А.В. Быков, И.В. Митин, А.М. Салецкий - Оптика. Методика решения задач (1120536), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Спектральные приборы с пространственным разделением спектра133В данной главе мы будем рассматривать только дифракционные и интерференционные спектральные приборы.Основными характеристиками спектральных приборов являются угловая и линейная дисперсия, разрешающая способность иобласть свободной дисперсии.Дисперсия прибора характеризуетизменение угла отклонения световогопучка в приборе при изменении длиныволны.
Различают угловую и линейнуюдисперсию прибора.Угловая дисперсия прибора определяется отношениемdϕ,Dϕ =dλгде dϕ −угол между лучами с длинамиволн λ и λ+dλ в фокальной плоскости Рис. 6.2. Разрешающая способностьспектральногокамерного объектива.прибора по РэлеюЛинейная дисперсияdlDl =,dλгде dl − расстояние между спектральными линиями с длинами волнλ и λ+dλ.Разрешающая сила или разрешающая способность прибора. Так называется отношение длины волны λ к наименьшей разности δλ длин двух монохроматических спектральных линий, прикоторой спектральный прибор еще позволяет наблюдать их раздельно. Для сравнения разрешающих сил различных спектральныхприборов используют критерий Рэлея, согласно которому двеспектральные линии считаются разрешенными, если максимумраспределения интенсивности одной линии соответствует первомуминимуму другой (рис.6.2).
Если эти линии имеют одинаковуюинтенсивность, то провал между ними должен быть не менее 20%от максимальной интенсивности.Область свободной дисперсии (важна для интерференционных спектральных приборов с высокой разрешающей силой) соответствует разности длин волн Δλ , при которой наступает перекрытие интерференционных полос соседних порядков.134ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧДифракционная решетка. При дифракции на дифракционнойрешетке угловое распределение интенсивности имеет вид:2⎛ sin u ⎞ ⎛ sin N δ ⎞Iϕ = I0 ⋅ ⎜⎟ ⋅⎜⎟⎝ u ⎠ ⎝ sin δ ⎠2(6.1)гдеu=kb sin ϕ πb sin ϕkd sin ϕ πd sin ϕ; δ=;==22λλ2π– волновое число; b – ширина щели; d – период решетки; Nλ– число штрихов (щелей) решетки; ϕ – угол дифракции; I 0 – интенсивность в центре картины при дифракции на одной щели шириной b.Условие образования главных максимумов при дифракции нарешетке:d sin ϕ = mλ ,( m = 0,1, 2... ).(6.2)k=Направления на главные дифракционные максимумы (углыϕm) могут быть найдены графически, как показано на рис.
6.3.0 123dmϕ3ϕm0λ 2λ 3λmλdРис. 6.3. Графическое определение направлений на главные дифракционныемаксимумы решетки135Гл. 6. Спектральные приборы с пространственным разделением спектраТаблица спектральных характеристикприбора с дифракционной решеткой(подробнее см. в решении задач)Условие для нахождения дифракционных максимумов приборас дифракционной решеткой:d sin ϕm = mλПараметрКонстантыПеременныеФормулыУгловаядисперсияDϕd, mλ,ϕd ⋅ δ ( sin ϕm ) = m ⋅ δλd ⋅ cos ϕm ⋅ δϕm = m ⋅ δλ ,Dϕ =УгловаяширинадифракционнногомаксимумаΔϕmd, λРазрешающаяспособность Rd, ϕϕ, mδϕmm=d cos ϕmδλd ⋅ δ ( sin ϕm ) = λ ⋅ δmd ⋅ cos ϕm ⋅ Δϕm = λ ⋅Δϕm =m, λλNd cos ϕm0 = mδλ + λδm ;δm = −1 N ;λm=−;δλδmΔϕmλδλ ==DϕmNR=λ= Nmδλ0 = mΔλ + λδm ;δm = −1 ;m(λ + Δλ ) = (m + 1)λ ,R=СвободнаяобластьдисперсииΔλ1Nd, ϕm, λΔλ =λm136ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИнтерферометр Фабри–ПероИнтенсивность монохроматического излучения, прошедшегочерез интерферометр Фабри–Перо (ИФП), описывается формулойЭйри:I0,(6.3)I=4R2δ⋅1+sin2(1 − R )2где R – коэффициент отражения (по интенсивности) каждого из2π4π ⋅ hзеркал интерферометра1; δ =⋅ 2h cos θ =cos θ – разностьλλфаз между соседними лучами; h – расстояние между зеркалами(или база ИФП); θ – угол падения света на зеркала.Направления θm на интерференционные максимумы могутбыть найдены из условия:⎡ 2h ⎤(6.4)2h ⋅ cos θm = mλ , ( m = 1, 2..., mmax = ⎢ ⎥ ).⎣λ⎦Направления на интерференционные максимумы (углы θm) впроходящем свете могут быть найдены графически, как показанона рис.
6.4.mm-1m-2h(m-2)λ2θm-2h0λ 2λmλ2Рис. 6.4 Графическое определение направление на интерференционныемаксимумы ИФП1Если коэффициенты отражения зеркал различны и равны R1 и R2 , тоR = R1 ⋅ R2 .Гл. 6. Спектральные приборы с пространственным разделением спектра137Таблица спектральных характеристикинтерферометра Фабри–Перо(подробнее см.
в решении задач)Условие для нахождения интерференционных максимумов в интерферометре Фабри–Перо:2h ⋅ cos θm = mλПараметрКонстанты ПеременныеФормулыУгловая дисперсия Dθh, mλ,θ2h ⋅ sin θm ⋅ δθm = m ⋅ δλ ,dθmDθ = m =d λ d sin θmУгловая ширина дифракционнногомаксимумаh, λθ, m2h ⋅ sin θm ⋅ Δθm = δm ⋅ λδm =Δθ mΔθm =Разрешающая способность Rh, θm, λСвободнаяобласть дисперсии Δλh, θm, λ1 (1 − R )=Fπ Rλ ⋅ (1 − R )2π ⋅ h sin θm ⋅ R0 = mδλ + λδm ;(1 − R ) ;δm =π RλmR=== mFδλ δm0 = mΔλ + λδm ;δm = −1 ;m(λ + Δλ ) = (m + 1)λ ,Δλ =λλλ2≈=m mmax 2h6.2. Задачи с решениямиЗадача 6.2.1 Какой должна быть минимальная ширина Lmin дифракционной решетки с периодом d = 2 мкм, чтобы с ее помощьюможно было разрешить две линии λ1 = 500 нм и λ 2 = 500 ,05 нм вовтором порядке спектра?138ОПТИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧРешениеВ соответствии с критерием Рэлея две спектральные линии могут быть разрешены, если главный максимум одной линии совпадает с ближайшим к главному максимуму первым минимумом длядругой линии. В этом случае угловой размер Δϕm максимума m-гопорядка равен угловому расстоянию δϕm между максимумами mλ1игопорядкадлядвухблизкихдлинволнλ 2 ( Δλ = λ 2 − λ1 << λ 2 ,λ1 ) .Угловую дисперсию решетки Dϕ = d ϕ d λ можно найти, взявдифференциал от обеих частей условия для главных максимумовdsinϕ = mλ по переменным ϕm и λ при постоянных d и m:d ⋅ δ ( sinϕm ) = m ⋅ δλ .Следовательно,δϕmm=,δλdcosϕmа угловое расстояние между двумя близкими спектральными линиями ( Δλ << λ ) в m-м порядке спектра равно:Dϕ =m ⋅ Δλ.dcosϕmГоворя об угловом размере Δϕm максимума m-го порядка,имеют в виду угол между направлениями на максимум и на ближайший к нему минимум.
В задаче 5.7 (глава 5) показано, что направления ϕm,min на минимумы, ближайшие к главным максимумам, находятся из условия:1⎞⎛d ⋅ sinϕm,min = ⎜ m ± ⎟ λ .N⎠⎝Так как Δϕm = ϕm − ϕm,min , то, взяв дифференциал от обеихδϕm = Dϕ ⋅ Δλ =частей условия для главного максимума dsinϕ = mλ по переменным ϕm и m при постоянных d и λ, получим:d ⋅ δ ( sinϕm ) = δm ⋅ λ .Поскольку δ ( sinϕm ) = cosϕm ⋅ Δϕm и δm = ±то1,NГл. 6. Спектральные приборы с пространственным разделением спектра139λλ=,Ndcosϕm Lcosϕmгде L = Nd – ширина дифракционной решетки.Из условия Δϕm = δϕm получаем:λdLmin == 10 мм .mΔλОтвет: Lmin = 10 ммΔϕm =Задача 6.2.2 Найти разрешающую способность R дифракционной решетки, содержащей N штрихов, в m-м порядке дифракции.Сколько штрихов должна иметь решетка, чтобы в первом порядкеможно было разрешить две близкие спектральные линииλ1 = 600 нм и λ 2 = 600,12 нм?РешениеРазрешающая способность R спектрального прибора определяется как отношение длины волны λ к наименьшей разности Δλдлин волн двух спектральных линий, которые могут быть разрешены в соответствии с критерием Рэлея:λR=.ΔλПри решении задачи 6.2.1 было получено, что две линии разрешены, если угловой размер Δϕm дифракционного максимумаm-го порядка не превосходит углового расстояния δϕm междудвумя близкими линиями.
Из соотношений:mΔλδϕm = Dϕ Δλ =dcosϕmиλΔϕm =Ndcosϕmследует, что разрешающая способность дифракционной решеткиравнаλλ== mN .R=Δλ Δϕm DϕЭто же соотношение можно получить, взяв дифференциал отобеих частей условия для главных максимумов ( dsinϕ = mλ ) по140ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧпеременным m и λ при постоянных d и ϕm (направления ϕm намаксимум для λ1 и минимум для λ 2 совпадают):δ ( dsinϕm ) = 0 = m ⋅ δλ + δm ⋅ λ ,ОтсюдаR=mλ=−= mN ,Δλδmтак как δm = −1 N .Для разрешения двух линий λ1 = 600 нм и λ 2 = 600,12 нм разрешающая способность решетки должна быть не менее, чемλ 2 + λ1λ1≈= 5000 ,R=2 ( λ 2 − λ1 ) λ 2 − λ1а следовательно, при работе в первом порядке число штрихов решетки должно быть не менее 5000.Замечание. Разрешающая способность дифракционной решетки не зависит от периода решетки d, а определяется количеством Nзадействованных штрихов решетки.Ответ: R = mN ; N = 5000 .Задача 6.2.3. На рис. 6.5 приведены спектры источника, излучающего две близкие спектральные линии λ1 и λ 2 ,( Δλ 2 << λ1 ,λ 2 ) ,полученные с помощью трех различных дифракционных решеток.
Считая порядки дифракции одинаковыми, а углы дифракции малыми, сравнить параметры решеток:1) число штрихов N;2) период решетки d;3) ширину решетки L;4) угловую дисперсию решетки Dϕ ;5) разрешающую способность R..Рис. 6.5. Спектры источника, излучающего две близкие спектральные линии, полученные с помощью трех различных дифракционных решетокГл. 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
