lect01-07 (1120607)
Текст из файла
ÊÈÍÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÏÎÑÒÓËÀÒ ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÌÅÕÀÍÈÊÈ1. Ïåðâàÿ ôîðìóëà ñîâðåìåííîé êâàíòîâîé òåîðèè áûëà îïóáëèêîâàíà â 1895 ãîäó,êîãäà Áàëüìåð ïîêàçàë, ÷òî ÷àñòîòû ëèíèé èçëó÷åíèÿ âîäîðîäà ìîæíî ïåðå÷èñëèòü ïàðîéöåëûõ ÷èñåë11ω = ω(m, n) = R( 2 − 2 ).mnÏðàâäà, ñàì Áàëüìåð ïðîâåðèë ýòó ôîðìóëó ëèøü äëÿ ÷åòûðåõ ëèíèé, ñîîòâåñòâóþùèõçíà÷åíèÿì m = 2 è n = 3, 4, 5, 6, è äàæå ñîìíåâàëñÿ â òîì, ìîæíî ñòîëü æå ïðîñòîîïèñàòü èçëó÷åíèå ñëîæíûõ àòîìîâ. Îäíàêî, óæå â 1908 ãîäó Ðèòö, îáîáùàÿ îãðîìíûéýêñïåðèìåíòàëüíûé ìàòåðèàë, ñôîðìóëèðîâàë èçâåñòíûé êîìáèíàöèîííûé ïðèíöèï, èçêîòîðîãî, â ÷àñòíîñòè ñëåäîâàëî, ÷òî ÷àñòîòó ëþáîé ëèíèè èçëó÷åíèÿ ëþáîãî àòîìàìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ðàçíîñòü çíà÷åíèé íåêîòîðîé ôóíêöèè, âû÷èñëåííîé â öåëî÷èñëåííûõòî÷êàõ:ω(m, n)=F (m) − F (n)Óäîáíåå âñåãî ïðåäñòàâèòü ýòó ôîðìóëó êàê=ωm − ωn .çàêîí êîìïîçèöèè ÷àñòîòω(m, l) + ω(l, n) = ω(m, n),:ω(n, n) = 0.(1)Ñïðàâåäëèâîñòü êîìáèíàöèîííîãî ïðèíöèïà êàê òî÷íîãî çàêîíà ïðèðîäû îçíà÷àåò, ÷òîýêñïåðèìåíòàëüíîå èçó÷åíèå èçëó÷åíèÿ àòîìîâ ïðåäîñòàâëÿåò â ðàñïîðÿæåíèå ôèçèêîâíàáîð ôóíêöèé Amn eiω(mn)t .
Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ïîçâîëÿåò ñâÿçàòü ñ êàæäîé âåëè÷èíîéA, îòíîñÿùåéñÿ ê ýëåêòðîìàãíèòíîìó ïîëþ, ïðåäñòàâëÿþùèé åå íàáîðA ⇐⇒ { = (Amn ),ω(m, n)},(2)â êîòîðîì ÷àñòîòû óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ (1).Åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî ýòîò íàáîð ñîïîñòàâëåí ñ âåëè÷èíîé A â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíèt = 0, òî âåëè÷èíå A(t) ñîîòâåñòâóåò íàáîðA(t) ⇐⇒ {Â(t) = (Amn eiω(m,n)t ),ω(m, n)}.(3)Îäíàêî îäíîãî òîëüêî ñîïîñòàâëåíèÿ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí ñ èõ ïðåäñòàâèòåëÿìè äëÿòåîðèè íåäîñòàòî÷íî. Çàäà÷åé ôèçèêè ÿâëÿåòñÿ âûÿâëåíèå ôóíêöèîíàëüíûõ ñâÿçåé ìåæäóíàáëþäàåìûìè âåëè÷èíàìè. Ïðè ýòîì åñòåñòâåííî âîçíèêàåò ñëåäóþùàÿ çàäà÷à: ïóñòüâ ìîìåíò t = 0 èçìåðåíû âåëè÷èíû G è F , è îêàçàëîñü, ÷òî G çàâèñèò îò F âïîëíåîïðåäåëåííûì îáðàçîì:G = g(F ).Êàê ñâÿçàíû äðóã ñ äðóãîì âåëè÷èíû G(t) è F (t)? Ïîñêîëüêó ýâîëþöèÿ íå äîëæíà èçìåíÿòüâèäà ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè, äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ ñîîòíîøåíèåG(t)=g(F (t)).Íà ÿçûêå ïðåäñòàâèòåëåé ýòî îçíà÷àåò ñëåäóþùåå.
ÅñëèF ⇐⇒ {F̂ = (Fmn ),G ⇐⇒ {Ĝ = (g(F )mn ),ω(m, n)},ω(m, n)},òî äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ ñîîòíîøåíèÿF (t) ⇐⇒ {F̂ (t) = (Fmn eiω(m,n)t ),ω(m, n)},G(t) ⇐⇒ {Ĝ(t) = g(F (t))mn = (g(F )mn eiω(m,n)t ),ω(m, n)}.Ýòè óñëîâèÿ áóäóò âûïîëíåíû, åñëè ïîä ñîâîêóïíîñòüþ âåëè÷èí1Fmn , Fmn (t) è Gmn , Gmn (t) ïîíèìàòü ìàòðèöû, ñâÿçàííûå ðàâåíñòâàìèĜmn = g(F̂ )mn ,Ĝ(t)mn = g(F̂ (t))mn .Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, ïðîñòåéøóþ ôóíêöèþ, êîãäà G = F 2 .  ýòîì ñëó÷àåXGmn =Fml Fln ,làGmn (t)X=Fml (t)Fln (t)=XFml eiω(m,l)t Fln eiω(l,n)t .llÏîñêîëüêóω(m, l) + ω(l, n) = ω(m, n),òîGmn (t)=X(Fml Fln )eiω(m,n)t=Gmn eiω(m,n)t .lÈòàê, ñïðàâåäëèâîñòü êîìáèíàöèîííîãî ïðèíöèïà òðåáóåò ïåðåñìîòðà êèíåìàòè÷åñêèõïîíÿòèé êëàññè÷åñêîé ôèçèêè, òî÷íåå ãîâîðÿ, åñëè ñ÷èòàòü êîìáèíàöèîííûé ïðèíöèïòî÷íûì çàêîíîì ïðèðîäû, òî â ìàòåìàòè÷åñêîì àïïàðàòå, îïèñûâàþùåì ýëåêòðîìàãíèòíûåÿâëåíèÿ, ôèçè÷åñêèì âåëè÷èíàì äîëæíû ñòàâèòüñÿ â ñîîòâåñòâèå ìàòðèöû, à ôóíêöèÿìýòèõ âåëè÷èí ñîîòâåòñòâóþùèå ìàòðè÷íûå ôóíêöèè.2.
×òî èçìåíèòñÿ â íàøèõ ðàññóæäåíèÿõ, åñëè â ðàññìàòðèâàåìóþ ñèñòåìó áóäóò âêëþ÷åíû,êðîìå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, è âçàèìîäåéñòâóþùèå ñ íèì ÷àñòèöû?Îäíèì èç ãëàâíûõ äîñòîèíñòâ ýëåêòðîäèíàìèêè Ìàêñâåëëà-Ëîðåíöà áûëî ïîíÿòèå îáóñêîðåííîì äâèæåíèè çàðÿæåííûõ ÷àñòèö, êàê ïðè÷èíå ýëåêòðîìàãíèòíîãî èçëó÷åíèÿ.Ýòî îçíà÷àåò, â ÷àñòíîñòè, ÷òî èññëåäóÿ èçëó÷åíèå ñèñòåìû ôèíèòíî äâèæóùèõñÿ çàðÿäîâìîæíî ñäåëàòü âïîëíå îïðåäåëåííûå âûâîäû î õàðàêòåðå äâèæåíèÿ ïîðîæäàþùèõ ýëåêòðîìàãíèòíîåïîëå ÷àñòèö.  1925 ãîäó Ãàéçåíáåðã ñôîðìóëèðîâàë óòâåðæäåíèå î òîì, ÷òî íà àòîìíîìóðîâíå èçëó÷åíèå ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì èñòî÷íèêîì çíàíèé î äâèæåíèè ýëåêòðîíîâ.Ïîýòîìó ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò, îïèñûâàþùèé ïîâåäåíèå ýëåêòðîíîâ â àòîìàõ, äîëæåíáûòü îñíîâàí íà òåõ æå êèíåìàòè÷åñêèõ ïîíÿòèÿõ, êîòîðûå îïðåäåëåíû ïðè îïèñàíèèýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ.
Èòàê, åñëè ñïðàâåäëèâ çàêîí êîìïîçèöèè ÷àñòîò (1), òî ñ êàæäîéäèíàìè÷åñêîé ïåðåìåííîé ôèçè÷åñêîé ñèñòåìû ñëåäóåò ñîïîñòàâèòü íåêîòîðóþ ìàòðèöó,à ôóíêöèè, ñâÿçûâàþùèå ðàçëè÷íûå âåëè÷èíû äîëæíû ïîíèìàòüñÿ êàê ìàòðè÷íûå ôóíêöèèÓÐÀÂÍÅÍÈß ÃÀÉÇÅÍÁÅÐÃÀÄëÿ äàëüíåéøåãî ñóùåñòâåííî, ÷òî ìàòðèöû F̂ (t), îïðåäåëÿþùèå çàâèñèìîñòü ïåðåìåííîéF îò âðåìåíè, ìîæíî ïîëó÷èòü êàê ðåøåíèå íåêîòîðîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ.Äëÿ ýòîãî âåðíåìñÿ ê ôîðìóëåFmn (t)=Fmn eiω(m,n)t=eiωm t Fmn e−iωn tè ïðîäèôôåðåíöèðóåì îáå åå ÷àñòè ïî âðåìåíè:dFmn (t)dt=iωm Fmn (t) − iFmn (t)ωn .Åñëè îïðåäåëèòü äèàãîíàëüíóþ ìàòðèöóHmn=h̄ωm δmn ,2.òî ïðåäûäóùóþ ôîðìóëó ìîæíî çàïèñàòü â ôîðìådFmndti X(Hml Fln − Fml Hln ).h̄=lÓäîáíî îïðåäåëèòü êîììóòàòîð ìàòðèö  è B̂ :[Â, B̂]ÂB̂ − B̂ Â.=(4)Òîãäà âûðàæåíèþ äëÿ ïðîèçâîäíîé ìàòðèöû F̂ ìîæíî ïðèäàòü âèä:dF̂dti[Ĥ, F̂ (t)].h̄=(5)Åñëè ìàòðèöà Ĥ çàäàíà, òî âûðàæåíèå (5) ìîæíî ñ÷èòàòü óðàâíåíèåì äâèæåíèÿ ïåðåìåííîéF . Ïîñêîëüêó (5) óðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà ïî âðåìåíè, òî åãî ðåøåíèå ïîëíîñòüþîïðåäåëÿåòñÿ íà÷àëüíûì óñëîâèåì F̂ (0).Ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ìàòðèöû Ĥ èìåþò ðàçìåðíîñòü ýíåðãèè, ïîýòîìó â äàëüíåéøåìîíà áóäåò îòîæäåñòâëÿòüñÿ ñ ýíåðãèåé ñèñòåìû è íàçûâàòüñÿ ãàìèëüòîíèàíîì.Ïðàâäà, ïîêà ýòà âåëè÷èíà ìàëî íàïîìèíàåò ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè. êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà ïîçâîëÿåò íàéòè âàæíåéøóþ õàðàêòåðèñòèêóñèñòåìû ýíåðãèþ ïî íà÷àëüíûì äàííûì.
Çäåñü æå äëÿ çàäàíèÿ ãàìèëüòîíèàíà òðåáóþòñÿçíà÷åíèÿ âîçìîæíûõ ÷àñòîò ñèñòåìû {ωn }, ò.å. òî, ÷òî ïðåäñòîèò óçíàòü. ×òîáû ïðèáëèçèòüêâàíòîâûé ãàìèëüòîíèàí ê ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà, íóæíî, ïðåæäå âñåãî, ñíÿòü óñëîâèåäèàãîíàëüíîñòè ìàòðèöû Ĥ. Äëÿ ýòîãî âîçüìåì íåîñîáåííóþ ìàòðèöó Ŝ , ò.å. òàêóþ, äëÿêîòîðîé ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ìàòðèöà Sˆ−1 :Ŝ Ŝ −1Ŝ −1 Ŝ==Ê.Îïðåäåëèâ âåëè÷èíû0F̂ (t)Ŝ F̂ (t)Ŝ −1 ,=Ĥ0=Ŝ ĤŜ −1 ,íàéäåì, ÷òî îíè óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ, ïîâòîðÿþùåìó óðàâíåíèå (5):dF̂dt0i 0 0[Ĥ , F̂ (t)].h̄=Ïîñêîëüêó ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâàF̂0Ŝ −1 F̂ Ŝ,=Ĥ=0Ŝ −1 Ĥ Ŝ,òî øòðèõîâàííûå è íåøòðèõîâàííûå ìàòðèöû âçàèìíî îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþò äðóã äðóãà.Óðàâíåíèÿ äëÿ øòðèõîâàííûõ âåëè÷èí îòëè÷àþòñÿ îò óðàâíåíèé äëÿ íåøòðèõîâàííûõ0ëèøü òåì, ÷òî Ĥ íå îáÿçàòåëüíî äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà.Óäîáíî íå îãîâàðèâàòü çàðàíåå, ñ êàêèìè èìåííî âåëè÷èíàìè ìû èìååì äåëî, à ïðîñòîïèñàòü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ â ôîðìå (5), çàìåòèâ, ÷òî îíè êîâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíîïðåîáðàçîâàíèÿ âñåõ ìàòðèöÂ⇒0Â=Ŝ −1 ÂŜ.Ïîñëå ýòîãî â êà÷åñòâå ãàìèëüòîíèàíà ìîæíî âçÿòü íóæíóþ ôóíêöèþ äèíàìè÷åñêèõ ïåðåìåííûõñèñòåìû Ĥ(Q̂).
Óðàâíåíèÿ (5) áûëè ïîëó÷åíû â 1925 ãîäó Ãàéçåíáåðãîì è íàçûâàþòñÿóðàâíåíèÿìè Ãàéçåíáåðãà.ÄÈÍÀÌÈÊÀ ÌÀÒÅÐÈÀËÜÍÎÉ ÒÎ×ÊÈ Ñ ÎÄÍÎÉ ÑÒÅÏÅÍÜÞ ÑÂÎÁÎÄÛ3 êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ñ îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû îïèñûâàåòñÿ,íàïðèìåð, êàíîíè÷åñêèìè ïåðåìåííûìè èìïóëüñîì P è êîîðäèíàòîé Q.
Ñîõðàíÿÿ ïîíÿòèåî ñòåïåíÿõ ñâîáîäû â êâàíòîâîé ìåõàíèêå, îïðåäåëèì ìàòåðèàëüíóþ òî÷êó êàê ñèñòåìó,ñâîéñòâà êîòîðîé îïèñûâàþòñÿ cîîòâåñòâóþùèìè ìàòðèöàìè q̂ è p̂. Îäíàêî, ýòè âåëè÷èíûåùå íàäî îïðåäåëèòü. Ýòî ñäåëàë Ãàéçåíáåðã â 1925 ãîäó. Ïðàâäà, â ñâîåé êëàññè÷åñêîéðàáîòå îí äàæå íå óïîìèíàë î ìàòðèöàõ, îäíàêî, ìû áóäåì ïðèäåðæèâàòüñÿ ñîâðåìåííûõ(íî ïîêà íå ñàìûõ ñîâðåìåííûõ) îáîçíà÷åíèé. Îïðåäåëèì êîîðäèíàòó è èìïóëüñ êàêýðìèòîâû ìàòðèöûq̂ = q̂ + ,p̂ = p̂+ ,(6a)óäîâëåòâîðÿþùèå ïåðåñòàíîâî÷íûì ñîîòíîøåíèÿì[q̂, p̂]=ih̄Ê.(6b)Èç ñîîòíîøåíèé (6b) íåìåäëåííî âûòåêàþò ôîðìóëû[q̂, p̂n ]=ih̄np̂n−1 ,=ih̄F (p̂),[q̂ n , p̂]ih̄nq̂ n−1=è áîëåå îáùèå ðàâåíñòâà[q̂, F (p̂)]0Âçÿâ ãàìèëüòîíèàí â âèäåĤ=ïîëó÷èì òàêèå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿdq̂dtdp̂dt==[G(q̂), p̂]1 2p̂2mi[Ĥ, q̂]h̄+i[Ĥ, p̂]h̄0=ih̄G (q̂).V (q̂),1p̂m=0=V (q̂)=∂ Ĥ,∂ p̂=−∂ Ĥ.∂ q̂Ôîðìàëüíî óðàâíåíèÿ Ãàéçåíáåðãà âûãëÿäÿò êàê ìàòðè÷íàÿ âåðñèÿ óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà.Ïðèâåäåì äâà ïðèìåðà ðåøåíèÿ óðàâíåíèé Ãàéçåíáåðãà.1. Ñâîáîäíàÿ ÷àñòèöà.Ãàìèëüòîíèàí â ýòîì ñëó÷àå ðàâåíĤ1 2p̂ ,2m=ïîýòîìódq̂1=p̂,dtmÐåøåíèÿ óðàâíåíèé Ãàéçåíáåðãà èìåþò âèäp̂=Â,q̂dp̂dt=1Âtm=0.+B̂,ãäå  è B̂ ïîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ.
×òîáû óäîâëåòâîðèòü íà÷àëüíûì óñëîâèÿì, èõñëåäóåò âûáðàòü â ôîðìå = q̂,B̂ = p̂,q̂ +=q̂,p̂+=p̂,[q̂, p̂]=ih̄Ê.Òàêèì îáðàçîì ðåøåíèÿ óðàâíåíèé Ãàéçåíáåðãà ïîâòîðÿþò êëàññè÷åñêèå ôîðìóëû ñ çàìåíîéêëàññè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ íà ñîîòâåòñòâóþùèå ìàòðèöû:p̂(t)=p̂,q̂(t)4=1p̂tm+q̂.Ìàòðèöû q̂(t), p̂(t) óäîâëåòâîðÿþò ïåðåñòàíîâî÷íûì ñîîòíîøåíèÿì:[q̂(t), p̂(t)]=ih̄Ê.2. Ãàðìîíè÷åñêèé îñöèëëÿòîð.Ãàìèëüòîíèàí ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà ðàâåíĤ,1 2p̂2m=1mω 2 q̂ 2 ,2+ïîýòîìó1dp̂dq̂=p̂,= −mω 2 q̂.dtmdtÝòó ñèñòåìó ìîæíî, êàê îáû÷íî, ñâåñòè ê óðàâíåíèþ âòîðîãî ïîðÿäêà:d2 q̂dt2+ω 2 q̂=0.Ðåøåíèåì ýòîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöàq̂(t)=Ĉ1 cosωt+Ĉ2 sinωt,à p̂(t) ïîëó÷àþòñÿ èç q̂(t) äèôôåðåíöèðîâàíèåì:p̂(t)=mdq̂dt−mω Ĉ1 sinωt=+mω Ĉ2 sinωt. ýòèõ ôîðìóëàõ Ĉ1 , Ĉ2 ïîñòîÿííûå ìàòðèöû, îïðåäåëÿåìûå íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè:Ĉ1=q̂(0),ω Ĉ2=(dq̂ dt)0=1p̂,m[q̂, p̂]=ih̄Ê.Ýòî ïðèâîäèò ê ôîðìóëàìq̂(t)=q̂cosωtp̂(t)=−mω q̂sinωt1p̂sinωt,mω++p̂cosωt.Êîììóòàòîð ìàòðèö q̂(t), p̂(t) íå èçìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè.3.
Óðîâíè ýíåðãèè ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà. 1925 ãîäó Ãàéçåíáåðã èñïîëüçîâàë óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ óðîâíåéýíåðãèè ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà. Íèæå áóäóò, ñ íåêîòîðûìè èçìåíåíèÿìè îáîçíà÷åíèé,âîñïðîèçâåäåíû ñîîòâåñòâóþùèå ôîðìóëû.Óäîáíî ïåðåéòè ê ìàòðèöàì, àíàëîãè÷íûì êëàññè÷åñêèì êîìïëåêñíûì àìïëèòóäàì.Âûáåðåì ïîñòîÿííûå q0 , p0 , ñâÿçàííûå ñîîòíîøåíèÿìèq 0 p0=h̄,è îïðåäåëèì ìàòðèöûâ=1 q̂√ (2 q0Êîììóòàòîð ýòèõ ìàòðèö ðàâåí+ip̂),p0â+[â, â+ ]==1 q̂√ (2 q0−ip̂).p0Ê. ñëó÷àå ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà â êà÷åñòâå q0 è p0 ìîæíî âçÿòü âåëè÷èíûr√h̄h̄mω.q0 =,p0 =mω5Ïîäñòàâëÿÿ â ôîðìóëû äëÿ â, â+ çàâèñÿùèå îò âðåìåíè ìàòðèöû q̂(t), p̂(t), íåòðóäíî ïîëó÷èòüóðàâíåíèÿdâdâ+= −iωâ,= iωâ+ ,dtdtðåøåíèÿ êîòîðûõ èìåþò âèäâ(t)âe−iωt ,=â+ (t)=â+ eiωt .Ñîîòíîøåíèÿqp√0 (â + â+ ),√0 (â − â+ )p̂ =2i 2ïîçâîëÿþò ïðåäñòàâèòü ãàìèëüòîíèàí ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà â ôîðìåq̂=Ĥ1ωh̄(â+ â + Ê).2=Ïîñëå ýòîãî óðàâíåíèÿ Ãàéçåíáåðãà äëÿ ìàòðèö â, â+dâdt=dâ+dti[Ĥ, â],h̄=i[Ĥ, â+ ]h̄ìîæíî ïðåâðàòèòü â ñèñòåìó ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ óðàâíåíèé äëÿ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâýòèõ ìàòðèö.Ïðåæäå ÷åì çàíèìàòüñÿ âû÷èñëåíèÿìè, ïðèìåì áîëåå óäîáíûå îáîçíà÷åíèÿ ìàòðèö.Ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ìàòðèöû Â, êîòîðûå îáû÷íî îáîçíà÷àþòñÿ êàê Amn òåïåðü áóäóòîáîçíà÷àòüñÿ äðóãèì ñèìâîëîì:Amn ⇒ hm|Â|ni.Ïîñëå ýòîãî âû÷èñëåíèÿ ñ ìàòðèöàìè ïðèîáðåòàþò àâòîìàòèçì, íàïðèìåð, ôîðìóëà ïðîèçâåäåíèÿìàòðèö âûãëÿäèò òàê:Xhm|ÂB̂|ni =hm|Â|lihl|B̂|ni.l íîâûõ îáîçíà÷åíèÿõ ìàòðè÷íîå ðàâåíñòâî−h̄ωâ=[Ĥ, â]=hm|[Ĥ, â]|ni=Em δmn ,â ïîêîìïîíåíòíîé çàïèñè ïðèíèìàåò ôîðìó−ωh̄hm|â|niÅñëè ìàòðèöà Ĥ äèàãîíàëüíà:hm|Ĥ|niòî ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿhm|[Ĥ, â]|ni=(Em − En )hm|â|ni.=(Em − En )hm|â|ni.Òàêèì îáðàçîì ïîëó÷àþòñÿ óðàâíåíèÿ−ωh̄hm|â|niÏîëó÷åííûå ðàâåíñòâà ìîãóò áûòü óäîâëåòâîðåíû â äâóõ ñëó÷àÿõ:En=hm|â|ni = 0.Em + h̄ωÄîãîâîðèìñÿ íóìåðîâàòü óðîâíè ýíåðãèè òàê, ÷òîáû èõ çíà÷åíèÿ ìîíîòîííî âîçðàñòàëè ñóâåëè÷åíèåì íîìåðà óðîâíÿ.
 ýòîì ñëó÷àå óðîâíè ýíåðãèè îñöèëëÿòîðà ìîæíî ïåðå÷èñëèòüôîðìóëîéEn = E0 + h̄ωn, n = 0, 1, 2, ...,6ãäå E0 ïîêà ïðîèçâîëüíî. Îòëè÷íûå îò íóëÿ ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ìàòðèöû â ðàâíûhn − 1|â|ni=an ,n = 1, 2, 3, ...Àíàëîãè÷íî, îòëè÷íûå îò íóëÿ ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû â+ ðàâíûhn|â+ |n − 1ian ∗ ,=n = 1, 2, 3, ...Çíà÷åíèÿ ÷èñåë an ìîæíî ïîëó÷èòü, ó÷èòûâàÿ ÿâíî ïåðåñòàíîâî÷íîå ñîîòíîøåíèå ìåæäóâ è â+ :hm|Ê|ni = hm|[â, â+ ]|ni = |am+1 |2 δm+1,n+1 − |am |2 δm−1,n−1 = (|am+1 |2 − |am |2 )δmn .Ýòî ïðèâîäèò ê óðàâíåíèÿì â êîíå÷íûõ ðàçíîñòÿõ|am+1 |2|am |2 + 1=ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì a0 = 0. Åñëè ñ÷èòàòü ÷èñëà an äåéñòâèòåëüíûìè, òî√an =n, n = 1, 2, 3, ... ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåòñÿ òàêàÿ ôîðìóëà äëÿ îòëè÷íûõ îò íóëÿ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâìàòðèö â, â+ :√√hm|â|ni = δm,n−1 n,hm|â+ |ni = δm,n+1 n + 1.Òåïåðü ìîæíî íàéòè çíà÷åíèå E0 :∞1 XE0 = h0|Ĥ|0i = h̄ω( +h0|â+ |lihl|â|0i).2lÏîñêîëüêó ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû h0|â+ |li,hl|â|0i, l ≥ 0 ðàâíû íóëþ, òî óðîâíè ýíåðãèèãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà ïåðå÷èñëÿþòñÿ ôîðìóëîéEn=1h̄ω(n + ).2ÊÀÍÎÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
