А.В. Быков, И.В. Митин, А.М. Салецкий - Оптика. Методика решения задач (1120536), страница 23
Текст из файла (страница 23)
групповая скорость в два раза меньше фазовой: u =б) υ =u=ω2k2=υ2.σ k3σσ 2π=k=;2ρkρρ λd ω 3 σ k2 3 σ==dk 2ρ ω 2ρk23 σ3 σ 2π=k=.2 ρ λσ 3 2 ρkρ3Следовательно, u = υ .2= 2πω =h;k==в) υ = =2m λ 2mλk 2m=h.u= k=mmλТаким образом, u = 2υ .Ответ:gλ1 g, u=λ;а) υ =2 2π2πσ 2π3 σ 2π; u=б) υ =;ρ λ2 ρ λв) υ =hh; u=.mλ2mλЗадача 8.2.7. Найти групповую скорость и рентгеновского излучения в среде, если предельный угол полного внутреннего отражения для границы "среда – воздух" равен θкр.РешениеДля рентгеновского излучения ( ω >> ω0 >> Γ ) применимаформула (8.14):2n =1−ω2p.ω2В области прозрачности среды ( ω > ω p ):n <1,поэтому фазовая скорость188ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧc>c,nа групповая скорость равнаu = c⋅n ,поскольку согласно (8.19):u ⋅ v = c2 .Для границы «воздух–среда» по закону преломления:v=π,2≈ 1 , то n ≈ sinθкр и, сле-nвозд ⋅ sinθкр = n ⋅ sinа так как nвоздРис.
8.3. К вопросу обизгибе луча света вблизиповерхности Землидовательно:u = c ⋅ sinθкр .Ответ: u = c ⋅ sinθкр .Задача 8.2.8. Световой луч распространяется параллельно поверхности Земли. Считая воздух неподвижным, найти отклонениелуча Δh на пути L = 1 км, если давление воздуха p0 = 1 атм, температура T = 300 К, а коэффициент преломления воздуха в этих усло-виях n = 1 + 3 ⋅ 10−4 .РешениеВ оптически неоднородной среде n = n ( r ) луч света не прямолинеен и изгибается в область с бóльшим значением показателемпреломления.
Радиус кривизны Rкр луча в такой среде обратнопропорционален градиенту показателя преломления:∇n1=R крn(8.22)Для воздуха показатель преломления (см. Задачу 8.1):n ( h) = 1 +N ( h)β,2где N – концентрация молекул воздуха на высоте h от поверхностиЗемли, β – поляризуемость воздуха в расчете на одну молекулу. Всоответствии с барометрической формулой:189Гл 8. Дисперсия света.
Фазовая и групповая скоростиN ( h ) = N ( 0) e−μghRT,где μ – молярная масса воздуха, N ( 0 ) =μ = 28 г моль ,чиp0. Учитывая, чтоkTμgh 28 ⋅ 10−3 ⋅ 10 ⋅ 103=≈ ≈ 0 ,11 , а по условию задаRT8,3 ⋅ 300βp0= 3 ⋅ 10−4 , можем записать:2kTμghβ p −β p0 ⎛ μgh ⎞n ( h ) = 1 + ⋅ 0 e RT ≈ 1 +⎜1 −⎟,RT ⎠2 kT2 kT ⎝аdn μg β p0=.dh RT 2 kTВ соответствии с (8.22) радиус кривизны светового луча на высоте h:βp1+ 0n2kT ≈ 2kT ⋅ RT ≈ 30 ⋅ 106 м > R ,Rкр =≈ЗΔn β0 p0 μg β0 p0 μg2 kT RT6где RЗ ≈ 6 ,4 ⋅ 10 м – радиус Земли.При прохождении светом расстояния L = 1 км его отклонениепо направлению к поверхности Земли (см. рис.
8.3) составит:∇n =Δh = Rкр (1 − cosθ ) ≈ RкрОтвет: Δh = 1,7 см.θ2 L2106==≈ 1,7 см.2 2 R 2 ⋅ 30 ⋅ 106Задача 8.2.9. Показатель преломления некоторой прозрачнойAсреды вблизи частоты ω* изменяется по закону n ( ω) = n0 −,ω − ω0где n0 = 1,5 , ω0 = 4 ⋅ 1014 с–1, A = const , ω < ω0 .
Через слой такоговещества толщиной l = 3 см проходит короткий световой импульс,Δω * Δωспектральный состав ( ω* −,ω +) которого достаточно22190ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧузок: Δω << ω* − ω0 . Оценить время τ прохождения импульса че-( )рез слой, если ω* − ω0 ≈ 1012 с–1 и n ω* − n0 = 0,01 .РешениеТак как искомое времяl,uгде и – групповая скорость света в среде, то воспользуемся формулой (8.20):c.u=* dnn+ωdωИспользуя данные из условия задачи, получим:d n n0 − n* 0,01≈== 10−14 с,d ω ω* − ω0 1012τ=ω* ≈ ω0 = 4 ⋅ 1014 с–1.В этом приближении групповая скорость равна:3 ⋅ 1083 ⋅ 108 мu==,5 ,5 с1,5 + 4 ⋅ 1014 ⋅ 10−14а искомое время прохождения импульса через слой:0,03 ⋅ 5,5τ== 5,5 ⋅ 10−10 с.83 ⋅ 10Ответ: τ = 5,5 ⋅ 10−10 c .Задача 8.2.10. Плазма заполняет полупространство x > 0 , в котором концентрация электронов нарастает по закону N ( x ) = μx( μ = const ).
Электромагнитный волновой пакет со средней частотой ω* падает нормально на границу x = 0 , проходит в плазму ивозвращается через некоторое время τ. Найти это время.РешениеВ соответствии с (8.15) глубина Δх проникновения пакета вплазму определяется значением критической концентрации электронов Nкр, при которой ω* = ωр:191Гл 8. Дисперсия света.
Фазовая и групповая скоростиω2p =μ ⋅ Δx ⋅ e 2= ω* 2 ,ε0 mоткудаΔx =ε0 mω2μe 2.Посколькуdt =dx,uа для плазмы:u = c ⋅ n = c 1−μe 2ε0 mω2то для искомого времени τ получаем:Δxτ = 2 ∫ dt =0Ответ: τ =2 Δx∫c 0dx1−μe 2ε0 mω2⋅x ,=⋅x4 ε0 mω2.c μe 24 ε0 mω2.c μe 28.3. Задачи для самостоятельного решенияЗадача 8.3.1. Найти показатель преломления атмосферы на поверхности Венеры. Атмосфера Венеры состоит из углекислого газа,поляризуемость молекул которого равна 3,3⋅10−29 м3. Давление наВенере 100 атм, температура 500°С.Ответ: ≈ 1,015.Задача 8.3.2. Определить число N1 свободных электронов (врасчете на атом) в пленке серебра, если она прозрачна для ультрафиолета, начиная с энергии 5 эВ.
Плотность серебра 10,5 г⋅см−3,атомная масса 108 г/моль.Ответ: N1≈ 1/6.Задача 8.3.3. Для радиоволн с частотой 10 МГц показательпреломления ионосферы равен 0,9. Найти фазовую υ и групповую192ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧu скорости для этих радиоволн, а также концентрацию N электронов в ионосфере.Ответ: υ ≈ 3,3⋅108 м/с; u ≈ 2,7⋅108 м/с; N ≈ 2,4⋅109 м−3.Задача 8.3.4.
Узкий пучок рентгеновского излучения с длинойволны 62 пм проходит через алюминиевый экран толщиной 2,6 см.Какой толщины должен быть свинцовый экран, чтобы ослаблятьэтот пучок в той же степени? Массовые показатели ослабления дляAl и Pb равны соответственно 3,48 и 72,0 см2/г.Ответ: 0,3 мм.Задача 8.3.5. Найти групповую скорость u для волнового пакета (λ, δλ<<λ), если зависимость фазовой скорости v от длины волны λ имеет вид:а) v = a = const;б) v = a λ ;в) v = a λ ;г) v = a λ ;д) v = c 2 + b 2 λ 2 (с − скорость света в вакууме, b = const).Ответ: а) u = a ; б) u = a λ 2 ; в) u = 3a (2 λ ) ; г) u = 2a λ ;д) u =c2c 2 + b2λ 2.Задача 8.3.6. Найти радиус кривизны светового луча,пущенного горизонтально вблизи поверхности Венеры. Ускорениесвободного падения на Венере равно 0,84 g (g = 9,81 м/с2).Ответ: ≈ 1145 км.Задача 8.3.7. На плоско-выпуклую стеклянную линзу срадиусом кривизны поверхности 100 см падает плоскаямонохроматическая волна, частота которой возрастает со временемпо закону ω = ω0 (1 + at ) , (ω − ω0 ) ω0 1 , λ0 = 1 мкм.
Определитьпостоянную а, если фокус перемещается со скоростью 3 км/с.Гл 8. Дисперсия света. Фазовая и групповая скорости193Показатель преломления линзы n(λ0) = 1,5; дисперсия линзыdn= −103 см−1.dλОтвет: а = 0,75⋅104 с−1.Задача 8.3.8. Определить время прохождения светового импульса через слой прозрачного вещества толщиной 1 см, для которого показатель преломления вблизи средней частоты ω импульса:n(ω) = n0 − A(ω − ω0 ) , где n0 = 1,5 ; A = const, а ω0 = 4⋅1014 с−1 − резонансная частота для атомов вещества. Рассмотреть случай, когдаω < ω0, ω − ω0 ≈ 1012 с−1, n ( ω) − n0 ≈ 0,1 ; спектральная ширинаимпульса Δω ω − ω0 .Ответ: ≈ 1,4 нс.Литература1. Ландсберг Г.С.
Оптика. − М.: Физматлит, 2003, главаXXVIII.2. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Оптика. − М.: Физматлит, 1980, глава VIII.3. Матвеев А.Н. Оптика. − М.: Высш. шк., 1985, §15.4. Бутиков Е.И. Оптика. − М.: Высш. шк., 1986,раздел 2.5. Гинзбург В.Л., Левин Л.М., Сивухин Д.В., Четверикова Е.С.,Яковлев И.А. Сборник задач по общему курсу физики. В 5 т. Кн.
IV.Оптика/ Под ред. Д.В.Сивухина. − М.: ФИЗМАТЛИТ; ЛАНЬ, 2006,§.6. Сборник задач по общему курсу физики: Учеб. пособие:Для вузов. В трех частях. Ч. 2. Электричество и магне-тизм. Оптика./ Под ред. В.А.Овчинкина. − М.: Изд-во МФТИ, 2000, §§.7. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. − М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006, §5.5.194ОПТИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧГлава 9РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ.ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДНООСНЫХ КРИСТАЛЛОВ9.1. Теоретическое введениеКак уже отмечалось в гл.2, в диэлектрической среде могут распространяться плоские гармонические волны D(r , t ) ,E(r, t ) иH (r , t ) типаA(r , t ) = A 0 (r ) cos(ωt − kr + ϕ)(9.1)с независящей от времени амплитудой A 0 .Если подставить D(r , t ) , E(r, t ) и H (r, t ) в виде (9.1) в уравнения Максвелла (2.1) – (2.4), то получим:ω[k , E] = 2 H ,ε0 c[k , H ] = −ωD(k, D) = 0 ,(k, H ) = 0 .,Отсюда следует, что векторы D, H и k взаимно ортогональны,вектор Е перпендикулярен вектору Н, а кроме того, векторы D, Е иk и удовлетворяют уравнению:k 2E − ( k , E ) k −ω2D=0.(9.2)ε0 c 2Если среда линейная и изотропная, то ее восприимчивость χ ипроницаемость ε = 1 + χ – скалярные величины, поэтому:D = ε0 εE ,(9.3)а кроме того, D & Ε .
В среде без дисперсии фазы волнD(r, t ) , E(r , t ) и H (r, t ) совпадают. Круговая частота ω и волновоечисло k в (9.1) связаны дисперсионным уравнением:ω2k2 = 2 ε ,(9.4)cа фазовая скорость волны (в направлении волнового вектора k)Гл 9. Распространение света в анизотропных средах195cN(9.5)nзависит от показателя преломления n = ε ( N ≡ ek – единичныйвектор волновой нормали).
Если среда изотропная, то фазовая скорость не зависит от направления N распространения волны и состояния ее поляризации.В случае анизотропной среды связь между D и Е в общем случае более сложная:D = ε0 εˆ E ,(9.6)где ε̂ ≡ εij – вещественный (если нет дисперсии) симметричныйv ==( εij = ε ji ) тензор диэлектрической проницаемости второго ранга.В волне, распространяющейся в такой анизотропной среде, векторы D и E не обязательно коллинеарны, но лежат в одной плоскости – плоскости поляризации световой волны с волновым векторомk и вектором Пойнтинга S = [ E, H ] = [ E, H ] × s , где s – единичный лучевой вектор в направлении потока энергии (рис 9.1).Рис.
9.1. Взаимная ориентация векторов E, H, D, k при распространении световой волны в анизотропной средеСоответствующим выбором декартовой системы координатсимметричный тензор εij может быть приведен к диагональномувиду. В этом случае координатные оси совпадают с так называемыми главными направлениями среды (кристалла). В проекциях наэти направления векторное материальное уравнение (9.3) распадается на три скалярных:Di = ε0 εi Ei .(9.7)Значения диагональных компонент тензора εi называют егоглавными значениями или главными диэлектрическими проницае-196ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧмостями.
Если ε x ≠ ε y ≠ ε z , то среда называется двуосной. Еслиε x = ε y ≠ ε z ( ε x = ε y ≡ ε ⊥ , ε z = ε& ), то среда одноосная (положительная, если ε& > ε ⊥ , и отрицательная, если ε& < ε ⊥ ). В случаеизотропной среды: ε x = ε y = ε z .С учетом (9.4), (9.5) и (9.7) из уравнения (9.2) может быть получена система уравнений:⎛ v2 ⎞( N, E ) Ni − ⎜⎜1 − 2 εi ⎟⎟ Ei = 0⎝ c⎠илиε ( N, E ) N iDi = 0.(9.8)1 εi − v 2 c 2где Ni – направляющие косинусы волновой нормали N .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
