А.В. Быков, И.В. Митин, А.М. Салецкий - Оптика. Методика решения задач (1120536), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Поскольку ( N, D ) = 0 , из системы (9.8) можно получить уравнениеN2(9.9)∑ 2 i 2 = 0,i v - viкоторое описывает зависимость фазовой скорости v плоской монохроматической волны от направления N и характеристик vi анизотропной среды. Уравнение (9.9) называют уравнением волновыхнормалей Френеля.
Главные скорости vi ≡ c εi , как и главныепоказатели преломления ni ≡ εi , являются характеристикамисреды.*)Анализ уравнения Френеля (9.9) показывает, что в общем случае в анизотропной среде в заданном направлении N могут распространяться плоские волны лишь с определенной поляризацией.Для описания оптических свойств анизотропных сред частоиспользуют вспомогательные поверхности – оптическую индикатрису, эллипсоид Френеля, лучевую поверхность и др.Поскольку в соответствии с (2.25) среднее значение объемнойплотности энергии в световой волне равноε ( E, D )w= 0,2*)Отметим, что vi есть скорость волны, поляризованной вдоль i-го главного направленияГл 9. Распространение света в анизотропных средах197то в системе главных осей:21 ⎛ D 2 D y Dz2 ⎞⎟w= ⎜ x ++εyεz ⎟2 ⎜ εx⎝⎠илиx2где x =nx2Dx+y2n 2y+z2nz2= 1,(9.10)и т.д.2wУравнение (9.10) описывает поверхность эллипсоида с полуосями nx , n y , nz , который получил название оптической инди-катрисы.
Центральное сечение эллипсоида плоскостью, перпендикулярной заданному направлению N , – эллипс (в частном случае –окружность), главные оси которого и определяют две возможные(взаимно ортогональные) ориентации вектора D в плоской волне, адлина каждой из полуосей равна показателю преломления для волны с соответствующей поляризацией. Если из некоторой точки (какиз начала координат) в каждом направлении отложить отрезки,длины которых равны значениям фазовых скоростей волн, то получим двойную поверхность – так называемую поверхность нормалей.
Следует отметить, что каждая из двух таких поверхностей неявляется эллипсоидом.Поскольку в анизотропной среде векторы D и E коллинеарнытолько тогда, когда плоская волна распространяется вдоль одногоиз главных направлений, то в общем случае фазовая скорость v (внаправлении волновой нормали N) и лучевая скорость u (в направлении лучевого вектора s) неколлинеарны (см. рис 9.1), причемв отсутствие дисперсии:v = u ( N, s ) = u ⋅ cos α ,(9.11)где α – угол поляризации.Для заданного направления s ориентация вектора E можетбыть найдена с помощью эллипсоида лучевых скоростей, называемого также эллипсоидом Френеля:ε x x2 + ε y y 2 + ε z z 2 = 1 ,(9.12)где x =ε0 Ex2wи т.д.198ОПТИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧУравнение (9.12) описывает поверхность эллипсоида с полуосями 1 nx , 1 n y и 1 nz , который получил название эллипсоидалучевых скоростей. Центральное сечение этого эллипсоида плоскостью, перпендикулярной лучу s , является в общем случае эллипсом, главные оси которого определяют возможную ориентациювектора E , а длины полуосей пропорциональны соответствующимлучевым скоростям.По аналогии с уравнением (9.9) для фазовых скоростей, можнополучить уравнение для лучевых скоростей:s 2 ⋅ v2(9.13)∑ 2i i 2 = 0i u − viи построить так называемую лучевую поверхность. В отличие отповерхностей нормалей, каждая из двух лучевых поверхностейимеет форму эллипсоида. Можно показать, что лучевая поверхность является поверхностью равных фаз для волн, исходящих одновременно из центра эллипсоида во всех направлениях. Поэтому спомощью лучевой поверхности удобно решать задачи на построение Гюйгенса (см.
задачу 9.2.4).В одноосной среде (с главными значениями проницаемостиε x = ε y ≡ ε ⊥ и ε z ≡ ε|| ) вдоль оптической оси (т.е. вдоль оси z) могут распространяться плоские волны с любой поляризацией. Однако в направлении N под углом ϕ к оптической оси могут распространяться только волны, линейно поляризованные в одном из двухвозможных (взаимно перпендикулярных) направлений: перпендикулярно плоскости главного сечения (в которой лежат оптическаяось и вектор волновой нормали N) – обыкновенная волна с фазовойскоростьюccv0 ==,(9.14)n0ε⊥и в плоскости главного сечения – необыкновенная волна с зависящей от ϕ фазовой скоростьюve =илиc,n ( ϕ)ve ( ϕ ) = csin 2 ϕ cos 2 ϕ.+ε||ε⊥(9.15)Гл 9. Распространение света в анизотропных средах199На рис 9.2 показаны сечения (эллипсы) оптической индикатрисы плоскостью главного сечения для одноосных (а – положительного, б – отрицательного) кристаллов.АбРис.
9.2. Сечения оптической индикатрисы (ОИ) для одноосных положительного (а) и отрицательного (б) кристалловабРис. 9.3. Сечения эллипсоида показателя преломления для одноосных положительного (а) и отрицательного (б) кристалловЕсли повернуть сечение оптической индикатрисы плоскостьюxOz вокруг оси у на 90° (оси системы координат при этом остаютсяна месте), то получим сечение эллипсоида показателя преломленияωn ( ϕ ) (рис. 9.3). Подобный ему эллипсоид k ( ϕ ) = n ( ϕ ) называютcэллипсоидом волновых векторов. С его помощью удобно описыватьпреломление волновых векторов на границе с анизотропной сре-200ОПТИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧдой, как это показано на рис 9.4 для случая отрицательного кристалла (оптическая ось Оz лежит в плоскости падения).Рис. 9.4. Описание преломления света на границе отрицательного кристаллас помощью эллипсоида волновых векторовЕсли для необыкновенной волны задано направление (угол ϕ )волновой нормали N e (а значит, и вектора De ), то направление(угол θ ) векторов Ee и Se для этой волны можно найти с помощью оптической индикатрисы или эллипсоида показателя преломления соответственно (рис. 9.5): вектор Ee перпендикулярен плоскости АА, касающейся оптической индикатрисы в точке ее пересечения с направлением De (рис 9.5 а); в свою очередь луч Seперпендикулярен плоскости ББ, касающейся эллипсоида показателя преломления в точке его пересечения с направлением нормалиN (рис 9.5 б).aбРис.
9.5. Определение ориентации векторов Ee и S e с помощью оптическойиндикатрисы (а) и эллипсоида показателя преломления (б) для положительногокристалла201Гл 9. Распространение света в анизотропных средахТак как для необыкновенной волны углы ϕ и θ связаны соотношением:ε0 ε||E zε||Dtgϕ = z ==tgθ ,(9.16)Dx ε0 ε ⊥ E x ε ⊥то для угла поляризации α имеем:ε|| − ε ⊥ tgθtgϕ − tgθ(9.17)tgα ≡ tg ( ϕ − θ ) ==1 + tgϕtgθ ε ⊥ + ε||tg 2 θ(илиtgα =)( ε|| − ε⊥ ) tg 2ϕ .(9.18)ε|| + ε ⊥ tg 2 ϕНа рис 9.6 показаны центральные сечения (эллипсы) лучевого эллипсоида()ε ⊥ x 2 + y 2 + ε|| z 2 = 1(9.19)для одноосных кристаллов (а – положительного, б – отрицательного) и взаимная ориентация векторов Ee и S e .абРис.
9.6. Сечения лучевого эллипсоида и взаимная ориентация векторов Ee и S eдля положительного (а) и отрицательного (б) одноосных кристалловКак следует из (9.19), при y = 0ε ⊥sin 2 θ + ε||cos 2 θ = ε ,(9.20)202ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧпоэтому зависимость лучевой скорости необыкновенной волны ueот угла θ (между S e и оптической осью z ) имеет вид:c.(10.21)ue ( θ ) =2ε|| sin θ + ε ⊥ cos 2 θОчевидно, что если повернуть сечение лучевого эллипсоидаплоскостью xOz вокруг оси Оу на 90° (оси системы координат приэтом остаются на месте), то получим сечение эллипсоида, подобного эллипсоиду лучевых скоростей для необыкновенной волны.
Вместе со сферой радиуса uo ( θ ) = c ε ⊥ эту сложную поверхностьназывают лучевой.На рис 9.7 показаны сечения лучевой поверхности для положительного (а) и отрицательного (б) одноосных кристаллов, а такжеспособ определения с помощью лучевой поверхности ориентацииDe (или N e ), если известна ориентация Ee (или S e ).абРис. 9.7. Сечения лучевых поверхностей для положительного (а) и отрицательного(б) одноосных кристалловНапомним, что в соответствии с (9.11):υ = ue cosα ,где, как видно из (9.17) и (9.18), угол поляризации α зависит от θ(или ϕ ).Гл 9. Распространение света в анизотропных средах2039.2.
Задачи с решениямиЗадача 9.2.1. Найти фазовые скорости плоских гармонических31e x + e y в аниволн с частотой ν , бегущих в направлении N =22зотропном материале с главными диэлектрическими проницаемостями ε x = 2 , ε y = 2,5 , ε z = 3 . Записать уравнения этих волн.РешениеТак как по условию задачи N z = 0 , уравнение нормалей Френеля (9.9) преобразуется к виду:(N x2 v 2 − v 2yгде v x =cεx, vy =)( v2 − v2z ) + N y2 ( v2 − v2x )( v2 − v2z ) = 0 ,cεy, vz =cεz– главные скорости, N x и N y– направляющие косинусы.Для фазовой скорости υ получаем два значения:cv1 = v z =εzиv2 = c2N x2 N y,+εyεxРис.9.8.
Расположение векторов D1 и D231, Ny = .где N x =относительно оптической индикатрисы22Таким образом, D1 = D1e z , а вектор D2 лежит в плоскости хОупод углом ϕ = 30° к оси Оу (см. рис 9.8). Поэтому уравнения волнможно записать в виде:⎡⎛31 ⎞⎤x + y ⎟⎥⎢⎜2 ⎟⎥ ,D1 = D1e z cos ⎢ 2πν ⎜ t − 2υ1⎢⎜⎟⎥⎜⎟⎥⎢⎝⎠⎦⎣204ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ⎡⎛31 ⎞⎤x + y ⎟⎥⎢⎜⎛ 13 ⎞2 ⎟⎥ .D2 = D2 ⎜⎜ − e x +e y ⎟⎟ cos ⎢ 2πν ⎜ t − 222υ⎢⎜⎟⎥2⎝⎠⎜⎟⎥⎢⎝⎠⎦⎣v1 = cОтвет:3(волнаполяризованавдольосиz),v1 = c 1,7 2 (волна линейно поляризована в плоскости xOy).Задача 9.2.2. Для некоторой среды уравнение эллипсоида волновых нормалей (оптической индикатрисы) имеет вид:x2 y 2 z 2++= 1 . Найти лучевые скорости волн с частотой ν в на2 2 ,5 311правлении s =ex +e y и записать уравнения для волн векто22ра E .РешениеВ соответствии с условием задачи главные диэлектрическиепроницаемости среды равны ε x = 2 , ε y = 2,5 и ε z = 3 , а главныескорости – v x =cεx, vy =cεy, vz =c.
Поскольку s z = 0 , тоεzвектор s с направляющими косинусами s x = s y = 12 лежит вплоскости хОу, а лучевое уравнение Френеля (9.13) приводится квиду:()()()()s x2 v 2x u 2 − v 2y u 2 − v 2z + s 2y v 2y u 2 − v 2x u 2 − v 2z = 0Решая его, получим два значения:c1u1 = v z =, u2 =,22εzs x v y + s 2y v 2xВ связи с тем, что E1 = E1e z , а вектор E2 лежит в плоскостихОу под углом 45° к оси Оу (см.
рис 9.9), то уравнения волн можнозаписать в виде:⎡⎛ x 2 + y 2 ⎞⎤E1 = E1e z cos ⎢ 2πν ⎜⎜ t −⎟⎟ ⎥ ,u1⎝⎠ ⎦⎥⎣⎢Гл 9. Распространение света в анизотропных средах205⎡⎛2 (5x + 4 y ) ⎞⎤1⎛ 1⎞E2 = E2 ⎜ −ex +e y ⎟ × cos ⎢ 2πν ⎜ t −⎟⎥ ,⎜⎟⎥u22 ⎠⎝⎢⎣2⎝⎠⎦поскольку (см. рис 9.10):Dε Eεtgϕ = x = x x = x tgθ = 0,8 ,Dy ε y E y ε yа( N ⋅ r ) = x cos ϕ + y sin ϕυ2u2 cos α=2 ( 5x + 4 y )x + ytgϕ.=u2 ( cos θ − sin θ ⋅ tgϕ )u2Рис. 9.9. Относительная ориентация векторовE1 , E 2 , N1 , N 2 , S1 и S 2Ответ: u1 = cu2 = 2cРис. 9.10. К вопросу об углахϕ и α3 (волна линейно поляризована вдоль оси z),4,5 (волна линейно поляризована в плоскости xOy).Задача 9.2.3. Для анизотропной среды с главными диэлектрическими проницаемостями ε x = 3 , ε y = 2 , ε z = 2 ,5 найти направления, вдоль которых лучевая скорость u не зависит от ориентациивектора E .206ОПТИКА.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
