lect01-07 (1120607), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Îíè äîëæíû áûòü òàêèìè, ÷òîáû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, îïðåäåëÿþùèå ÷èñëàhφ|ψi âñåãäà áûëè êîíå÷íûìè.  ñèëó íåðàâåíñòâà Êîøè-ÁóíÿêîâñêîãîX X|hφ|ψi|2 ≤|φs |2|ψs |2 .ssÏîýòîìó â êà÷åñòâå äîïóñòèìûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ìîæíî âçÿòü ìíîæåñòâîXl2 = {ψ :|φs |2 < ∞}.s ñèëó íåðàâåíñòâà Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî ìíîæåñòâî l2 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âåêòîðíîåïðîñòðàíñòâî. Ýòî îçíà÷åò ñëåäóþùåå: åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ψ1 è ψ2 ïðèíàäëåæàòl2 , òî ýòîìó æå ìíîæåñòâó ïðèíàäëåæèò è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ψ1 c1 + ψ2 c2 ñïðîèçâîëüíûìè êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè c1 è c2 .Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ψ áóäåì íàçûâàòü âåêòîðàìè ïðîñòðàíñòâà l2 , à ÷èñëà hφ|ψi ñêàëÿðíûìïðèçâåäåíèåì âåêòîðîâ φ è ψ .Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå îáëàäàåò âàæíûìè äëÿ äàëüíåéøåãî ñâîéñòâàìè:1.hψ|ψ1 c1 + ψ2 c2 i=hψ|ψ1 ic1 + hψ|ψ2 ic2 ;hφ|ψi=(hψ|φi)∗ ;2.193.hψ|ψi≥hψ|ψi = 00,⇐⇒φ = 0.Âåêòîðû φ, ψ , ñêàëÿðíîåïðîèçâåäåíèå êîòîðûõ ðàâíî íóëþ, íàçûâàþò îðòîãîíàëüíûìè.p×èñëî ||ψ|| = + hψ|ψi íàçûâàþò íîðìîé èëè äëèíîé âåêòîðà ψ .
Âåêòîð, íîðìà êîòîðîãîðàâíà 1, íàçûâàþò åäèíè÷íûì. ïðîñòðàíñòâå l2 ñóùåñòâóþò îðòîíîðìèðîâàííûå áàçèñû ìíîæåñòâà âåêòîðîâ {em }ñî ñâîéñòâàìè:1 ñâîéñòâî îðòîãîíàëüíîñòè:hem |en i=δmn .Âåêòîðû áàçèñà ïîïàðíî îðòîãîíàëüíû; äëèíà êàæäîãî èç ýòèõ âåêòîðîâ ðàâíà åäèíèöå.2 ñâîéñòâî ïîëíîòû:X2.∀ψ ∈ l2ψ=en c n −nïðîèçâîëüíûé âåêòîð èç l2 ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñóïåðïîçèöèþ âåêòîðîâ áàçèñà. Èíîãäàáûâàþò óäîáíû ôîðìóëû, âûðàæàþùèå óñëîâèÿ îðòîãîíàëüíîñòè è ïîëíîòû â òåðìèíàõñîñòàâëÿþùèõ âåêòîðîâ áàçèñà.
Ñâîéñòâî îðòîãîíàëüíîñòè:Xems e∗ ns = δmn .sÑâîéñòâî ïîëíîòû:Xens e∗ nt=δst .nÊîýôôèöèåíòû cn â ýòîì ðàçëîæåíèè ðàâíû ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèÿìcnhen |ψi.=Èõ íàçûâàþò êîîðäèíàòàìè èëè êîýôôèöèåíòàìè Ôóðüå âåêòîðà ψ â áàçèñå {en }.Åñëè òîëêîâàòü ÷èñëà ens êàê ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ìàòðèöû (Ŝ)ns = ens , òî ñîîòíîøåíèÿîðòîãîíàëüíîñòè è ïîëíîòû ïðèìóò âèä óñëîâèé óíèòàðíîñòè ìàòðèöû Ŝ :Ŝ Ŝ +Ŝ + Ŝ==Ê.Ïðîñòðàíñòâî l2 ýòî ïðèìåð îáùåãî ïðîñòðàíñòâà Ãèëüáåðòà.
Íå èìåÿ âîçìîæíîñòèâäàâàòüñÿ â èçëîæåíèå ïîëíîé òåîðèè ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâ, ïðèâåäåì óäîáíîå äëÿíàñ îïðåäåëåíèå:ãèëüáåðîòîâî ïðîñòðàíñòâî H ýòî ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì,â êîòîðîì ñóùåñòâóåò îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ.ËÈÍÅÉÍÛÅ ÎÏÅÐÀÒÎÐÛ ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå ìîæíî îïðåäåëèòü ëèíåéíûé îïåðàòîð ëèíåéíóþôóíêöèþ âåêòîðîâ ïðîñòðàíñòâà H .ψ∈H=⇒ψ0=F (ψ)ñî ñâîéñòâîìF (ψ1 c1 + ψ2 c2 )=F (ψ1 )c1 + F (ψ2 )c2 .Îïåðàòîðû F1 è F2 íàçûâàþò ðàâíûìè, åñëè∀ψF1 (ψ)20=F2 (ψ).Ôàêò ðàâåíñòâà îïåðàòîðîâ îòðàæàþò ôîðìóëîéF1=F2 . òåðìèíàõ äâóõ îïåðàòîðîâ F1 , F2 ìîæíî îïðåäåëèòü ñóììó îïåðàòîðîâ îïåðàòîðF=c1 F1 + c2 F2 ,äåéñòâóþùèé ïî ôîðìóëåF (ψ)=F1 (ψ)c1 + F2 (ψ)c2 .Ïðîèçâåäåíèåì îïåðàòîðîâ F1 è F2 íàçûâàþò îïåðàòîð F2 F1 :F2 F1 (ψ)=F2 (F1 (ψ)).Íåòðóäíî ïîêàçàòü ïðÿìûì âû÷èñëåíèåì, ÷òî ñóììà è ïðîèçâåäåíèå ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ ëèíåéíûå îïåðàòîðû.Ìîæíî îïðåäåëèòü äåéñòâèå ñ ëèíåéíûìè îïåðàòîðàìè, àíàëîãè÷íîå êîìïëåêñíîìóñîïðÿæåíèþ ÷èñåë.
Ïóñòü F ëèíåéíûé îïåðàòîð, φ ïðîèçâîëüíûé, à ψ íåêîòîðûéôèêñèðîâàííûé âåêòîð èç H . Îáðàçóåì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå hφ|F (ψ)i è ïîïðîáóåìïðåäñòàâèòü åãî â ôîðìå0hφ|F (ψ)i = hφ |ψi.0Îòîáðàæåíèå φ =⇒ φ îïðåäåëÿåò îïðåäåëÿåò ñîïðÿæåííûé îïåðàòîð0φF + (φ).=Èç îïðåäåëåíèÿ ñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà ñëåäóåò, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâîhφ|F ψihF + φ|ψi.=Ïåðåõîäÿ ê êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûì ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèÿì íåòðóäíî ïîëó÷èòü ñîîòíîøåíèåhφ|F + ψihF φ|ψi.=Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîâòîðíîå ñîïðÿæåíèå ïðèâîäèò ê ïåðâîíà÷àëüíîìó îïåðàòîðó(F + )+=F.Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ñîïðÿæåíèå ïðîèçâåäåíèÿ îïåðàòîðîâ ìåíÿåò ïîðÿäîê ñîìíîæèòåëåé:(F1 F2 )+=F2 + F1 + .Ïàðó ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ A è B îñóùåñòâëÿþùèõ îòîáðàæåíèÿA(ψ)=φ,B(φ)=ψ,íàçûâàþò âçàèìíî îáðàòíûìè è îáîçíà÷àþò, íàïðèìåð, ñèìâîëàìè A è A−1 .
Óñëîâèåñóùåñòâîâàíèÿ îáðàòíîãî îïåðàòîðà ìîæíî çàïèñàòü êàê äâà óðàâíåíèÿAA−1=A−1 A=E.Óíèòàðíûìè îïåðàòîðàìè íàçûâàþò îïåðàòîðû, ñîõðàíÿþùèå ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ:hS(φ)|S(ψ)i=hφ|ψi∀φ, ψ.Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî îïåðàòîð S áóäåò óíèòàðíûì, åãî ñîïðÿæåííûé îïåðàòîð ñîâïàäåòñ îáðàòíûì:S + S = SS + = E.21ÌÀÒÐÈÖÀ ÊÎÎÐÄÈÍÀÒÍÀß ÐÅÀËÈÇÀÖÈß ÎÏÅÐÀÒÎÐÀÄåéñòâèå ëèíåéíîãî îïåðàòîðà óäîáíî îïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïîñêîëüêó êàæäûéâåêòîð ψ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ôîðìåXψ =en cn ,nòîF (ψ)=XF (en )cn .nÂåêòîðû F (en ) â ñâîþ î÷åðåäü ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàêXF (en ) =em dmn ,mãäådmn=hem |F (en )i.Óäîáíî èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèÿhem |F (en )i=hem |F |en i=hF + (em )|en i,èF (ψ)F |ψi.=Ïîñëå ýòîãî äåéñòâèå îïåðàòîðà F áóäåò âûãëÿäåòü òàê:XF |ψi =em hem |F |en ihen |ψi.mnÌàòðèöó hem |F |en i ìîæíî ñ÷èòàòü ïðåäñòàâèòåëåì îïåðàòîðà F , åãî êîîðäèíàòíîé ðåàëèçàöèåéâ áàçèñå en .
Ïðè ýòîì ñóììå èëè ïðîèçâåäåíèþ îïåðàòîðîâ áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü ñóììàèëè ïðîèçâåäåíèå ìàòðèö îïåðàòîðîâ, ñîïðÿæåííîìó îïåðàòîðó ýðìèòîâî ñîïðÿæåííàÿìàòðèöà. Ôóíêöèÿì îïåðàòîðîâ ñîîòâåòñòâóþùèå ôóíêöèè ìàòðèö.Îñòàåòñÿ îïðåäåëèòü ñëåä îïåðàòîðà: ñëåä îïåðàòîðà ýòî ÷èñëîXT r(F ) =hen |F |en i.nÕîòÿ â îïðåäåëåíèè ñëåäà ôèãóðèðóåò íåêîòîðûé ÷àñòíûé áàçèñ, çíà÷åíèå ñëåäà îò âûáîðàáàçèñà íå çàâèñèò.
Ïóñòü hn åùå îäèí áàçèñ, òàê ÷òîXen =hs hhs |en i.sÏîäñòàâëÿÿ ýòî ðàçëîæåíèå â ôîðìóëó âû÷èñëåíèÿ ñëåäà, ïîëó÷èìXXXT r(F ) =hhs hhs |en i|F |ht hht |en ii.nstÂûíîñÿ ÷èñëà èç-ïîä çíàêà ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ è ìåíÿÿ ïîðÿäîê ñóììèðîâàíèÿ,ïîëó÷èìXXT r(F ) =hhs |F |ht ihht |en ihen |hs i.stnÂû÷èñëåíèå âíóòðåííåé ñóììû ïðèâîäèò ê δst , ïîñëå ÷åãî çíà÷åíèå ñëåäà îêàçûâàåòñÿðàâíûìXT r(F ) =hhs |F |hs i.s22ÑÏÅÊÒÐÀËÜÍÎÅ ÏÐÅÄÑÒÀÂËÅÍÈÅ ÑÀÌÎÑÎÏÐßÆÅÍÍÎÃÎ ÎÏÅÐÀÒÎÐÀÏðè èçó÷åíèè ñòðóêòóðû ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ ïîëåçíî çíàòü èõ ñîáñòâåííûå âåêòîðû.Íå ðàâíûé íóëþ âåêòîð ψ ∈ H íçûâàþò ñîáñòâåííûì âåêòîðîì ëèíåéíîãî îïåðàòîðàF , ïðèíàäëåæàùèì ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ f , åñëè âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâîF |ψi|ψif.=Äëÿ äàëüíåéøåãî âàæíî, ÷òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ñàìîcîïðÿæåííîãî îïåðàòîðàäåéñòâèòåëüíû: åñëè ψ ñîáñòâåííûé âåêòîð ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà F , òîhψ|F ψi=hψ|F |ψi=hF ψ|ψihψ|ψif==f ∗ hψ|ψi.Êðîìå òîãî, ñîáñòâåííûå âåêòîðû ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà, ïðèíàäëåæàùèå ðàçëè÷íûìñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì, îðòîãîíàëüíû:hψ1 |F |ψ2 i=f1 hψ1 |ψ2 ihψ1 |ψ2 if2 .=È íàêîíåö: ñîáñòâåííûå âåêòîðû, ïðèíàäëåæàùèå îäíîìó ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ,ìîæíî îðòîãîíàëèçîâàòü.
Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî âñå ñîáñòâåííûå âåêòîðûñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà ïîïàðíî îðòîãîíàëüíû.Èçâåñòíî, ÷èñëî ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà â êîíå÷íîìåðíîìãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå ðàâíî ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà. ñëó÷àå ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâ áåñêîíå÷íîé ðàçìåðíîñòè âîçìîæíû òðè ñëó÷àÿ.1. Ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð íå èìååò íè îäíîãî ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ.2. ×èñëî ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ψs ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà F = F + òàêîâî, ÷òîíàéäåòñÿ íåíóëåâîé âåêòîð ψ , îðòîãîíàëüíûé êî âñåì âåêòîðàì ψs . Èíà÷å ãîâîðÿ, ñîáñòâåííûåâåêòîðû F íå îáðàçóþò áàçèñà â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå.3. Ñîáñòâåííûå âåêòîðû îïåðàòîðà ψs îáðàçóþò îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ âãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå.
Òàêèå îïåðàòîðû íàçûâàþò îïåðàòîðû ñ ÷èñòî äèñêðåòíûìñïåêòðîì.  ýòîì ñëó÷àåXXF |ψi =F |ψs ihψs |ψi =|ψs igs hψs |ψi.ssÝòî îçíà÷àåò, F ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñóììó îïåðàòîðîâXF =gs Qs .sÎïåðàòîðû Qs äåéñòâóþò ïî ôîðìóëåQs |ψi|ψs ihψs |ψi.=Èõ åñòåñòâåííî íàçâàòü îïåðàòîðàìè ïðîåêòèðîâàíèÿ íà âåêòîðû ψs . Îïåðàòîðûïðîåêòèðîâàíèÿ îáëàäàþò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:XQs + = Qs ,Qk Ql = δkl Qk ,Qk = E.kÏîëåçíî ïåðåñòðîèòü ýòó ôîðìóëó òàê, ÷òîáû â ñóììó âõîäèëè òîëüêî íåðàâíûå äðóã äðóãó÷èñëà gs .Ïóñòü ÷èñëà fs íà ãðóïïûg1 = g2 = ... = gn1 = f1 ;gn1 +1 = gn1 +2 = ...
= gn2 = f2 ; ...Cóììó, îïðåäåëÿþùóþ F , ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ôîðìåF=f1 (Q1 + Q2 + ...Qn1 ) + f2 (Qn1 +1 + ...Qn2 ) + ...23ÎïåðàòîðûPs=Qns−1 +1 + ... + Qns ,êàê è Qk óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèÿìPs +=Ps ,Ps Pt=δst Ps ,XPs=E.sÎïåðàòîðû Ps ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îïåðàòîðû ïðîåêòèðîâàíèÿ íà ïîïàðíî îðòîãîíàëüíûåïîäïðîñòðàíñòâà Ms , íàòÿíóòûå íà âåêòîðû {ψs rbrace, k = 1, 2, ..., ns − ns−1 .Îïåðàòîð F ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñóììó îïåðàòîðîâ Ps :XF =fs Ps .sÑîâîêóïíîñòü ÷èñåë fs íàçûâàþò cïåêòðîì îïåðàòîðà F , ñîâîêóïíîñòü îïåðàòîðîâ Ps ñïåêòðàëüíûì ðàçëîæåíèåì åäèíèöû, ïðèíàäëåæàùèì îïåðàòîðó F , à ñàìî ïðåäñòàâëåíèåF â òåðìèíàõ îïåðàòîðîâ Ps ñïåêòðàëüíûì ðàçëîæåíèåì îïåðàòîðà F .Îòìåòèì ïîëåçíîå ïðèìåíåíèå ôîðìóëû ñïåêòðàëüíîãî ðàçëîæåíèÿ. Ëþáóþôóíêöèþ îïåðàòîðà F ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåXG(F ) =G(fs )Ps .sÊðàòíîñòü âûðîæäåíèÿ çíà÷åíèé ñïåêòðà îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîéN (fs )=T r(Ps ).ÈÇÌÅÐÅÍÈß ÑÎÎÁÙÀÞÒ ÈÍÔÎÐÌÀÖÈÞ Î ÑÎÑÒÎßÍÈÈ ÑÈÑÒÅÌÛÔèçèêà, áóäó÷è íàóêîé î ïðèðîäå, ðàçâèâàåòñÿ àíàëèçèðóÿ ðåçóëüòàòû ýêñïåðèìåíòîâ,ò.å.
íàáîðû íå ñîâñåì òî÷íûõ ÷èñåë.  íàóêå î íåòî÷íûõ ÷èñëàõ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ìåðîé ðàçìûòîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ íàáîðà ÷èñåë ñëóæèò äèñïåðñèÿ âåëè÷èíà ðàâíàÿD(F )=hF 2 i − (hF i)2Ïåðåíåñåì ñîîáðàæåíèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé â êâàíòîâóþ ìåõàíèêó. Åñëè íàáëþäàåìîéF ñîîòâåòñâóåò ñàìîñîïðÿæåííûé ëèíåéíûé îïåðàòîð F = F + , òî åå äèñïåðñèþ ìîæíîïðåäñòàâèòü â ôîðìåD(F ) = hT 2 i,ãäåT=F − hF iE.Ïîñêîëüêó ñðåäíåå çíà÷åíèå íàáëþäàåìîé hF i äåéñòâèòåëüíî, òî îïåðàòîð T ñàìîñîïðÿæåí:T+=T,à ñðåäíåå çíà÷åíèå T 2 íåîòðèöàòåëüíî.Çíàÿ âñå ýòî, åñòåñòâåííî äàòü òàêîå îïðåäåëåíèå:íàáëþäàåìàÿ èìååò òî÷íîå çíà÷åíèå â íåêîòîðîì ñîñòîÿíèè, åñëè åå äèñïåðñèÿ âýòîì ñîñòîÿíèè ðàâíà íóëþ.Ïîñêîëüêó ìàòðèöó ïëîòíîñòè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ôîðìåXρ =ps Qs ,s24òîDρX=ps T r(T 2 Qs ).sÄèñïåðñèÿ ðàâíà íóëþ â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè∀sT r(T 2 Qs ) = 0.ps = 0Ìîæíî âûáðàòü òàêîé áàçèñ {em }, â êîòîðîì äåéñòâèå îïåðàòîðîâ Qs ìîæíî âûðàçèòüôîðìóëîé:XQs |ψi =|ei ihei |ψi,i∈∆sò.å.Qs |em i=em , m ∈ ∆s0, m 6∈ ∆sÏîýòîìóT r(T 2 Qs )X=hem |T 2 em im∈∆s=X||T em ||2 .m∈DeltasÒàêèì îáðàçîì, ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå:ps 6= 0,m ∈ ∆s =⇒T em = 0,èëèps 6= 0,m ∈ ∆s =⇒F em = em hF i.Òàêèì îáðàçîì,òî÷íûì çíà÷åíèåì íàáëþäàåìîé F ìîæåò áûòü òîëüêî îäíî èç ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèéîïåðàòîðà ýòîè âåëè÷èíû.Çàìåòèì, ÷òî âåêòîðû em ïîÿâèëèñü êàê ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèöû ïëîòíîñòè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
