А.В. Быков, И.В. Митин, А.М. Салецкий - Оптика. Методика решения задач (1120536), страница 13
Текст из файла (страница 13)
4.19).В соответствии с формулой (4.7):r2b1 = 1 ,λгде r1 = S0 π – радиус центральной зоны. Вклад в комплекснуюамплитуду U(Р) поля от этого участка определяется вектором103Гл. 4. Дифракция ФренеляOO1 . Так как площади всех колец зонной пластинки одинаковы,то для точки Р будут открыты все нечетные зоны Френеля и закрыты все четные (рис.
4.20), поэтомуU(P) = OO1 + O 2O 3 + O4O5 + ... + O 2m − 2O 2m −1 ,где m – число прозрачных колец в пластинке. Все эти векторыимеют одно и то же направление, а их длину можно считать приблизительно равной удвоенному радиусу R спирали Френеля (напомним, что радиус спирали R пропорционален I0 ).Рис. 4.19. Положение точки Р относительно зонной пластинкиРис. 4.20. Фрагмент спирали ФренеляСледовательно,U( P ) ≈ 2mR ,I ( P ) ≈ 4m 2 ⋅ I 0 >> I 0 ,т.е. зонная пластинка действует как собирающая линза с фокуснымрасстоянием f = b1 .(Заметим, однако, что в случае линзы такого жеразмера интенсивность будет в π 2 раз больше.)Если приближать точку наблюдения к зонной пластинке, точисло зон Френеля в пределах центральной прозрачной зоны пластинки будет возрастать и для некоторой точки Р3 достигнет трех.А это значит, что для точки Р3 первые три зоны Френеля открыты,следующие три – закрыты, и т.д.:U ( P3 ) = OO3 + O6O9 + O12O15 + ...
.Точку Р3 также называют фокусом зонной пластинки:104ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ1 r12 f= ,3 λ3однако интенсивность света в точке Р3 будет меньше, чем в первомфокусе.При дальнейшем приближении точки Р к зонной пластинкеможно обнаружить и другие фокусы, для которых центральная зонапластинки открывает нечетное число первых зон Френеля:ffm =, m = 1, 2 ,... .2m − 1f2 =Задача 4.2.7.
На расстоянии а от точечного монохроматического источника света расположен непрозрачный экран с узкойщелью шириной d<<а. Дифракционную картину наблюдают наэкране, который находится за щелью на расстоянии b=а.1) При какой длине волны λ источника в центре картины будетнаиболее интенсивный максимум?2) Чему равно отношение интенсивности в центре картины ина границе геометрической тени?3) Как изменится интенсивность в центре картины, если bуменьшить в два раза?РешениеСхема эксперимента показана на рис.
4.21 (P0 – источник света, P – центр дифракционной картины, А1 и А2 – границы щели, P1 –граница геометрической тени на экране, ξ – координаты точек вплоскости щели).ξА2P0d/2А1 -d/2aPbРис. 4.21. Схема экспериментаP1105Гл. 4. Дифракция ФренеляДля нахождения амплитуды поля в т. Р, как и при рассмотрении дифракции на круглом отверстии, разобьем щель на равные поплощади подзоны в виде узких бесконечно длинных полосок одинаковой ширины Δξ.В этом случае векторы, характеризующие вклад каждой подзоны в комплексную амплитуду поля в т.
Р, будут иметь одинаковуюдлину, однако разность фаз для соседних подзон уже не будет одной и той же, как это было при расчете дифракции на круглом отверстии. Эта разность фаз будет практически равна нулю для подзон, близких к центру щели, и растет по мере удаления от него.
Врезультате векторная диаграмма имеет вид спирали (рис. 4.22), называемой спиралью Корню. С помощью спирали Корню достаточнопросто рассчитывать распределение поля не только при дифракцииФренеля на щели, но и на крае экрана, проволоке.0.80.7S(ω)0.60.50.4ω=1.5ω=2.5+Oω=2.5ω=1ω=20.30.20.1+BOω=0.5С(ω)0-0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8ω=-2ω=-1-B-0.2-0.3-0.4-O-0.5-0.6-0.7-0.8Рис.
4.22. Спираль КорнюСпираль Корню задается в параметрическом виде с помощьюинтегралов Френеля:ω⎛π ⎞C ( ω) = ∫ cos ⎜ τ2 ⎟ d τ ,⎝2 ⎠0106ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧω⎛π ⎞S ( ω) = ∫ sin ⎜ τ2 ⎟ d τ ,⎝2 ⎠0где ω — параметр спирали Корню (обоснованность примененияэтих формул для дифракции в данном случае можно найти в литературе). Интегралы Френеля не могут быть вычислены аналитически, для них существуют таблицы.Спираль Корню строится следующим образом.
В качестве декартовых координат берутся значения интегралов C(ω) и S(ω). Выбирается произвольное значение ω, вычисляются значения интегралов Френеля, тем самым находится точка с координатами C(ω) иS(ω), которая и является точкой на спирали. Параметр ω изменяется на всей числовой оси. Поскольку11C ( ∞ ) = −C ( −∞ ) = ; S ( ∞ ) = − S ( −∞ ) = ,22⎛1 1⎞⎛ 1 1⎞то точки O“+” и O“–” с координатами ⎜ , ⎟ и ⎜ − , − ⎟ являются⎝ 2 2⎠⎝2 2⎠фокусами спирали Корню.
Как видно из рис. 4.22, спираль Корнюпроходит через начало координат и асимметрична относительнообеих осей. Она имеет две ветви (положительную и отрицательную), каждая из которых выходит из начала координат и приходитв свой фокус.??????Так как спираль образует векторы, соответствующие вкладамот соответствующих подзон, то длина участка спирали от началакоординат до любой ее точки пропорциональна координате ξ (см.рис. 4.21) в плоскости щели. Можно показать, что безразмерныйпараметр ω равен длине участка спирали, отсчитываемой от началакоординат, при этом он связан с координатой ξ следующим соотношением (вывод этого соотношения можно найти в литературе):ω( ξ) =2 ⎛1 1⎞⋅⎜ + ⎟ ⋅ξ .λ ⎝a b⎠(4.12)1) Для нахождения амплитуды поля в центре дифракционнойкартины поступают следующим образом.
Для известных значенийкоординат ξ1 и ξ2 точек А1 и А2 на краях щели по формуле (4.12)находят соответствующие значения параметров ω1 и ω2 . Длина107Гл. 4. Дифракция Френелявектора, соединяющего эти точки на спирали, пропорциональнаамплитуде поля в центре дифракционной картины.По условию задачи в центре дифракционной картины наиболееинтенсивный максимум. Из рис. 4.22 следует, что в этом случаекрая щели должны соответствовать точкам B- и B+ на спирали Корню с координатами ω1 ≈ −1, 25 и ω2 ≈ 1, 25 . Так как ξ1 = − d 2 ,ξ2 = −ξ1 = d 2 ,a = b , то из формулы (4.12) получим:224 ⎛ d ⎞ 16d 2d2⎛1 1⎞ ⎛ ξ ⎞064,λ = 2⋅⎜ + ⎟⋅⎜ 2 ⎟ = ⋅⎜≈=.⎟25aa ⎝ 2 ,5 ⎠a⎝ a b ⎠ ⎝ ω2 ⎠2) В отличие от спирали Френеля, спираль Корню позволяетнаходить поле в любой точке дифракционной картины.
Найдем поле в точке P1, соответствующей границе геометрической тени (рис.4.21). Соединим точки P0 и P1 и найдем точку пересечения этойпрямой с плоскостью щели (в данном случае это будет точка А1).Так как d<<а,b, то можно считать, что прямая P0P1 перпендикулярна плоскости щели, поэтому разбиение на подзоны и построение спирали Корню следует начать именно от точки пересеченияА1. С этой точкой можно совместить и начало координат оси Оξ,т.е. ξн=0. Тогда новые значения координат краев щели будут равнысоответственно ξ1н =0 и ξ2н=d, а следовательно ωн1 =0 иω2н = 2ω2 ≈ 2 ,5 . (Отметим, что ω2н − ωн1 = ω2 − ω1 , т.к.
число открытых подзон осталось неизменным.)Измерив линейкой длины отрезков от ω1 ≈ −1, 25 до ω2 ≈ 1, 25и от ω1н = 0 до ω2н ≈ 2 ⋅ 1, 25 = 2,5 , которые пропорциональны амплитудам поля в точках P и P1, для отношения интенсивностей получим:Iн2≈ ( 0.41) ≈ 0 ,17 .I3) Если bн = a 2 , то соответствующая координата ω′ на спирали может быть найдена с помощью (4.12) из отношения:1 1+a bнω′3a=== 1,5 ≈ 1, 2 ; ω′ =≈ 1, 2 ⋅ 1, 25 = 1,5 .11ω22a+a bн108ОПТИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИзмерив длины отрезков от ω1 ≈ −1, 25 до ω2 ≈ 1, 25 и отω3 = −ω′ ≈ −1,5 до ω4 = ω′ ≈ 1,5 , которые пропорциональны амплитудам поля в центре картины, для отношения интенсивностей получим:I ′ I ≈ ( 0,89 ) ≈ 0,78 .2Ответ: 1) λ = 0,64Id2I′; 2) н ≈ 0 ,17 ; 3) ≈ 0 ,78 .IIa4.3. Задачи для самостоятельного решенияЗадача 4.3.1. Плоская монохроматическая волна падает нормально на непрозрачный экран с отверстием радиуса r, которое открывает для точки наблюдения Р первую зону Френеля.
Как следует изменить радиус отверстия, чтобы в точке Р наблюдался: а) первый минимум; б) второй максимум?Ответ: увеличить до а) r 2 ; б) r 3 .Задача 4.3.2. Плоская монохроматическая волна падает нормально на непрозрачный диск, закрывающий для точки наблюдения Р первые три зоны Френеля. Как изменится интенсивность вточке Р, если расстояние до диска: а) уменьшить в три раза; б) увеличить в два раза?Ответ: не изменится в обоих случаях.Задача 4.3.3. Точечный источник Р0 монохроматического светас длиной волны λ находится на расстоянии a перед непрозрачнымэкраном с круглым отверстием, а точка наблюдения Р − за экраномна расстоянии b. Каким должен быть минимальный радиус отверстия, чтобы интенсивность в точке наблюдения была такой же, каки в отсутствие экрана?λ ⋅a ⋅b.Ответ:3( a + b )Задача 4.3.4.
Диск из стекла с показателем преломления n закрывает внутреннюю половину (по площади) первой зоны Френеля. При какой толщине d диска освещенность в центре картиныбудет минимальной?109Гл. 4. Дифракция ФренеляОтвет:λ ⋅ (7 4 + m)n −1, m = 0 ,1,2 ,...Задача 4.3.5. Плоская световая монохроматическая волна с интенсивностью I 0 падает нормально на достаточно большую стеклянную пластинку, на задней стороне которой сделана круглая выемка. Для точки наблюдения Р радиус выемки равен радиусу первых полутора зон Френеля. Какое минимальное значение интенсивности можно получить, изменяя глубину выемки?Ответ:()22 − 1 ⋅ I 0 ≈ 0 ,17 ⋅ I 0 .Задача 4.3.6.
Интенсивность света в точке Р в отсутствие каких-либо препятствий равна I 0 . На пути светового пучка ставяткольцо, внешний край которого совпадает с краем первой зоныФренеля для точки Р, а площадь кольца равна половине площадипервой зоны Френеля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
