А.В. Быков, И.В. Митин, А.М. Салецкий - Оптика. Методика решения задач (1120536), страница 21
Текст из файла (страница 21)
7. Оптические явления на границе раздела диэлектриков1672I0 =I 0s= rs2 I1sа коэффициент отражения:1 ⎛ n2 − 1 ⎞= ⎜ 2 ⎟ I,2 ⎜⎝ n + 1 ⎟⎠2света:I1 ⎛ n2 − 1 ⎞R= 0 = ⎜ 2⎟ = 0,74 .I 2 ⎜⎝ n + 1 ⎟⎠б) По определению, степень поляризации преломленногоI 2s − I 2pΔ=( )Так как I 2s = ( ts ) nI1s , I 2p = t p22Δ=Поскольку при θ1 = θБр :ts =в итоге получаем:I 2s + I 2pnI1p и I1s = I1p , то:ts2 − t 2pts2 + t 2p21+ n2., tp =1,n( ) = −0,08 .Δ=24n 2 + ( n 2 + 1)4n 2 − n 2 + 1Ответ:.2R = 0,74, Δ = −0,8Задача 7.2.5.
Естественный свет с интенсивностью I падаетпод углом Брюстера из воздуха на плоскопараллельную стеклянную пластинку с показателем преломления n = 1,5 . Найти интенсивность и степень поляризации каждогоиз пучков 1–4 (рис. 7.7).РешениеРассматривая естественный светкак суперпозицию двух некогерентных волн одинаковой интенсивности,плоскости поляризации которых взаРис.7.7. Ход лучей черезимно перпендикулярны, можно запи- плоско-параллельную стексатьлянную пластинку168ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧI00I s( ) = I (p ) = .2На границе воздух-стекло при θ1 = θБр :θ1 + θ2 =π,2n2=n.n1Поэтому в соответствии с формулами Френеля:cosθ2 = sinθ1 ,rs =ts =tg θ1 =n1 − n2 ⋅ tgθ1 n12 − n22 1 − n 2==,n1 + n2 ⋅ tgθ1 n12 + n22 1 + n 22n12n 22= 2 1 2 ==,n1 + n2 ⋅ tgθ1 n1 + n21 + n2n − n ⋅ tgθ1rp = 2 1=0,n2 + n1 ⋅ tgθ12n1n1tp == 1 = .n2 + n1 ⋅ tgθ1 n2 nНа границе стекло-воздух при θ1' = θ'Бр = θ2 :π,2cosθ'2 = sinθ1' ,n1tg θ1' = 1 = .n2 nθ'1 + θ'2 =rs' =n2 − 11+ n2, t's =2n 21+ n2; rp' = 0 , t'p = n .Для пучка 1:2⎛ 1 − n2 ⎞ I011100I ( ) = I s( ) + I (p ) = rs2 ⋅ I s( ) + rp2 ⋅ I (p ) = ⎜⋅ ;⎜ 1 + n 2 ⎟⎟ 2⎝⎠11I s( ) − I (p )1)(Δ ==1.11I s( ) + I (p )169Гл.
7. Оптические явления на границе раздела диэлектриковДля пучка 2:21 I⎛ 2 ⎞ I022200I ( ) = I s( ) + I (p ) = nts2 ⋅ I s( ) + nt 2p ⋅ I (p ) = n ⎜⋅ +n 2 ⋅ 0 =2⎟n 2⎝1+ n ⎠ 2=nΔ( 2)(4n 2 + 1 + n 2(n2 1 + n2))22⋅((I 0 1 + 6n 2 + n 4 I 0=⋅ .222 2n 1+ n() = −0,08.2)2222I s( ) − I (p ) ts2 − t 2p 4n − n + 1== 2 2 =22I s( ) + I (p ) ts + t p 4n 2 + n 2 + 1Для пучка 3:333I ( ) = I s( ) + I (p ) = rs'( )2( )2⋅ I s( ) + rp'( )= n rs'22( )222⋅ I (p ) =0⋅ ts2 ⋅ I s( ) + n rp'⎛ n2 − 1 ⎞= n ⋅⎜⎜ 1 + n 2 ⎟⎟⎝⎠)20⋅ t 2p ⋅ I (p ) =2I⎛ 2 ⎞ I0⋅⎜⋅ + 0⋅ 0 =2⎟2⎝ 1+ n ⎠ 2()2n n 2 − 1(1 + n )22 4⋅ I0 ;22I s( ) − I (p )3Δ( ) ==1.22I s( ) + I (p )Для пучка 4:1444I ( ) = I s( ) + I (p ) = t'sn( ) ⋅ I s( 2) + 1n (t'p ) ⋅ I (p2) == (t ) ⋅ t ⋅ I ( ) + (t ) ⋅ t ⋅ I ( ) =22' 2s⎛ 2n 2 ⎞=⎜⎜ 1 + n 2 ⎟⎟⎝⎠22ss' 2p02p0p(42I 0 16n + 1 + n⎛⎞ I0⋅⎜⎟ ⋅ + 1⋅ 2 =4⎝ 1 + n2 ⎠ 21 + n222())4⋅I0;2170ОПТИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ( ) ⋅ ts2 − (t'p ) ⋅ t 2p =22( ) ⋅ ts2 + (t'p ) ⋅ t 2p44t'sI s( ) − I (p )4)(Δ ==44I s( ) + I (p )t's222⎛ 2n 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ 2⎜⎜⎟ ⋅⎜⎟ − 1 16n 4 − 1 + n 21 + n 2 ⎠⎟ ⎝ 1 + n 2 ⎠⎝==( ) = −0,16 .416n 4 + (1 + n 2 )24⎛ 2n 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ 2⋅+1⎜⎜2⎟⎟ ⎜⎝ 1 + n 2 ⎟⎠1n+⎝⎠Если на пути пучка естественного света установить N такихпластинок (стопа Столетова), то степень поляризации прошедшего света будет равна:t's ) ⋅ ts2 N − ( t'p ) ⋅ t 2p N ( 4n 2 ) − (1 + n 2 )(ΔN ==.' 2N 2N' 2N 2N2 N2 4N(ts ) ⋅ ts + (t p ) ⋅ t p ( 4n ) + (1 + n )2N2NN4N2⎛ 1 − n2 ⎞ I011Ответ: I ( ) = ⎜⋅ , Δ( ) = 1 ,⎜ 1 + n 2 ⎟⎟ 2⎝⎠1 + 6n 2 + n 4 I 0 ( 2 )2Δ = −0,08.I( ) =⋅22 2n 1+ n( )222nn−1()33I( ) =⋅ I0 , Δ( ) = 14(1 + n2 )416n 4 + (1 + n 2 ) I44)(I =⋅ 0 , Δ ( ) = −0,164(1 + n2 ) 2Задача 7.2.6.
Найти толщину d воздушного зазора между двумя прямоугольными призмами из стекла с n = 1,5 (см. рис. 7.8), прикоторой поляризованное перпендикулярно плоскости падения лазерное излучение с длиной волны λ = 0 ,63 мкм проходит через нихс потерями амплитуды не более чем в 2,7 раза.Гл. 7. Оптические явления на границе раздела диэлектриковθкр171РешениеТак как для границы «стекло – воздух» критический угол= arcsin(1 n ) ≈ 42° меньше, чем θ = 45° , то для падающего награницу 2 луча выполняются условия полного внутреннего отражения.Очевидно, что амплитудный коэффициент пропускания всейсистемы:t = t1 ⋅ t2 ⋅ t0 ⋅ t3 ⋅ t4 .В соответствии с (7.13)при нормальном падениисвета на границы 1 и 4:2t1 == 0 ,8 ;1+ n2nt4 == 1, 2 ;Рис. 7.8. Прохождение лазерного излучения1+ nчерез две прямоугольных призмы с зазорома для границ 2 и 3:2ncosθ= 1,9 ;t2 =n2 − 1t3 =2 n 2sin 2θ − 1= 0 ,63 .n2 − 1Согласно (7.22) для воздушного зазора 2-3:t0 = e − dгде Δ =Δ,λ= 0, 28 мкм.2π n 2sin 2θ − 1Так как по условию задачи: t ≥ 1 2,7 ,то получаем:d = Δ ⋅ ln ⎡⎣ 2 ,7 ⋅ t1 ⋅ t2 ⋅ t3 ⋅ t4 ⎤⎦ ≈ 0 ,32 мкм.Ответ: d ≈ 0,32 мкмЗадача 7.2.7.
Найти фазовый сдвиг φ между р- и sкомпонентами отраженной волны при полном внутреннем отражении.172ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧРешениеПри полном внутреннем отражении ( θ1 ≥ arcsin( n2 n1 ) ) сдвигпо фазе р- и s-компонент относительно падающей волны можетбыть рассчитан по формулам (7.25) и (7.26):ϕtg s =2tgϕp2=( n1sinθ1 )2 − n22n12cosθ1n1,( n1sinθ1 )2 − n22n22cosθ1.Используя формулу:ϕ1ϕ− tg 2ϕ − ϕ222 ,tg 1=ϕϕ21 + tg 1 tg 222для искомого сдвига ϕ = ϕ p − ϕs получаем:tgtg22ϕ cosθ1 sin θ1 − n21=,2sin 2θ1(7.41)где n21 = n2 n1 .Ответ: tg22ϕ cosθ1 sin θ1 − n21=2sin 2θ1Задача 7.2.8.
При каком угле полного внутреннего отраженияфазовый сдвиг между р- и s-компонентами отраженной волны максимален?РешениеВ соответствии с формулой (7.33):22ϕ cosθ1 sin θ1 − n21,tg =2sin 2θ1где arcsin( n2 n1 ) ≤ θ1 ≤ π 2 , n21 = n2 n1 < 1 . Так как ϕ ( θ1 ) = 0 приθ1 = arcsin( n2 n1 ) и θ1 = π 2 , то исследуя φ(θ1) на экстремум, получим, что максимальное значение:Гл.
7. Оптические явления на границе раздела диэлектриковϕmax = 2arctg21 − n21173(7.42)2n21достигается при угле падения:θ1max = arcsin22n2121 + n21.В частности для границы стекло–воздух ( n21 = 1 1,5 ):ϕmax = 45°36′ при θ1max = 51°20′ ,а ϕ = 45° = π 4 при θ1 = ( 48°37′ и 54°37′ ) .Чтобы при однократном полном внутреннем отражении светадостичь ϕ ≥ π 2 , необходимо иметь материал с n ≥ 2 , 41 (у алмазаn = 2, 42 ).Ответ: θ1max = arcsin22n2121 + n21Задача 7.2.9. Рассчитать преломляющий угол θ для параллелепипеда Френеля, сделанного из стекла с n = 1,7 .РешениеЛуч света, проходя через параллелепипед Френеля, испытывает двукратное полное внутреннее отражение на границе «стекло –воздух» (рис.
7.9). Угол θ выбирается таким, чтобы в выходящемлуче разность фаз 2ϕ = ϕ p − ϕs = π 2 , т.е. при однократном отражении: ϕ = π 4 .Рис.7.9.Прохождение луча света через параллелепипед ФренеляИспользуя формулу (7.33), получим уравнение:n2 + 1π1πsin 4θ − 2 cos 2 ⋅ sin 2θ + 2 cos 2 = 0 ,88nnрешение которого при n = 1,7 :θ = 38°42′ и 60°32′ .174ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧОтвет: θ = 38°42′ и 60°32′ .Задача 7.2.10.
Каким должен быть минимальный показательпреломления у материала для параллелепипеда Френеля, чтобыобеспечить на выходе сдвиг фаз между р- и s-компонентамиϕ = ϕ p − ϕs = 3π 2 ?РешениеСогласно (7.34), для материала с показателем преломления nпри однократном полном внутреннем отражении на границе с воздухом разность фаз не может превышать значения:n2 − 1ϕ1m = 2arctg,2nилиϕn2 − 1tg 1m =.22nРешая последнее уравнение относительно n, получим:ϕ1 + sin 1m2 .n=ϕ1mcos2Поскольку по условию задачи ϕ1m = ϕ 2 = 3π 4 , то3π1 + sin8 = 5,028 .n=3πcos8(Материалов с таким значением n в оптическом диапазоне нет!)Ответ: n = 5,0287.3.
Задачи для самостоятельного решенияЗадача 7.3.1. Под каким углом нужно отразить свет с естественной поляризацией от кристалла каменной соли (n = 1,544), чтобы получить максимальную степень поляризации отраженного света?Ответ: 57°05′.Гл. 7. Оптические явления на границе раздела диэлектриков175Задача 7.3.2.
Узкий пучок неполяризованного света падает подуглом Брюстера на стопу Столетова, состоящую из N толстыхплоскопараллельных стеклянных пластин. Найти степень поляризации прошедшего света, если N = 1, 2, 5 и 10.Ответ: 0,16, 0,31; 0,67 и 0,92.Задача 7.3.3. При каких условиях луч света, падающий на боковую грань прозрачной изотропной призмы с преломляющим углом 60°, проходит через нее без потерь на отражение?Ответ: 1) свет поляризован в плоскости падения; 2) показатель преломления призмы равен 1,73.Задача 7.3.4. Неполяризованный свет падает под углом 45° наповерхность стекла с показателем преломления 1,53.
Найти степеньполяризации отраженного света.Ответ: 0,82.Задача 7.3.5. Найти степень поляризации луча, прошедшегочерез стеклянную пластинку с показателем преломления 1,5 приуглах падения 20, 45, 60 и 80°, если изначально свет не был поляризован.Ответ: −0,015; −0,091; −0,176; −0,402.Задача 7.3.6. Какой показатель преломления должен быть увещества, чтобы в результате однократного полного внутреннегоотражения на его границе с воздухом линейно-поляризованныйсвет с азимутом поляризации 45° преобразовывался в циркулярнополяризованный?Ответ: ≈ 2,41.Задача 7.3.7. При каком показателе преломления n средыкоэффициент отражения неполяризованного света достигаетминимума для углов падения от 0 до 90°?Ответ: n > 3,732.Литература1. Ландсберг Г.С. Оптика.
− М.: Физматлит,XXIII,XXIV, XXV.2003, главы176ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ2. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Оптика. − М.: Наука,1980, глава V.3. Матвеев А.Н. Оптика. − М.: Высш. шк., 1985, §§16,17.4. Бутиков Е.И. Оптика. − М.: Высш. шк., 1986,раздел 3.5. Гинзбург В.Л., Левин Л.М., Сивухин Д.В., ЧетвериковаЕ.С., Яковлев И.А. Сборник задач по общему курсу физики. В 5 т.Кн. IV. Оптика/ Под ред. Д.В.Сивухина. − М.: ФИЗМАТЛИТ;ЛАНЬ, 2006, §6.6. Сборник задач по общему курсу физики: Учеб. пособие:Для вузов. В трех частях.
Ч. 2. Электричество и магнетизм. Оптика./ Под ред. В.А.Овчинкина. − М.: Изд-во МФТИ, 2000, §2.7. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. − М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006, §5.4.8. Ильичева Е.Н., Кудеяров Ю.А., Матвеев А.Н. Методикарешения задач оптики/ Под ред. А.Н.Матвеева − М.: Изд-во Моск.ун-та, 1981, раздел III.Гл 8. Дисперсия света.
Фазовая и групповая скорости177Глава 8ДИСПЕРСИЯ СВЕТА. ЗАВИСИМОСТЬ ПОКАЗАТЕЛЯПРЕЛОМЛЕНИЯ И КОЭФФИЦИЕНТА ПОГЛОЩЕНИЯОТ ЧАСТОТЫ. ФАЗОВАЯ И ГРУППОВАЯ СКОРОСТИ8.1. Теоретическое введение.Как уже отмечалось в гл. 2, в однородной линейной изотропной среде могут распространяться плоские монохроматическиеэлектромагнитные волны:i ωt −kr )E ( r, t ) = E0 e (,,(8.1)i ωt −kr )H ( r, t ) = H 0 e (,причем частота ω и волновой вектор k связаны друг с другом дисперсионным соотношением:ω2k2 = 2 ε ,cилиωk = n,(8.2)сгдеε = ε′ − iε′′(8.3)– комплексная (в общем случае) диэлектрическая проницаемостьсреды, аn = ε = n′ - in′′– комплексный показатель преломления.В связи с тем, что D0 = ε0 εE0 , модуль проницаемостиε =( ε′ )2 + ( ε′′ )2(8.4)(8.4)определяет амплитуду электрической индукции D0, аε′′(8.5)tgδ = −ε′характеризует разность фаз между D и Е (δ – так называемый уголдиэлектрических потерь).178ОПТИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧВ соответствии с (8.3) волновой вектор k может быть представлен в виде:k = k ′ − ik ′′ ,(8.5)ωωгде k ′ = n′ и k ′′ = n′′ .ccС учетом (8.5), уравнение плоской волны, (например, для Е)принимает вид:i ωt − k ′r )E r , t = E e −k ′′r e (.(8.6)()0Согласно (8.7), плоская монохроматическая волна распространяется в направлении k ′ с фазовой скоростьюcωv = еk′ =еk′,(8.7)k′n′где n′ − показатель преломления.Вектор k″ указывает направление максимального измененияck ′′амплитуды волны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
