А.Н. Матвеев - Оптика (1120557), страница 30
Текст из файла (страница 30)
1) находим уравнение для зависящей только от координат ам- плитуды Ч'(г): отЧг + нт)гар = О (21.3) где (со = щ/с — волновое число, соответствующее вакууму. Оно, очевидно, связано с волновым числом )с в среле соотношением 1с =л)го. (21А) Принимая во внимание' соотношение — — = — (1 Ч') + ( —. 1 ЧЧ 1 дтЧ' д ' д т Чг дхт дхт , дх (21.5) н аналогичные соотношения для производных по у и г, запишем уравнение (21.3) после деления на Ч' в виде туьр + лтггот = ~тт((пЧг) + [йгат((1пяр)[т 1„лт(гт 0 Ч' (21.б) Для решения этого уравнения полагаем Ч' (г) = А (г) егт"'. (21.7) Подставляя (21.7) в (21.6), находим тт (1и А) + [8 гж1 (!п А) [т — (8 гас( б) ~ + н'гг8 + с [тетя+ 2 8 гас( (1и А) ' 8 гас) я = О.
(21.8) '( О)+[8. 1( А)[' — (8. 55) +"и=О, (.) 'у 5+28тж3(1пА).йгадбюО (б) (21.9) Этн уравнения значительно упрощаются для оптического диапазона длин волн. Амплитуда волны существенно изменяется лишь на расстояниях, много больпшх длины волны, т. е на расстояниях ( имеющих порядок размера линз, оптических приборов и т. д., удонлетворяющих услонню (21.10) Приравнивая к нулю действительную и мнимую части, получаем два уравнения для определения А(г) н Я(г): аг(1п 4) + [йш6 (!п 4)]г (1/А)агА !Лг ч 1/),г (21.12) Поэтому этими членами можно пренебречь по сравнению с двумя последними и записать урав- нение (21.9а) в ниле соотношения (йга6 5)г =.
и'/»»ь Г:=:Л (21.13) называемого уравнением эйконала. Лтч света Град»»е»»т от функцш» Я направла» по нормали к поверхности Я =сопка Поэтому. »йкацал з описывает поверхности постоянной фазы волны, а йш6о приводит к по»»ят»яо луча, т. е, к представлению о движен»ш световой энергии в данной тачке в опрсделенном направлении. Лучом называется линии, касательная к которой, совйадаег в каждой точке с вектором йга6 а. Рас»»растра»»ение света рассматривается как движение световой энергии по лучам. плоскость„перпендикулярная лучам света (т. е плоскость Я=сопя!), называется волновым фронтом.
Область применимости лучевого приблрженшь Авалю распространения свеи в лучевом приближении составляет предмет геометрической оптики. Квк видно ш (21.12), его справелливость оправдана нсегда, когл» ц»А/А является малой относительно 1/).г величиной Физически этот член описывает искривление световых лучей материальными объехтамн, т. е. дифракцию снеговых лучей. Поэтому можно сказать, что в геометрической антике пе учить»вматья эффекты лифракцин (см. гл. б). Пр»ащ»в Ферма.
В однороднсй среде Ю = й. г()» = сопя») Лучи являются прямыми параллельными линиями, а фронт волны — плоскостью, перпендикулярнсй этим липиим. Для неоднородной среды вопрос значительно усложняется. Пусть точки Р, и Рг соединяются лучам /. (рис. б9) Вычислим изменение фазы вдоль луча. Для каждой точки луча имеем 6Б = йгайа.6г — '- [йгаба[[6г[ =/»оп(г)6/, (21.14) где учтено, по 6г направлен по лучу н, следовательно, совш»»цш с бга65, 6/ — элемент длины пути. Таким образом, для изменения фазы находим б г, Я = [ 6Я = йе [ н(г)6!, (21.15) причем путь Р»Рг совпадает с лучом. Из (21.1з) с учетом определения луча и волнового фронта следует, что оптические длины путей вдоль различных лучей между точками волнового фронта в два момента времени ош»»»аховы. Если точки Ран Рг соединить дРУгой, отличной ат лУча кРивой, все точки котоРой 6УдУт находиться в непосрапственн»х» близости от"луча, и вычислить интеграл (21.!5), то получится, конечно, другое значение интеграла.
Принцип Ферма утверждает, по интеграл (21.1Я вдоль »уча имеет стационарное значение. т. е. первая вариацпя»ьу относитель»к» соседних путей инге»'рнровання равна нулю Эту формулировку можно изменить. учтем, чта 61/»» =6» есп. время прохождения.пути 6/ со скоростью ц и примеем во внимание соотношение н(г) = с/в(г) То~да равенство (21.15) принимает вид Сравнивая (21.7) с представление» плоской волны в комплексной форме (2.39), видим, что .!!9 „„, ~у[г ),г 1/) г (2!.11) 92! С другой стороны, сумма первых двух членов в (21.9а) имеет порядок ИО ,"6) ' 67 — )еот'1 — = су ~— ! и." и," Ру (21.16) где интеграл '* 6! о (21.17) 69 траеаторва дува света в аеадав- родиоа среде о го 7Е К выводу тааеаев ареиоииеаиа е аемоисмо ирвааваа Чсерсев ьа 71 К осеводу ураваеивв дуев а евееа- ваде -о~ ),лт* .м!о,я-,ь=л, [2!.18) глс и = с/н, и зависит от переменной х Условие стационарносп~ дг/дх 0 принимает вцц дает время, затрачиваемое светом иа прохождение пути от Р~ до Рь'Поэтому принцип Ферми можег быль высказан в форме утвержпения, что лучом, соедипдюшим дю точки, является тот путь, который делисг стационарным время, затрачиваемое све.
' том да его прохождение. Он был открыт П. Ферма (!60! — 1665) в 1657 г. как «прин- цип наименьшего времени» в такой формулироике: «Природа всегда следует наикратчайшему пути». Однако это ве следует понимать как утверждение, что лучом. соединжцщим дие точки, является тот путь, на прохождение которого затрачивается меньше времени, чем на прохождение по соседним путям Между теми же точками.
Утверждение Ферма, что «природа всегда следует наикратчайшему пути», верно, но таких наикратчайших путей, соединяющих две точхи, может существовать много. Формулировка о стацнонарности времени прохождения пути между двумя точками, с одной стороны, утверждает экстре- мальный характер этого времени (максимальность или мини- мальность), а с другой стороны, не исключает наличия нескольких путей с одинаковым временем прохождения.
Такая ситуация является типичной для геометрическсй опти-' ки при построении изображений, В геометрической оптике все лучи от точки предмета идут по различным путям и встречаютз в точке изображеник Но все оии затрачивают одно и то )ке время на прохождение своего пути. ДругИми словами, оптические длины всех путей, соединяющих точку предмета с точкой изоб)!ажелия, одинаковы. Это утверждение называется прннпипом таугохронизма. Вывел закона преломления ш принципа' Ферма.
Для иллюстрации применения принципа Ферьж выведем с его помощью закон преломления. Пусть требуется соединить лучом две точки Р~ и Рь находящиеся в однородных прелях с показателями преломления лл и лт, разделенных плоской границей (рис 70). В каждой однородной среде луч является прямой линией. Пусть и является координатой входа луча из первой среды во вторую. Полное время распространения свею от Р| к Рг, очевидно, равно (21.19! аз! Учитывав что х/ /7Г+х~ а(п Окм (а — х)/ /71+(» — х)т = з(пО, из (21.19) получаем ~акен преломления яп Одд/з!п Опр яз/я! (21,20) я(г) соя а, = н(г+Ьг) соз(в~ +ба). (21,21) Разлагая л(г+ Ьг) в правой части (21,21) в ряц Тейлора по Ьг, ограничиваясь линейным по аг членом н пользуясь тритон»метрической формулой для косинуса суммы двух углов, по- лучаем »(г) сова~ ]я(г) + вагди/дг] (соя ш созЬа — з1п а~ пп Ьа) (21.22) В параксиальном црнблй)кыпщщвкно принять, что и!п ьа - ьа, соз /!а 1.
Тогда стоян»стью ло величин перво(о дорожка' пб ба,гг) (21.22) 'находпи — „= л(г)-»- !Оа,; дх аа (21:23) где члены с агьбг, яяляюшнвся кленнмв, второго порядка малости, отброшены Поскольку гка~ = -аг/аг, в пары!свальном приближении 'межам написать (21.24) С учетом (21,24) ш (41'.23) нааодгаи уравнение распространения луча: ! 4иг (21.25) (,) агг и 09 который, конечно, совпадает с законом Снеллиуса (16.14). Таким 'образом, с помощью принципа ферма, зная закон изменения показатела преломления я(г) в среде, можно построить лучи н, тем самым решить задачу о распространении света з ораве в тех ус»»вишь когда справедливо приближение геометрической оптики. ° Прямолинейное распространение света, отражение и преломление были известны еще древним грекам.
Первые систематические описания этик явлений, дошедшие до нас, принадлежат эмпедоклу (490-430 гг. до н. э.) и Ввклиду (300 г. до н. э.), Им был известен закон отражения света Закон преломления света был установлен экспериментально в 1621 г. В. Сйеллиусом (1591 †16) Распространенна луча в среде с перемеиньв показателаи преломлапиь Рассмотрим распространение луча в среде, изменение показателя преломление которой аксиально.симметрично' относительно оси, которая принимается за ось2 (рив 71), луч предполагается распространяющимся в положительном направлении оси 2' вблизи огн (параксиальный луч) Расстояние от оси Я обозначаетш г, Завищгм закон 'Снеллиуса для преломления на бескоцечио тонком слое йп в котором показатааь предок(ленив изменяется от'н(~) ло п(г+Ьгй Пример 21.1.
Рассмотрен, распространение луча света в тонком диэлектрическом волокне (световое волокно), показатель преломления которого изменяется по закону л(г) = =ло(1 — агг/2й Предполагается, что агг/2 < 1 (а>0) на всем сечении волокна. Уравнение (21.2з) с точностью до линейных по г членов принимает вцд с)гг/с)гг = — аг (21.26) 73 тресктармм кучи в свстеводс Общее решение эрото уравнения известно: г(г) = А, соз( Гаг)+Агаси ( Гаг). (21.27) Ф При достаточно напав длине волны ножка польвоватьсв панетнен луча.
Вапновын фронтон прн итон «валетов поееркностсь Ъртогонапьнав сенейстпу лучей. Принцип Ферна утверждает ме нннннальность времени дьнмсеннл па пучу, а стационарность итого врененн. О Олиыите «акуиьпибо ситуацикв когда очевидно, что вренв движении по лучу ст овкой точки к другой,ие будет ниминальиын. а будет стацмомариын. ,Г'= жьррь*рр-.. ьр. (21.28) Видно, что !г1< )а1, т. е. луч не может удалиться от оси У. больше, чем па )а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
