lect01-07 (1120607), страница 8
Текст из файла (страница 8)
 1925 ãîäóÏàóëè ïðèñòóïàÿ ðåøåíèþ çàäà÷è îá óðîâíÿõ ýíåðãèè àòîìà âîäîðîäà îïðåäåëèë îïåðàòîð~A=~r1 ~((l × p~) − (~p × ~l)) + ,2p0rp0 =h̄.r0Ïàóëè, åñòåñòâåííî îïðåäåëèë òðè ìàòðèöû, ïîòîìó ÷òî ïîíÿòèå îïåðàòîðà â êâàíòîâóþìåõàíèêó òîãäà åùå íå ïðîíèêëî. Íàçûâàÿ òðè ñîîòâåòñâóþùèå îïåðàòîðà âåêòîðîì, ìûïîäðàçóìåâàåì ïîêà ëèøü ÷èñëî îïåðàòîðîâ. Èìÿ âåêòîðà ýòè îïåðàòîðû ñ ïîëíûì ïðàâîì44ìîãóò ïîëó÷èòü ëèøü ïîñëå âû÷èñëåíèÿ êîììóòàòîðîâ íàøèõ âåëè÷èí ñ ìîìåíòîì èìïóëüñà.Ïðÿìîé ïîäñ÷åò ïîêàçûâàåò, ÷òî ñïðàâåäëèâû ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ[lα , Aβ ]=iαβγ Aγ ,ïîêàçûâàþùèå, ÷òî ìû äåéñòâèòåëüíî èìååì äåëî ñ êâàíòîâûì âåêòîðîì Ëàïëàñà-ÐóíãåËåíöà.Äàëåå, âçÿâ â êà÷åñòâå ãàìèëüòîíèàíà îïåðàòîðH1 2p~2m=Ze2,r−íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî[H, Aα ]=0.~ èíòåãðàë äâèæåíèÿ. Ñîñòàâëÿþùèå âåêòîðà A~ íå êîììóòèðóþò. ÏðÿìîåÒàêèì îáðàçîì Aâû÷èñëåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî[Aα , Aβ ]−i=2Hαβγ lγ ,E0E0=Ze2.r0Íàêîíåö, äîñòàòî÷íî ïðîñòî âûâîäèòñÿ ôîðìóëà~2A2H ~2(l + 1)E0=+1.Èìåííî ýòî ñîîòíîøåíèå èñïîëüçîâàë Ïàóëè ïðè âûâîäå ôîðìóëû óðîâíåé ýíåðãèè àòîìàâîäîðîäà.Ïîëåçíî ïîìíèòü, ÷òî â ñëó÷àå ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé ýëåêòðîíà, êîãäà ýíåðãèÿ îòðèöàòåëüíà,îïåðàòîð (−H) ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåí.Äëÿ äàëüíåéøåãî óäîáíî îïðåäåëèòü íîâûå ïåðåìåííûåkα=BAα=1B2Aα B,=−2H.E0Îïåðàòîðû lα , kα ýðìèòîâû, à èõ êîììóòàòîðû ðàâíû[lα , lβ ] = iαβγ lγ ,[lα , kβ ] = iαβγ kγ ,[kα , kβ ] = iαβγ lγ .Êðîìå òîãî, âåêòîðû ~k è ~l îðòîãîíàëüíû:~k~l~l~k==0.Âñå ýòè ñîîòíîøåíèÿ èìåþò ÷èñòî êèíåìàòè÷åñêóþ ïðèðîäó.
Ðàâåíñòâî~k 2 + ~l2 + 1=−E02Hîïðåäåëÿåò ãàìèëüòîíèàí êàê ôóíêöèþ kα , lα , ïðè÷åì ñèììåòðèÿ ãàìèëüòîíèàíà ñâÿçàíà ñâîçìîæíûìè êàíîíè÷åñêèìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè ýòèõ ïåðåìåííûõ. ×òîáû ïðîÿñíèòü ñòðóêòóðóýòèõ ïðåîáðàçîâàíèé, óäîáíî ïåðåéòè ê íîâûì ïåðåìåííûìJ~1=1 ~ ~(l + k),2J~2=1 ~ ~(l − k).245Ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ[J1α , J1β ]=iαβγ J1γ ,[J2α , J12β ]=iαβγ J2γ .[J1α , J2β ]=0ïîêàçûâàþò, ÷òî J~1 , J~2 äâà íåçàâèñèìûõ ìîìåíòà êîëè÷åñòâà. êà÷åñòâå íàáëþäàåìûõ, îïðåäåëÿþùèõ ÷èñòûå ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû, ìîæíî âûáðàòüîïåðàòîðû J~12 , J13 , J~22 , J23 .
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî áàçèñ ïðîñòðàíñòâà ñîñòîÿíèé ñèñòåìû ìîæíîâûáðàòü êàê ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâΨ(j1 , m1 ; j2 , m2 )Ψ(j1 , m1 ) ⊗ Ψ(j2 , m2 ).=Ôàêòè÷åñêè ñîñòîÿíèÿ àòîìà âîäîðîäà áóäóò çàíèìàòü ëèøü ÷àñòü ýòîãî ïðîñòðàíñòâà,ò.ê. âåêòîðû J~1 è J~2 äîëæíû èìåòü ðàâíóþ âåëè÷èíó:1J~12 = J~22 = (~k 2 + ~l2 ).4Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî áàçèñ ïðîñòðàíñòâà ñîñòîÿíèé íóìåðóåòñÿ òðåìÿ ÷èñëàìè:ejm1 m2Ψ(j, m1 ) ⊗ Ψ(j, m2 ),=ãäå ÷èñëà j, m1 , m2 ïðèíèìàþò ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ:jm1 , m2130, , 1, , ...22=−j, −j + 1, ..., j − 1, j.=Ó÷èòûâàÿ ïîëó÷åííûå ñîîòíîøåíèÿ, ìîæíî ïðåäñòâàâèòü îïåðàòîð ýíåðãèè â ôîðìåHE0,~2(4J 2 + 1)−=ãäå âìåñòî J~ ìîæåò ñòîÿòü ëþáîé èç âåêòîðîâ J~1 èëè J~2 . Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à íàñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ èìååò ðåøåíèåHejm1 m2=ejm1 m2 (−=1, 2, 3, ....E0).2n2×èñëà n = 2j + 1 ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿnÊðàòíîñòü âûðîæäåíèÿ óðîâíÿ îïðåäåëÿåòñÿ ÷èñëîì çíà÷åíèé, êîòîðîå ïðèíèìàåò ïàðàèíäåêñîâ m1 , m2 ïðè çàäàííîì çíà÷åíèè j :d(En )=(2j + 1)(2j + 1)=n2 .Ïîñêîëüêó ìîìåíò èìïóëüñà ðàâåí~l=J~1+J~2 ,òî, êàê ñëåäóåò èç îáùåé òåîðèè ñëîæåíèÿ ìîìåíòîâ, ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà ~l2ïðèíèìàþò ïðè çàäàííîì j ðàâíû l(l + 1) ïðè l = 0, 1, ..., 2j = n − 1.Ïðåæäå ÷àì çàíÿòüñÿ ñëîæåíèåì ìîìåíòîâ, çàéìåìñÿ âû÷èñëåíèåì ñðåäíèõ çíà÷åíèéðàçëè÷íûõ ñòåïåíåé ðàäèóñà.
Ýòè âåëè÷èíû ïîçâîëÿþò ñîñòàâèòü íàãëÿäíûå ïðåäñòàâëåíèÿî ñòðîåíèè àòîìà âîäîðîäà. Íàì ïðèäåòñÿ êîñíóòüñÿ íåêîòîðûõ áîëåå îáùèõ òåì.46Ìíîãèå âàæíûå ðåçóëüòàòû êëàññè÷åñêîé ôèçèêè ñâÿçàíû ñ ïðîñòûì ìàòåìàòè÷åñêèìóòâåðæäåíèåì: ñðåäíèåå çíà÷åíèÿ âåëè÷èí, êîòîðûå ñâîäÿòñÿ ê ïðîèçâîäíûì íåêîòîðîéôóíêöèè ïî âðåìåíè, ðàâíû íóëþ, ò.å.Z1 t df (t)limdt = 0.t→∞ t 0dtÏðàêòè÷åñêàÿ öåííîñòü ýòîãî âíåøíå òðèâèàëüíîãî ðåçóëüòàòà îïðåäåëÿåòñÿ òåì, ÷òî ïðîèçâîäíóþôóíêöèè f ìîæíî âûðàçèòü êàê ñîîòíîøåíèå ìåæäó íåêîòîðûìè äèíàìè÷åñêèìè ïåðåìåííûìè,÷òî ïîçâîëÿåò íàéòè ñâÿçü ñðåäíèõ çíà÷åíèé ýòèõ âåëè÷èí.Ïðèâåäåííûå ðàññóæäåíèÿ ëåãêî ïåðåíîñÿòñÿ â êâàíòîâóþ ìåõàíèêó.
Ïîñêîëüêó ïðîèçâîäíàÿïî âðåìåíè â ñèëó óðàâíåíèé Ãàéçåíáåðãà ñâîäèòñÿ ê âû÷èñëåíèþ êîììóòàòîðà, òî ðîëüêëàññè÷åñêîé ôîðìóëû áóäåò èãðàòü òàêîå ïîñòðîåíèå:H|Ψi=|ΨiEhΨ|[H, F ]|Ψi=⇒(E − E)hΨ|F |i = 0.=Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð âåëè÷èíó F = ~rp~. Åå êîììóòàòîð ñ ãàìèëüòîíèàíîì ðàâåí∂V∂V = ih̄(2T̂ − xα).[~rp~, H] = 2ih̄H − ih̄ 2V (r) + xα∂xα∂xα ñîñòîÿíèè ñ îïðåäåëåííîé ýíåðãèåé2hT ihxα=∂Vi.∂xαÝòà ôîðìóëà îñîáåííî ïðîñòà, åñëè ïîòåíöèàë - îäíîðîäíàÿ ôóíêöèÿ êîîðäèíàò. Íàïðèìåð,â ñëó÷àå êóëîíîâà ïîòåíöèàëàxα∂V∂xα=−V (r). ýòîì ñëó÷àå ôîðìóëà, ñâÿçûâàþùàÿ ñðåäíèå, ïðèíèìàåò âèä2hHi ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåòñÿ ñîîòíîøåíèåD1Er=hV (r)i.=1.r0 n 21r2 .Íåòðóäíî íàéòè ñðåäíåå çíà÷åíèåÄëÿ ýòîãî ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé ÔåéíìàíàÃåëüìàíà, ñâÿçûâàþùåé ìàëûå èçìåíåíèÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ýíåðãèè ñ ìàëûìè èçìåíåíèÿìèãàìèëüòîíèàíà.
Åñëè ãàìèëüòîíèàí ñèñòåìû çàâèñèò îò ïàðàìåòðà λ, òî îò ýòîãî æå ïàðàìåòðàçàâèñÿò êàê óðîâíè çíåðãèè, òàê è ñîáñòâåííûå âåêòîðû:H(λ)Ψ(λ)=Ψ(λ)E(λ).Åñëè âåêòîðû Ψ(λ) íîðìèðîâàíû íà åäèíèöó ïðè ëþáîì çíà÷åíèè λ, òîhδΨ(λ)|Ψ(λ)i+hΨ(λ)|δΨ(λ)i=0.Âàðüèðóÿ îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ, ïîëó÷èì ðàâåñòâîhΨ(λ)|∂H|Ψ(λ)i∂λ=∂E(λ).∂λÃàìèëüòîíèàí, îïðåäåëÿþùèé ðàäèàëüíîå äâèæåíèå â ñîñòîÿíèè ñ îïðåäåëåííûì ìîìåíòîìèìïóëüñà çàâèñèò îò êâàíòîâîãî ÷èñëà l:Hr=H0+47h̄2 l(l + 1).2m r2Ïîñêîëüêó l â ýòîé ôîðìóëå ìîæíî ñ÷èòàòü íåïðåðûâíûì ïàðàìåòðîì, òî ìîæíî âû÷èñëèòüñðåäíååD1E2m1∂= − 2E0 ,r2h̄ (2l + 1) ∂l n2÷òî äàåòD1E1=.23r2r0 n (l + 12 )Íàì óæå èçâåñòíû ñðåäíèå çíà÷åíèÿ òðåõ ñòåïåíåé r: r−2 , r−1 è r0 = 1.
Ýòîãî äîñòàòî÷íî,÷òîáû âû÷èñëèòü ñðåäíèåå çíà÷åíèå ëþáîé ñòåïåíè ðàäèóñà ñ ïîìîùüþ ðåêóððåíòíîéôîðìóëû Êðàìåðñà:s+1 shr in2−(2s + 1)r0 hrs−1 is(2l + 1 + s)(2l + 1 − s) 2 s−2r0 hr i4+=0.Ôîðóëó Êðàìåðñà ìîæíî ïîëó÷èòü, óñðåäíÿÿ çíà÷åíèÿ êîììóòàòîðîâ[rs , H][rs (~rp~), H]i=ih̄s s−2r ~rp~µ2ih̄rs H=h̄s s−2r (~rp~)2µh̄2s(s + 1)rs−2 ,2µ+ih̄rs (2V + xα−∂V)∂xα+h̄2 s(s + 1) s−2r (~rp~).2µ+Ïðèâåäåì âàæíûå äëÿ äàëüíåéøåãî ôîðìóëû:D1Er3=1,r0 3 n3 l(l + 12 )(l + 1)hri=r0(3n2 − l(l + 1)),2D Er2=r0 2 n 2(5n2 + 1 − 3l(l + 1)).2Cëîæåíèå ìîìåíòîâÐàçáåðåì ïðîñòîé ïðèìåð çàäà÷è, ãäå âû÷èñëåíèå óðîâíåé ýíåðãèè òðåáóåò ñëîæåíèÿìîìåíòîâ êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ.Èçâåñòíî, ÷òî ýëåêòðîí ïðîÿâëÿåò ñåáÿ êàê òî÷å÷íàÿ ÷àñòèöà ëèøü ïðè íåðåëÿòèâèñòñêèõýíåðãèÿõ.
Ïðè èçìåðåíèè çíà÷åíèé óðîâíåé ýíåðãèè àòîìà âîäîðîäà ñ òî÷íîñòüþ, êîòîðàÿòðåáóåò ó÷åòà ðåëÿòèâèñòñêèõ ïîïðàâîê, íåîáõîäèìî ïðèíÿòü âî âíèìàíèå ÷èñòî êâàíòîâóþñòåïåíü ñâîáîäû ýëåêòðîíà íàëè÷èå ó íåãî ñîáñòâåííîãî ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ñïèíà.Ìû óæå çíàåì, ÷òî ñî ñïèíîì ýëåêòðîíà ìîæíî ñâÿçàòü ïåðåìåííûå ~s = 12 ~σ .
Íàëè÷èåñïèíà ïðèâîäèò ê ñóùåñòâîâàíèþ ó ýëåêòðîíà ìàãíèòíîãî ìîìåíòàµ~=µ0~s.Èç ôîðìóë ðåëÿòèâèñòñêîé êèíåìàòèêè èçâåñòíî, ÷òî ÷àñòèöà ñ ñîáñòâåííûì ìàãíèòíûììîìåíòîì µ~ , äâèæóùàÿñÿ â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, ïðèîáðåòàåò â íåé ýëåêòðè÷åñêèéäèïîëüíûé ìîìåíò1d~ =(~v × µ).cÅñëè òàêàÿ ÷àñòèöà ïîïàäàåò â ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå, òî îíà ïðèîáðåòàåò ýíåðãèþ∆E=~d~E,~E48=~ r).−∇φ(~Åñëè ïîëå îáëàäàåò ñôåðè÷åñêîé ñèììåòðèåé, òî0~E=−~r∆E=−φ (r)rè ïðèðàùåíèå ýíåðãèè ñâîäèòñÿ ê0φ (r) ~d~r.rÑêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â íàøåì ñëó÷àå ñâîäèòñÿ ñìåøàííîìó ïðîèçâåäåíèþ, ïðåâðàùàÿñüâ äðóãîå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå:~rd~µ0(~r × p~)~smc=µ0 h̄ ~l~s.mc=Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ âåêòîðîâ~l~s = 1 J~2 − ~l2 − ~s2 ,2ãäå âåëè÷èíó J~ = ~l+~s ñóììó ìîìåíòà èìïóëüñà è ñïèíà íàçûâàþò ïîëíûì ìîìåíòîìêîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ýëåêòðîíà.
Ýòà âåëè÷èíà îïðåäåëÿåò îäíó èç ðåëÿòèâèñòñêèõïîïðàâîê ê ýíåðãèè àòîìà âîäîðîäà.×òîáû èìåòü âîçìîæíîñòü ñèñòåìàòè÷åñêîãî èçó÷åíèÿ ïîäîáíûõ çàäà÷, ïîëåçíî ðàçâèòüîáùóþ òåîðèþ ñëîæåíèÿ ìîìåíòîâ.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñðåäè ïåðåìåííûõ, âûäåëÿþùèõ ÷èñòûå ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû ñîäåðæàòñÿïåðåìåííûå J~12 , J13 , J~22 , J23 , ò.å. áàçèñ ïðîñòðàíñòâà ñîñòîÿíèé ñèñòåìû ìîæíî îïðåäåëèòüêàê ñîâîêóïíîñòü ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ óæå ïåðå÷èñëåííûõ îïåðàòîðîâ è íåêîòîðûõ îïåðàòîðîâΓ:|ni = |γ, j1 , m1 , j2 , m2 i,J~12 |ni = |nij1 (j1 + 1),J~22 |ni = |nij2 (j2 + 1),J13 |ni = |nim1 ,J23 |ni = |nim2 .Ñ ïîìîùüþ óíèòàðíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ìîæíî ïîëó÷èòü íîâûé áàçèñXS|ni = Ψn =|miSmn .mÎïåðàòîð S ìîæíî ïîäîáðàòü òàê, ÷òîáû âåêòîðûΨn=|γ, j1 , j2 , j, miáûëè ñîáñòâåííûìè âåêòîðàìè îïåðàòîðîâJ~12 ,Γ,J~22 ,J~2 ,J~1+J3 ,ãäå J~ îïåðàòîð ïîëíîãî ìîìåíòà:J~=J~2 . ýòîì ñëó÷àå îáû÷íî óïîòðåáëÿþò îáîçíà÷åíèÿΨn=|γ, j1 , j2 , j, miòàê ÷òî ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ âûãëÿäÿò òàê:X|γ, j1 , j2 , j, mi =|γ, j1 , m1 , j2 , m2 ihj1 , m1 , j2 , m2 |j1 , j2 , j, mi,m1 m2|γ, j1 , m1 , j2 , m2 i=X|γ, j1 , j2 , j, mihj1 , j2 , j, m|j1 , m1 , j2 , m2 i.jm49Êîýôôèöèåíòû hj1 , m1 , j2 , m2 |j1 , j2 , j, mi, áóäó÷è ñêàëÿðíûìè ïðîèçâåäåíèÿìè hn|Ψm i îáðàçóþòïðè ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ j1 è j2 óíèòàðíûå ìàòðèöû ðàçìåðíîñòè (2j1 + 1)(2j2 + 1).Èõ íàçûâàþò êîýôôèöèåíòàìè Êëåáøà-Ãîðäîíà.
Íåòðóäíî ïîíÿòü, íå âû÷èñëÿÿÿâíî êîýôôèöåíòîâ Êëåáøà-Ãîðäîíà, êàêèå çíà÷åíèÿ ïðèíèìàþò ÷èñëà j, m ïðè ôèêñèðîâàííûõçíà÷åíèÿõ j1 , j2 . Ïðè ôèêñèðîâàííîì j ÷èñëà m ïðèíèìàþò 2j +1 çíà÷åíèå, ìàêñèìàëüíîåçíà÷åíèå j ðàâíî ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîé ñóììå ïðîåêöèé m1 + m2 , ò.å. jmax = j1 + j2 .Ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå ïîëíîãî ìîìåíòà îïðåäåëÿåòñÿ ÷èñëîì jmin = |j1 − j2 |. Èíà÷åãîâîðÿ, ÷èñëî j ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿj|j1 − j2 |,=|j1 − j2 | + 1,...,j1 + j2 .Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òîjX1 +j2(2j + 1)=(2j1 + 1)(2j2 + 1).j=|j1 −j2 |5. Ïîêàæèòå, ÷òî åñëè îïðåäåëèòü ðàäèàëüíûé èìïóëüñPròî1(r̂~p + p~r̂),2=11 ∂ 2 ∂(r) =((~rp~)2 − ih̄(~rp~)).2r ∂r∂rr26. Ïîêàæèòå, ÷òî Pr ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ôîðìåPr 2−h̄2=Pr1~rp~r=à−h̄i ,rPr 2=1((~rp~)2 − ih̄(~rp~)).r2Ĥ=1 2p~2µ7.
Ãàìèëüòîíèàí+V (r)ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ôîðìåĤ1((~rp~)2 − ih̄(~rp~) + h̄2~l2 )2µr2=+V (r).8. Ñïðàâåäëèâû ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿà)[~rp~, Ĥ]=−2ih̄Ĥih̄(2V (r) + xαá)[rs , Ĥ]=ih̄s s−2r (~rp~)µ+∂V),∂xαh̄2 s(s + 1) s−2r ,2µâ)[rs (~rp~), Ĥ]i=2ih̄rs Ĥh̄s s−2r (~rp~)2µih̄rs (2V (r) + xα−∂V)∂xα+h̄2 s(s + 1) s−2r (~rp~),2µ+2ã) åñëè ïîòåíöèàë ðàâåí V (r) = − Zer , òî[rs (~rp~), Ĥ]=2ih̄(s + 1)rs Ĥ50+ih̄Ze2 (2s + 1)rs−1−ih̄h̄2 s s−2~2r lµ−h̄2 s(s − 1) s−2r (~rp~).2µ9. Óñðåäíÿÿ ñîîòíîøåíèÿ 8á è 8ã â ñîñòîÿíèè ñ îïðåäåëåííûìè n è l ïîëó÷èì< rs−2 (~rp~) > =s+1< rs >n2ih̄s+1< rs−2 >,2− (2s + 1)r0 < rs−1 >s(2l + 1 + s)(2l + 1 − s) 2r0 < rs−2 > =40,r0+=h̄2.Ze2 µÝòî ðàâåíñòâî èçâåñòíî êàê ñîîòíîøåíèå Êðàìåðñà.×òîáû íàéòè ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèÿ Êðàìåðñà ñðåäíåå çíà÷åíèå ëþáîé ñòåïíè r,íåîáõîäèìî íåçàâèñèìî íàéòè äâà èç íèõ.10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
