А.М. Попов, О.В. Тихонова - Лекции по атомной физике (1120656), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Число по-1При изучении электромагнитных явлений в свободном пространстве размер куба может быть выбрандостаточно большим, так чтобы на временах рассмотрения конкретного процесса волновое возмущение,распространяясь в пространстве со скоростью света, не достигало границ нашего объема.2Вместо разложения по стоячим волнам часто используют эквивалентное ему разложение по бегущимволнам.172173левых мод в (13.4), (13.9) бесконечно велико. В этом смысле об электромагнитном полеговорят, как о системе с бесконечно большим числом степеней свободы.В дальнейшем для определенности выберем какую-либо одну степень свободы сrволновым вектором k и заданным состоянием поляризации.
Запишем функцию Гамильтона для этой моды в видеL3 ε 2 + ω 2 a 2H=,(13.10)28πc 2где a (t ) и ε(t ) определяют значения векторного потенциала и напряженности электрического поля в выбранной полевой моде3. Сравнивая выражение (13.10) с выражениемдля функции Гамильтона «обычного» гармонического осциллятораp 2 mω 2 x 2H=+,(13.11)2m2замечаем, что векторный потенциал a фактически играет роль «координаты» полевогоосциллятора, а электрическое поле ε - «импульса».
Сходство выражений (13.10) и(13.11) можно сделать еще более полным, если перейти к безразмерным переменным.Введем безразмерные координату и импульс в соответствии с соотношениями~x = x x0 , ~p = p p0 ,где x * = h mω , p * = hmω . Тогда в безразмерных переменных функция Гамильтона(13.11) переписывается в виде~p2 + ~x2H = hω.(13.12)2Аналогично, обезразмеривая векторный потенциал a~ = a a * и напряженность электрического поля ~ε = ε ε * на величины4ε0 =4πhω, ωa 0 / c =L34πhω,L3(13.13)получим~ε 2 + a~ 2.(13.14)2Заметим, что в силу симметрии функции Гамильтона относительно замены импульса накоординату и наоборот, мы можем считать, что в выражении (13.14) электрическое полеимеет смысл координаты, а векторный потенциал – импульса.Переход от классической теории к квантовой осуществляется заменой соответствующих величин операторами.
Поэтому, аналогично тому, как нами были введены операторы импульса и координаты~x → xˆ , ~p → pˆ = −i ∂ ∂~x,мы можем ввести полевые операторы ε̂ и â :~ε → εˆ , a~ → aˆ = −i ∂ ∂~ε .Тогда с учетом (13.14)⎞εˆ 2 + aˆ 2 hω ⎛ ∂ 2⎜⎜ − 2 + ε 2 ⎟⎟=H → Hˆ field = hω(13.15)22 ⎝ ∂ε⎠H = hω3Эти величины в квантовой оптике иногда называют квадратурными компонентами электрического поляволны.4Величины ε и a мы выбираем, учитывая, что минимальная энергия осциллятора равна hω 2 .**173174- гамильтониан свободного электромагнитного поля5. Построенные операторы действуют в пространстве функций с интегрируемым квадратом φ(ε, t ) , причем физическийсмысл волновой функции, описывающей квантовое состояние полевой моды, заключа2ется в следующем: величина φ(ε, t ) есть плотность вероятности измерить значение на-пряженности электрического поля равным ε в момент времени t .Дальнейшее построение квантовой теории электромагнитного поля осуществляется просто.
Все ранее сказанное про гармонический осциллятор (см. Л_6) мы должныотнести теперь к полевой моде. В частности имеем стационарное уравнение Шредингерадля определения стационарных6 состояний моды электромагнитного поляHˆ field φ k (ε) = E k( f ) φ k (ε) .Таким образом, отдельная мода поля характеризуется набором стационарных состоянийс энергиямиE k( f ) = hω(k + 1 2) ,где k имеет смысл числа квантов поля (фотонов) в стационарном состоянии k = φ k (ε) .В частности, имеем основное состояние поля, электромагнитный вакуум, как состояниес нулевым числом квантов k = 0 .
Распределение плотности вероятности получить приизмерении значение напряженности ε в этом состоянии есть12φ 0 (ε ) =exp(− ε 2 ) ,(13.16)πВ этом состоянии энергия поля равна энергии нулевых колебаний hω 2 и отлична отнуля. Мы уже отмечали, что полевых мод бесконечно много. Поэтому даже если все полевые моды находятся в основном (вакуумном) состоянии, то полная энергия поля(электромагнитного вакуума)E vac = ∑ hω 2(13.17)оказывается неограниченно велика. Для нас это обстоятельство является несущественным, поскольку в дальнейшем мы будем вычислять изменение энергии поля при переходе из одного состояния в другое.
Фактически бесконечное значение (13.17) мы будемиспользовать в качестве уровня отсчета энергии7.Распределение плотности вероятности в произвольном стационарном состоянииполевой моды k записывается в виде12φ k (ε) =2 k! πkH k2 (ε) exp(− ε 2 ) .(13.18)Здесь H k - полином Эрмита.Отметим, что электромагнитное поле в любом стационарном состоянии представляет собой чисто квантовый объект. Хотя энергия поля в стационарном состоянииможет быть весьма велика, среднее по квантовому состоянию значение напряженностиε оказывается равным нулю2ε k = ∫ ε φ k ( ε ) dε = 0 ,5В дальнейшем для сокращения записи для обозначения безразмерных переменных поля мы будем использовать символы ε и a .6В квантовой оптике эти состояния обычно называют фоковскими по имени В.А.Фока, впервые введшегоих в рассмотрение.7Проблема на самом деле существует, если вспомнить о теории гравитации.174175а значит равно нулю и среднее значение силы, действующей на электрический заряд.Поэтому классическое электромагнитное поле с точки зрения квантовой теории это нестационарное состояние полевой моды с большим, но точно не определенным числомфотонов8.Остановимся на еще одном важном свойстве электромагнитного поля.
Мы знаем,что операторы импульса и координаты не коммутируют между собой9:[xˆ, pˆ ] = i .Поэтому нельзя найти такие состояния, в которых обе эти величины имеют точно определенные значения. Поскольку в квантовой теории электромагнитного поля операторыε̂ и â эквивалентны операторам x̂ , p̂ , то[aˆ , ε̂] = i .Учитывая, что напряженность магнитного поля в выбранной нами моде h ~ a , то мыприходим к выводу, что в квантовой теории одновременно точно определить значениянапряженностей электрического и магнитного полей невозможно. При этом, конечно,речь идет об измерении напряженностей полей в одной и той же полевой моде.Для дальнейшего наиболее важно еще раз подчеркнуть следующее.
Электромагнитное поле, как квантовый объект, существует всегда. Основным состоянием электромагнитного поля является вакуумное состояние. Это такое состояние, когда во всех полевых модах отсутствуют фотоны. А значит, невозможно исключить взаимодействиеатомной системы с всегда окружающим ее внешним электромагнитным полем. Это утверждение справедливо и в том случае, если это поле находится в основном (вакуумном)состоянии. Исключить взаимодействие атома с окружающим его электромагнитным вакуумом принципиально невозможно10. Как мы увидим в дальнейшем, именно взаимодействие атомной системы с электромагнитным вакуумом ведет к появлению спонтанных переходов и ряду других эффектов, из которых мы обсудим лишь так называемыйлэмбовский сдвиг атомных уровней.Взаимодействие атомной системы с квантовым электромагнитным полем.Спонтанные переходы.Наша задача теперь построить последовательную квантовую теорию взаимодействия атома с полем излучения.
При этом, в отличие от рассмотренного ранее полуклассического подхода, и атом и электромагнитное поле будут рассматриваться как квантовые объекты. Общий подход к решению проблемы заключается в следующем. Мы имеем две подсистемы, атом и электромагнитное поле, взаимодействующие между собой.Атомная подсистема описывается гамильтонианом Ĥ 0 (например, это гамильтониан водородного атома), гамильтониан полевой подсистемы есть8Более строго: классическое электромагнитное поле – это когерентное состояние полевой моды с большим средним числом квантов.
Подробнее см., например, М.О.Скалли, М.С.Зубайри «Квантовая оптика»,глава 2, М.: Физматилит, (2003),9Мы здесь используем безразмерные единицы.10Повлиять на взаимодействие с электромагнитным вакуумом тем не менее можно. Структура полевыхмод зависит от размера и конкретной геометрии той области, в которой электромагнитное поле существует. Выбирая размер полости с зеркальными стенками достаточно малым, а также меняя геометрию этойполости, мы можем существенно перестраивать спектр полевых мод и, тем самым, интенсивность взаимодействия атома, находящегося в полости, с окружающим его электромагнитным вакуумом. Задачи такогорода являются предметом исследования квантовой электродинамики в полости, области науки, интенсивно развивающейся в последние годы.175176εˆ 2 + aˆ 2,Hˆ field = ∑ hω2где сумма берется по всем полевым модам.
Будем по-прежнему считать, что знаем наборсобственных функций и собственных значений атомного гамильтонианаHˆ 0 ψ n = E n( a ) ψ n .Здесь верхний индекс « a » указывает на принадлежность собственного значения E n( a ) кспектру атомного гамильтониана. Стационарные состояния полевого гамильтонианатакже известны. Это есть набор осцилляторных функций {φ k } и соответствующих им{ }{ }собственных значений E k( f ) . Как мы уже отмечали, набор чисел E k( f ) можно интерпретировать как число фотонов в различных модах электромагнитного поля. Что касается взаимодействия атома с электромагнитным полем, то в рамках классической теории вдипольном приближении мы можем записатьrrW = − dΕ .Здесь электрическое поле определяется выражением (13.5), причем электрическое полеволны можно считать пространственно однороднымrr1 rΕ = − ∑ eλ a& kλ = ∑ eλ ε kλ .c k ,λk ,λПереход к квантовой теории означает замену соответствующих величин на операторы.Поэтомуrˆ rWˆ = −∑ (de )εˆ ,(13.19)( )kλλkλr̂где d - оператор дипольного момента атомной системы, а {εˆ kλ } - совокупность операторов электрического поля в различных полевых модах.Полный гамильтониан системы «атом + электромагнитное поле» естьHˆ = Hˆ 0 + Hˆ field + Wˆ .(13.20)Принципиально важным моментом является следующий.
Полный гамильтониан зависитот совокупности атомных и полевых координат и не может быть представлен в видесуммы гамильтонианов атома и электромагнитного поля. А, следовательно, невозможноввести и атомные и полевые волновые функции стационарных состояний. Такие функции могут быть введены лишь приближенно, если в (13.20) пренебречь взаимодействиематомной и полевой подсистем. Действительно, в этом случае полная волновая функцияrсистемы «атом + электромагнитное поле» Ψ (r , {ε kλ }) факторизуется на произведениеатомной и полевых волновых функцийrrΨ (r , {ε kλ }) = ψ n (r )∏ φ k (ε kλ ) .(13.21)Здесь знак∏означает произведение, которое берется по волновым функциям всех по-левых мод.
Взаимодействие атома с окружающим его электромагнитным полем будемучитывать по теории возмущений11. Тогда раскладывая полную волновую функцию системы «атом + электромагнитное поле» по базису функций (13.21), в рамках нестационарной теории возмущений мы получим, что оператор взаимодействия Ŵ вызывает пе11Возможность использования теории возмущений при описании взаимодействия атома с внешним электромагнитным полем, в конечном счете, обусловлена тем, что постоянная тонкой структуры α << 1 .
Этотвопрос мы уже обсуждали в Л_3.176177реходы между различными состояниями (13.21). Считая, что в начальный момент атом иполе находились в некотором i -том стационарном состоянии, мы можем записать выражение для амплитуды вероятности перехода из начального состояния i в конечноесостояние f :rˆC fi ~ ψ f d ψ ir∑e ∏φkλλfεˆ kλ∏φi.(13.22)r̂При записи (13.22) мы учли, что операторы d и εˆ kλ действуют соответственно в пространстве атомных и полевых волновых функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
