А.М. Попов, О.В. Тихонова - Лекции по атомной физике (1120656), страница 41
Текст из файла (страница 41)
ПосколькуE n +1 − E n = hω ,то эффективное взаимодействие осциллятора с внешним электромагнитным полем возможно лишь в случае совпадения частоты осциллятора с частотой внешнего поля.Проведем конкретные вычисления матричного элемента x n +1,n . В этом случае из(12.30) имеем∞1⎞⎛x n +1,n = N n +1 N n a ∫ H n +1 (ξ)⎜ nH n −1 (ξ) + H n +1 (ξ) ⎟ exp(−ξ 2 )dξ =2⎠⎝−∞Nn aaN nn +1H n2+1 (ξ) exp(−ξ 2 )dξ =a.(12.31)=∫N n +1 22 N n +12В частности для переходов между основным и нижним возбужденным состояниями получаем:162N n2+1163x10 = a 2 .(12.32)Сопоставляя (12.31) и (12.32), найдемx n +1n= n +1 ,(12.33)x10то есть вероятность перехода между уровнями с номерами осциллятора n и n + 1 оказывается в n + 1 раз больше, чем между парой нижних состояний.2.
Правила отбора для заряженной частицы в центрально-симметричном поле.Эта задача имеет принципиально важное значение для атомной физики, поскольку атомпредставляет собой систему с центральной симметрией. Вспомним, что волновая функция стационарного состояния системы в этом случае записывается в видеn, l, ml = Rnl (r )Ylml (θ, ϕ) .Наша задача теперь рассмотреть следующие матричные элементыn, l , m l x , y , z n ' , l ' , m l ' .(12.34)Вспомним, что⎧ x = r sin(θ) cos ϕ,⎪⎨ y = r sin(θ) sin ϕ,⎪ z = r cos θ,⎩а такжеYlml (θ, ϕ) = Pl|ml | (cos θ) exp(iml ϕ) .Тогда при вычислении матричных элементов (12.34) возникнут следующие интегралы⎧cos ϕ⎫⎧cos ϕ⎫⎧ exp(i (ml '− ml ± 1)dϕ,2π2π⎪⎪⎪⎪⎪∫∫0 exp(−iml ϕ)⎨sin ϕ ⎬ exp(iml ' ϕ)dϕ = ∫0 exp(i(ml '−ml )ϕ)⎨sin ϕ ⎬dϕ → ⎨ exp(i(m '−m )dϕ.⎪1⎪⎪1⎪⎪⎩∫ll⎩⎭⎩⎭Первый из и полученных интегралов отличен от нуля, если ml '−ml = m1 , второй – приml ' = ml .
Таким образом, получаем следующее правило отбора по магнитному квантовому числу ml :∆ml = 0,±1 ,(12.35)т.е. при электромагнитных переходах в дипольном приближении магнитное квантовоечисло либо изменяется на единицу, либо не меняется.Аналогичным образом решается вопрос о правилах отбора по орбитальномуквантовому числу: Например, для матричного элемента оператора z - проекции дипольного момента с учетом выражения (П4.10) имеемl' = l ± 1 ,(12.36)при электрическом дипольном переходе орбитальное квантовое число изменяется наединицу.Правилам отбора (12.35), (12.36) можно придать простой физический смысл.
Еслисчитать, что в процессе перехода происходит излучение (поглощение) кванта электромагнитного поля (фотона), спин которого равен единице, соотношение (12.36) представляет собой закон сохранения момента количества движения в системе «атом + электромагнитное поле». Фотон уносит единичный момент. Что касается проекции, то она может не менять своего значения, или также измениться на единицу.
При этом можно по-163164казать, что случаю ∆ml = 0 соответствует испускание линейно поляризованных фотонов, а случаю ∆ml = ±1 - фотонов с круговой поляризацией.Что касается возможных значений изменения главного квантового числа, то намследует рассмотреть радиальный интеграл∞I = ∫ Rnl (r ) Rn 'l ' (r )r 3 dr .0Это интеграл оказывается отличным от нуля при произвольных значениях квантовыхчисел. Поэтому никаких ограничений на изменение главного квантового числа нет:∆n - любое.(12.37)Совокупность условий (12.35)-(12.37) и составляют правила отбора для переходов в центрально- симметричном поле, в частности в атоме водорода.Для формулирования полного набора правил отбора в атоме водорода а также впроизвольном одноэлектронном атоме5 необходимо еще учесть наличие спинового механического момента электрона.
Поскольку оператор взаимодействия с электромагнитным полем в дипольном приближении не зависит от спиновых переменных системы, мыможем записать∆m s = 0 , ∆s = 0 .(12.38)Последнее утверждение для одноэлектронного атома является лишним, поскольку вэтом случае всегда s = 1 2 . Сформулируем еще правила отбора для изменения полногомеханического момента атома j и его проекции m j . Поскольку m j = ml + m s , то из(12.35) и (12.38) получаем∆m j = ∆ml + ∆m s = 0,±1 .(12.39)Для квантового числа j из правил отбора для орбитального и спинового моментов получаем∆j = 0,±1 .(12.40)Важно что, несмотря на то, что излученный фотон уносит единичный момент, оказывается возможным и случай ∆j = 0 . Такая ситуация реализуется в результате того, что изrrменяется взаимная ориентация векторов l и s в пространстве так, что величина полного механического момента атома остается неизменной.Спектральные серии атома водорода.Рассмотрим на основе сформулированных правил отбора совокупность разрешенных электромагнитных переходов в атоме водорода.
Остановимся сначала на переходах в основное состояние 1s1 2 . В соответствии с правилом отбора по орбитальномумоменту переход возможен только из возбужденных p - состояний с произвольнымзначением главного квантового числа. Все p - состояния являются дублетами( j = 1 2, 3 2 ). В соответствии с правилом отбора по j переход в 1s1 2 разрешен с обоихкомпонентов дублета np1 2,3 2 . Указанные переходы5Под одноэлектронным атомом в данном случае мы понимаем любой атом, у которого сверх полностьюзаполненных оболочек и подоболочек имеется единственный электрон. При этом подразумевается, чторассматриваются переходы, связанные с изменением состояния именно этого электрона.
Например, атомAl (электронная конфигурация 1s 2 2s 2 2 p 6 3s 2 3 p 1 ) имеет один p электрон сверх полностью заполненных подоболочек. Электромагнитные переходы, связанные с изменением состояния этого внешнегоэлектрона могут быть также рассмотрены в одноэлектронном приближении.164165np1 2,3 2 → 1s1 2приведены на рис.12.1 и образуют серию Лаймана. В частности головная линия серияЛаймана Lα есть переход 2 p1 2,3 2 → 1s1 2 .Рассмотрим теперь совокупность переходов, образующих сериюБальмера. При обсуждении моделиатома Бора мы уже говорили о том,что это переходы на уровень n = 2из более высоких энергетических состояний.
В соответствии с правиламиотбора возможны следующие переходы⎧np → 2 s,⎪n ≥ 3.⎨ns → 2 p,⎪nd → 2 p.⎩рис.12.2): 3 p1 2,3 2 → 2 s1 2 , 3s1 2 → 2 p1 2,3 2 , 3d 3 2Более подробно остановимся на анализе тонкой структуры головной линии серии Бальмера. Она формируется следующими переходами (см.→ 2 p1 2,3 2 , 3d 5 2 → 2 p3 2 . Отметим, что снижней компоненты дублета 3d 3 2 возможны переходы на обе компоненты дублета 2 p ,в то время как для верхней компоненты дублета 3d 5 2 правило отбора по j разрешаетпереход лишь на верхнюю компоненту дублета 2 p3 2 .
Как видно, возникает семь линий.Однако, если учесть вырождение состояний ns1 2 и np1 2 а также np3 2 и nd 3 2 , получим,чтодлины3s1 2 → 2 p1 2 ,волнпереходов3 p1 2 → 2s1 2и3d 3 2 → 2 p1 2 , 3 p3 2 → 2s1 2 попарносовпадают. Поэтому в приближении, основанном на релятивистскойтеории Дирака, тонкая структураH α линии имеет пять компонент.Следует иметь в виду, что болееточный анализ спектра водородоподобных ионов показывает, что вырождение ns1 2 и np1 2 состояний поквантовому числу j также снимается.
Снятие вырождения обусловленотак называемым лэмбовским сдвигом атомных уровней. Этот эффект будет рассмотрен в Л_13. Величина лэмбовскогосдвига существенно меньше, чем тонкое расщепление. Поэтому чтобы экспериментально обнаружить наличие семи компонент H α линии требуется спектральный прибор сбольшей разрешающей способностью.165166Спектральные серии атомов щелочных металлов.Мы уже говорили о том, что атомы щелочных металлов, на внешней оболочкекоторых находится единственный электрон, являются водородоподобными. Поэтому ихспектральные серии во многом похожи на спектральные серии атома водорода.
Тем неменее отсутствие «случайного» вырождения по орбитальному моменту вносит своюспецифику в формирование спектров этих элементов, к рассмотрению которой мы сейчас перейдем. В качестве примера на рис.12.3 приведены спектральные серии, возникающие при электромагнитных переходах в атоме натрия. Основное состояние атома166167натрия - 3 2 S1 2 . Переходы в это состояние со всех выше лежащих P - состояний образуют основную или главную сериюn ≥ 3.n 2 P1 2,3 2 →3 2 S1 2 ,Все линии этой серии имеют дублетную структуру. Аналогично переходыn 2 S1 2 →3 2 P1 2,3 2 ,n≥4образуют резкую серию в спектре атома натрия.
Очевидно, все линии резкой серии также являются дублетами. Далее имеем серииn 2 D →3 2 P ,n ≥ 3,22n F →3 D ,n ≥ 4,которые называются диффузной и фундаментальной сериями6. Нетрудно видеть, чтотонкая структура линий этих серий состоит из трех компонент.Названия серий «главная», «резкая», «диффузная» «фундаментальная» в англоязычной литературе звучат как “principle”, “sharp”, “diffuse” и “fundamental”. Собственнопервые буквы в названиях этих серий исторически и были использованы для систематики атомных состояний по величине углового момента.Электромагнитные переходы в многоэлектронных атомах.В случае электромагнитных переходов в многоэлектронных атомах ситуация оказывается несколько более сложной.
Действительно, дипольный оператор, который отвечает за электромагнитный переход, является нечетной функций координат, то есть меняrrет свой знак при замене r → − r . Это означает, что атомные термы, между которымипроисходит переход, должны обладать различной пространственной четностью. Этоправило отбора известно как правило Лапорта7. В одноэлектронном атоме это правиловыполняется автоматически, поскольку четность волновой функции определяется какP = (−1) l и действует правило отбора ∆l = ±1 . В многоэлектронном атоме четностьтерма естьlP = (−1) ∑ 1 ,(12.41)где алгебраическая сумма берется по всей совокупности атомных электронов8.
Поэтомудля того, что бы определить, удовлетворяется ли правило Лапорта, необходимо знатьорбитальные квантовые числа всей совокупности атомных электронов, то есть фактически необходимо знать электронную конфигурацию. Четность терма в справочной литературе часто указывают с помощью маленькой буквы «о» (от английского «odd» – нечетный), которая пишется справа вверху относительно символа терма 2 S +1 L . Например,обозначение 3 P 0 показывает, что речь идет о триплетном терме с отрицательной четностью.
Если буква «о» отсутствует, то четность терма считается положительной. Отметим, что все термы в пределах одной конфигурации характеризуются одинаковой четностью. Это означает, что в дипольном приближении переходы между термами однойконфигурации запрещены правилом Лапорта.В случае если переход разрешен правилом Лапорта (которое показывает, разрешен ли переход между электронными конфигурациями), можно сформулировать сле6Фундаментальную серию называют также серией Бергмана.O.Laporte (1902-1971) - американский физик.8В полностью заполненной подоболочке число электронов всегда является четным, то есть многоэлектронная волновая функция подоболочки всегда характеризуется положительной четностью. Следовательно, в (12.41) суммирование фактически следует проводить по орбитальным квантовым числам электронов,находящимся в не полностью заполненных подоболочках.1677168дующие правила отбора, которые определяют, разрешен ли переход между термами заданных конфигураций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
