим для случая f ≠ i :dC (f1)= ∑ C n( 0) ψ f Wˆ ψ n exp(iω fn t ) = ψ f Wˆ ψ i exp(iω fi t ) .dtnТогда выполняя интегрирование по времени, в первом порядке теории возмущений получаемtiC (f1) (t ) = − ∫ W fi (t ) exp(iω fi t )dt .(12.16)h0Фактически, выражение (12.16) является решением поставленной задачи и определяетамплитуду вероятности перехода из начального состояния i в конечное состояние frза время t под действием возмущения Wˆ (r , t ) .ihУчитывая выражение (12.5) для оператора взаимодействия атома с полем волны,перепишем (12.16) в видеd fi td fi Ε 0 t(1)Ε (t ) exp(iω fi t )dt = iC f (t ) = icos(ωt ) exp(iω fi t )dt .h ∫0h ∫0Здесь d fi - матричный элемент оператора z - проекции дипольного момента системы.Полученный интеграл легко вычисляется.
Учитывая что1cos ωt = (exp(iωt ) + exp(−iωt ) ) ,2получимd fi Ε 0 ⎛ exp(i (ω fi − ω)t ) − 1 exp(i (ω fi + ω)t ) − 1 ⎞⎜⎟.+(12.17)C (f1) (t ) = i⎟i (ω fi − ω)i (ω fi + ω)2h ⎜⎝⎠Отметим, что частота перехода ω fi = ( E f − Ei ) h может быть как положительной, так иотрицательной. Если E f > Ei , то есть переход идет с поглощением энергии, то ω fi > 0 .И, наоборот, если переход идет с испусканием энергии, то ω fi < 0 . В любом случае видно, что процесс идет эффективно только вблизи резонанса, когда частота внешнего поляпримерно совпадает с частотой перехода ω ≈ ω fi . Для определенности будем рассматривать переход с поглощением энергии поля. Тогда вблизи резонанса вторым слагаемымв (12.17) можно пренебречь по сравнению с первым:d fi Ε 0 ⎛ exp(i (ω fi − ω)t ) − 1 ⎞⎜⎟.C (f1) (t ) = i⎟2h ⎜⎝i (ω fi − ω)⎠Вводя величину ∆ω = ω fi − ω - отстройка от резонанса, перепишем выражение для амплитуды вероятности в виде:159160d fi Ε 0⎛ ∆ωt ⎞ sin( ∆ωt 2)exp⎜ i.(12.18)⎟2h⎝ 2 ⎠ ∆ω 2Возводя по модулю в квадрат, найдем выражение для вероятности электромагнитногоперехода из начального состояния i в конечное состояние f за время t :C (f1) (t ) = i2d fi Ε 02 sin 2 (∆ωt 2)(1).(12.19)Pfi (t ) = C f (t ) =4h 2(∆ω 2) 2Проанализируем полученное выражение.
Прежде всего, отметим, что теория возмущений является применимой при выполнении условия Pfi << 1 , то есть2d fi Ε 0 (h∆ω) << 1 .(12.20)Фактически это условие задает ограничение сверху на допустимую напряженность поляэлектромагнитной волны. Однако, это предельное значение интенсивности определяетсяв том числе отстройкой от резонанса, и если эта отстройка от резонанса мала, то формально теория возмущений может оказаться неприменимой уже в достаточно слабыхполях. Действительно, в случае точного резонанса ∆ω ≡ 0 из (12.19) находим2d fi Ε 02 ⎛ sin ∆ωt 2 ⎞ 2 2⎜⎜⎟⎟ t ~ t 2 .Pfi (t ) =24h⎝ ∆ω t 2 ⎠(12.21)Это означает, что условие Pfi << 1 выполнено лишь на ограниченном интервале времени.
Аналогичная ситуация формально возникает и в отсутствие точного резонанса привыполнении условия ∆ωt << 1 . Таким образом, в общем случае возможность использования теории возмущений по взаимодействию атома с электромагнитным полем ограничена как величиной интенсивности излучения, так и длительностью воздействия.В важном частном случае на больших временах (формально при t → ∞ ), но длямалых вероятностей перехода, используя известное представление для δ - функцииsin 2 αtlim= πδ(α) ,t →∞α 2tиз (12.19) нетрудно получить2Pfi (t ) =d fi Ε 02⋅ 2πδ(ω fi − ω)t ,4h 2т.е.
на больших временах вероятность перехода растет линейно по времени. Это позволяет нам ввести вероятность перехода в единицу времени2d fi Ε 0222π d fi Ε 0w fi = Pfi t =⋅ 2πδ(ω fi − ω) =δ( E f − Ei − hω) .(12.22)2h44hКак видно, полученное выражение можно интерпретировать в том смысле, что переходиз начального состояния i конечное f сопровождается поглощением кванта элек2тромагнитного поля hω . При этом, в соответствии с постулатами Бора переход возможен только в случаеE f = Ei + hω .Аналогично, в случае если конечное состояние лежит ниже по энергии, мы бы получилиE f = Ei − hω .Последние два соотношения представляют закон сохранения энергии при поглощении(испускании) кванта поля.160161Поле воздействующей на атом электромагнитной волны нам будет удобнее характеризовать интенсивностью излученияcΕ 02I=.8πПоэтому выражение (12.22) можно переписать в виде:w fi =4π 2 d fi2⋅ I ⋅ δ(ω fi − ω) .(12.23)ch 2При использовании соотношения (12.23) возникает формальная трудность.
Как следуетпонимать соотношение с δ -функцией? В данном случае мы подразумеваем, что выражение (12.23) должно быть проинтегрировано по частотам, то есть воздействующее излучение не совсем монохроматично. Полагая, что интенсивность излучения может бытьпредставлена в видеI = ∫ I ω dω ,где I ω - спектральная плотность интенсивности излучения, перепишем (12.23) в виде4π 2 d fi2⋅ ∫ I ω δ(ω fi − ω)dω .ch 2Интеграл с δ - функцией элементарно вычисляется, в результате имеемw fi =w fi =4π 2 d fi2I ω=ω fi ,(12.24)ch 2то есть вероятность перехода определяется значением спектральной интенсивности излучения на частоте перехода.Напомним, что d fi в выражении (12.24) есть матричный элемент z - компонентыдипольного оператора.
Поскольку d 2 = d x2 + d y2 + d z2 и для сферически симметричнойсистемы d z2 = d 2 3 , выражение (12.24) обычно записывают в видеw fi =4π 2 d fiI ω = B fi I ω .3ch 2ЗдесьB fi =24π 2 d fi(12.25)23ch 2- коэффициент Эйнштейна вынужденного перехода4. Как видно из (12.26),B fi = Bif .(12.26)Правила отбора.Рассмотренная теория взаимодействия квантовой системы с электромагнитнымполем позволяет сформулировать правила отбора – указать соотношения между квантовыми числами начального и конечного состояний, для которых электромагнитный переход оказывается возможен (разрешен).
Общий подход к решению проблемы ясен. Если4Отметим, что коэффициент ЭйнштейнаB fi иногда вводят как коэффициент пропорциональности междувероятностью перехода и спектральной плотностью энергии электромагнитного поля на частоте переходаρω . Соответствующее выражение может быть легко написано, если учесть что I ω = cρ ω .161162rrd fi = e ∫ ψ *f r ψ i d 3 r ≠ 0 ,(12.27)то переход является разрешенным, наоборот, если d fi = 0 , то говорят, что переход запрещен. Действительно, в этом случае согласно (12.25) вероятность перехода оказывается равна нулю даже в сильном электромагнитном поле. Следует, однако, иметь в виду,что все сказанное выше относится только к электрическому дипольному приближению,причем в низшем порядке теории возмущений.
Поэтому запрещенный в электрическомдипольном приближении переход может быть разрешен в высших порядках мультипольного разложения, например, как электрический квадрупольный или магнитный дипольный переход. Может также оказаться, что он разрешен в более высоких порядкахтеории возмущений по дипольному приближению. Поэтому, понятие «запрещенный переход» не означает реально, что такой переход невозможен в принципе. Скорее всего, онмаловероятен по сравнению с переходами, разрешенными в электрическом дипольномприближении.Рассмотрим несколько примеров формулировки правил отбора для различныхквантовых систем.1.
Правила отбора для переходов в линейном гармоническом осцилляторе. Рассмотрим матричный элемент∞x mn =∫ψ*m( x) xψ n ( x)dx ,(12.28)−∞где()ψ n = N n H n (ξ) exp − ξ 2 2 ,ξ = x a,a = h mω .Для вычисления матричного элемента (12.28) воспользуемся рекуррентным соотношением для полиномов Эрмита (см. П_3):1ξH n (ξ) = nH n −1 (ξ) + H n +1 (ξ) .(12.29)2Подставляя (12.29) в (12.28), получим∞1⎞⎛x mn = N m N n a ∫ H m (ξ)⎜ nH n −1 (ξ) + H n +1 (ξ) ⎟ exp(−ξ 2 )dξ .(12.30)2⎠⎝−∞Учитывая свойство ортогональности полиномов Эрмита, замечаем, что последний интеграл отличен от нуля только в случаеm = n ±1,то есть электромагнитные переходы возможны только между парой соседних состоянийгармонического осциллятора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
