А.Н. Матвеев - Оптика (1120557), страница 33
Текст из файла (страница 33)
При этом разные егоровы (23.37) 78 К нзхаылезвы передлточнай ывтрмвы ллв сметены лвух хилз ! ! ! Р ~н 79 Построение вврлвикльвык влеско- стей системы вз собврыещей в ркссеиввзощей линз (23.39) !зх !пикой линзы целесообразно обозначать различными индексами. Например, обозначая плоскость тонкой линзы, через которую входит луч, Аы а выходит — Аз, матрицу (23.36) следует записать твх: Аналогичные обозначения используются также, и для передаточной матрицы Т.
Пуси система состоит из двух линз с фокусными расстояниями у'!'>О и у'з сб (собирающая и рассеивающая) и расстоянием между линзами А (рис. 78). Линзы на этом рисунке вычерчены пунктирной линиерь чтобы подчеркнуть, что их толщиной мы пренебрегаем. Передаточная матрица Юсз, которая преобразует параметры луча от входа в первую линзу нв плоскости А, к выходу из второй линзы на плоскости Ае, на основании (23.37) и (22.!1) имеет вид где предполагается, что показатель преломления среды между линзами равен 1.
Чтобы построить изобрвкение, создаваемое этой системоуь надо перемножить матрицы (23.38) и найти зна- чения постоянных Гаусса а, Р, с, А, определенных в (23.2): Зная постоянные Гаусса, по формулам (23.! 2), (23.13), (23,15), (23.17) вычисляем'!», Гн. Iу, Iу, строим кардинальные плоскости системы и изображение в соответствии с общими правилами, рассмотренными в связи с рис. 76. На рис.
79 построены кардинальные плоскости системьь показанной на рис 78. Напомним, что при отрицательных значениях !и, !клы Iу, ф они откладыввзотсй влево от точек своего отсчета, а при положительных — вправо. На рис. 79 принято, что !л, !и и !и отрицательны, а ф положитслыса. Использование ЭВМ. Представление в матричной форме преобразовани(ь которые претерпевает луч в оптической системе, делает очень удобным использование ЭВМ для анализа оптических систем, поскольку программы вычнслсний с матрицами являются стандартными.
В связи с этим в настоящее время проектирование и расчет оптических систем производят Каков физический смысл постолниых Гаусса н иак с нх помощью образуетсл катрина оптической сметены! Почену и» четырех ппставнных Гаусса незаеисинынн лвлвютсв только три ! дайте опремепемив карлинальным зленентое оптической системы. Ьз=Ь(=,1; и~=1; аз=И=15; л) 1 (23.40) Из (22.7) и (23.13) получаем ц =(л( — л~)/г~ =0,17; йз =(л/ — лз)/гз =0,25.
Отсюда по формулам (23.3 а — г) находим постоянные Гаусса: а = 0,17+0,25 — 0,17 0,25 1/1,5 =0,39; 6 = 1 — 0,25 . 1/1,5 = 0,84; с = 1 — 0,1 7 1/1,5 = 0,87; (23.41 а) г/= — 1/1,5 = — 0,67. Хорошей проверкой правильности вычислений постоянных Гаусса может быть равенство единице детерминанта их матрицы: Ьс — ад=0,99 1. Из равенств (23.12) и (23.13) получаем Гл = 1(1 — 0 84)/039 = 041; lй = 1(087 — 1)/039 = — 033 (23.4!б) и отсюда с помощью (23.17) и (23.1$ нахолим /г = — 1 0,84/0,39 = — 2,15; !г = 1 '0,87/0,39 =.2,23.
Из (23.41б) заключаем, что кардинальные плоскости расположены внутри линзьь а фокусные расстояния в соответствии с (23.18) и (23.16) равны: /'= — 2,15 — 0,41 = ' — 2,56; /' = 2,23— — ( — (ч34) =2,56, что также свидетельствует о правильности вычислений. Пример 23.2. Рассчитать систему, состоящую из двояковыпуклой и двояковогнутой линз (см рис.
78) Линзы считаются тонкими, с'=10, Л =15,/г= — 12 Показатель преломления в пространстве вне линз равен единице. Прежде всего по формуле (23.38) находим передаточную матрицу: (23.42) Следоватедьно, постоянные Гаусса равны с =0041 Ь =183; с =034; И= — 1О (23.43) С их помощью, тек же кек в примере 23.1, находим все характеристики оптической системы, Далее можно анализировать ход лучей и построение изображений графическими методами. Но зто можно сделать и с помощью матрицы Дз~ по формуле (23.6). с использованием ЭВМ, хотя дчя анализа общих закономерностей полностью сохраняют свою 133 эффективность аналитические и графические метолы.
Пример 2338 Рассчитать элементы двояковыпуклой линзы,'для которой гз.= — 2; г~ =+3; 823 л', = 1 5; Ь) = 1 (см. рис, 75). Линза находится в вакууме (воздухе). Длины можно задать в любых единицах. Поэтому в условии задачи дано лишь число единиц длины без указания наименования единицы. В соответствии с изложенным в этом параграфе правилом обозначения встречающихся в расчете единиц можно написать: 1 ле = (л( соБО! — н! созй~)/г~ . Следовательно, точная матрица преломления (24.4) аналогична (22.8), но с заменой значения йо Для луча после преломления до встречи со второй . преломляющей поверхностью вместо (22.9) можем записать т = х1 + 2.1 з)па), (24.5) где 81 — ллина отрезка !Р~Рз!.
Далее, твх же как н при выводе (22.10), учитываем, что и, '= л,, о1 =аз и, слеловательно, (24.6) л1 ыпо( лз япаз . В матричной форме равенства (24.5) и (24.6) записывают в вцде (24.7) Поэтому матрица о, ) (24.8) Е 1/н1 1 аналогичная матрице (22.11), является передаточной матрицей при точном учете распространения света под произвольным углом в среде В формуле (24.8) значение Е ', не является постоянным и его надо каждый раз вычислять по уже известным на предшествующем шаге вычислений. значениям а), х) и параметрам, характеризующим вторую преломляющую понерхносп, линзы, Для анализа преломления на второй поверхности линзы используется матрица вила (24.4) с соответствующим значением йп а распространение луча до линзы и после линзы описывается матрицами вида (24.8), Используются этн матрицы анааогично тому, как это было разобрано лля параксиального приближения в связи.
с (23.зз. Сферическаа аберрациа Наиболее существенные аберрации сводятся к тому, что круглое сечение пучка под углом к осн после линзы не сохраняется (рис. 80), лучи, параллельные оптической оси, не пересекаются после линзы в одной точке (рис. 81) и точка на оси системы дает изображение в виде причудливой фигуры (кома). Начнем описание со второй ю этих аберраций, называемой сферической. Ее можно трактовать либо как поперечную, либо как продольную (рис. 8!).
Если в Р"'с сматриваемом вопросе существенно то, чгр луч пересекает ось не в параксиальиом,фокусе, то говорят о продольной сферической аберрации, а если существенно отклонение луча от оси в параксиальной фокальной плоскости, то говорят о поперечной сферической аберрации. Пучок параллельных оси лучей попке преломления образует совокупность конусов, вершины которых расположены на оси (рис. 82). Огибающая.эту совокупносп, конусов поверхность называется каустической, а сечеяие этой поверхности любой плоскостью, проходящей через луч, — каустической кривой. На рис.
82 изображена каустическая поверхность прн сферической аберрации. Ее сечения плоскостями, перпендикулярными осн,являются окружностями различного радиуса.,Параллельный пучок лучей создается светящейся точкой, расположенной на оси на очень боЛьшом расстоянии от линзы.
Поэтому свеппциеся кружки играют роль изобРажений точки в различных плоскостях. Фокус Р' определен в параксиальном приближении Рчо н играет роль фокуса лишь для параксиальных лучей (т. е тех лучей, которые прошли линзу вблизи ее оси). Наиболее яркое и маленькое изображение точки линзой достигается в плоскости. М', которая не проходит через параксиальный фокус Г' Следовательно, для уменьшения поперечной сферической аберрации данной линзы необходпмо выбрать соответствующую фокусировку этой линзы, т. е.
получать изображение не из расчета, что ее фокус в Р', а из расчета, что ее фокус в М'. Собирающие линзы имеют отрицательную продольную сферическую аберрацию, т. е. непараксиальные лучи пересекиот ось ближе к линзе, чем паракснальный фокус. Рассеивающие линзы обладают сферической аберрацией противоположного знака, Соответствующим подбором поверхностей н систем линз сферическая аберрация может быть практически ликвидирована То же самое касается и сферической аберрации зеркал.
Кома. Если светящаяся точка, посылающая широкий пучок лучей, расположена не на осн оптической системы, то ее изображение не является светвцимся кружком, как в предыдущем случае, а представляется в виде довольно сложной асимметричной фигуры Иногда зта фигура напоминает комету с хвостом, отчего и произошло название этого вида аберрации. Соответствующим подбором характеристик системы кома может быть значительно ослаблена Аберрации, обусловленные внеоеевымп иаклонныма лучамн.
Плоскость, проходящая через ось системы, называется меридианальной. Если в ней под достаточно большим углом к оси падмг цилиндрический пучок лучей, то после преломления он не останется цилиндрическим. Лучи, лежащие в меридианальной пдоскости, преломляются не так, квх параллельные им лучи, но лежащие в стороне от меридианальной плоскости В результате этого после преломления лучи пучка не параллельны друг другу. Поэтому сечение пучка лучей изменяется с расстоянием от линзы после преломления На некотором расстоянии от линзы сечение является отрезком линии, направленным перпендикулярно меридианальной плоскости (рис.'80), затем зта линия в) Прааоаевее р 'я в аоаереевее р'В еасрреаее ' Кетссаессвев аоверввосте арв ссрервсссвоа арерреаав П зз Поееяхиоеео иеявлиеввльвых в ее~ оххельемх фохтеов.
переходит в эллипс, параметры которого меняются по мере удаления от линзы. На некотором расстоянии сечение становится круговым, а затем снова эллиптическим и, наконец, превращается в отрезок линии, лукашей в меридианальной плоскости. Такой вцп аберрации называеюя астигматизмом наклонных пучков. Интерпретируем' описанную картину преломления пучков другими терминами. В результате прохождения через линзу пучок фокусируется в меридианальной плоскости и в плоскости, перпендикулярной меридианальной и параллельной оси называемой сагитталыюй.
Фокусы меридианальной и сагиттальной фокусировок различны. Меридианальный фокус расположен на рис. 80 в плоскости 1, а сагитгальный — в плоскости Ш. В плоскости П лучи верхней половины первоначального цилиндрического пучка находятся в нижней половине кружка, а нижней — в верхней. Лучи правой половины первоначального цилиндрического пучка находятся в правой половине кружочка, а левой — в левой. Положение плоскостей, в которых осуществляются меридианальная и сагиттальная фокусировки, зависит от угла наклона падающего пучка к оптической оси. Поэтому поверхности, на которых лежат фокусы, созлаваемьк меридианальной и сагитталыюй фокусировками, не совпадают между собой и ие являются плоскостями Очевидно, что эти поверхности касаются лишь в точке р': на оптической оси, будучи ей в этой точке перпендикулярньвия (рис. 83). Этот вцн аберрации называется искривлением поверхности изображения Он устраняется при выполнении условию Петцва.чя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
