А.В. Быков, И.В. Митин, А.М. Салецкий - Оптика. Методика решения задач (1120536), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Дифракционная картина наблюдается в фокальной плоскости установленной за решеткой собирающей линзы.А. Найти, как изменится дифракционная картина, если увеличить в два раза 1) число щелей N; 2) ширину щели b ( 2b < d ); 3)период решетки d; 4) длину волны λ.Б. Как изменится дифракционная картина, если свет буде падать на решетку под углом θ ?РешениеВ соответствии с (5.8) угловое распределение интенсивности задифракционной решеткой описывается формулой:22⎛ sin u ⎞ ⎛ sin N δ ⎞Iϕ = I0 ⋅ ⎜⎟ ⋅⎜⎟ ,⎝ u ⎠ ⎝ sin δ ⎠где I 0 ~ b 2 .
В этой формуле так называемый дифракционный сомножитель2⎛ sin u ⎞I дифр = I 0 ⋅ ⎜⎟⎝ u ⎠описывает дифракцию на одной щели шириной b, а интерференционный сомножитель⎛ sin N δ ⎞I инт = ⎜⎟⎝ sin δ ⎠2Гл. 5. Дифракция Фраунгофера127описывает многолучевую интерференцию излучения от N щелей.Характерными элементами дифракционной картины в этомслучае являются:1) главные дифракционные минимумы ( sin u = 0 ) , направлениена которые определяется из условия b sin ϕ = mλ , m = 0,1, 2... ;2) главные дифракционные максимумы ( sin δ = 0 ) в направлениях, для которых d sin ϕ = mλ ( m = 0,1, 2... );3) дополнительныеинтерференционныеминимумы( sin N δ = 0, sin δ ≠ 0 ) , направление на которые отвечает условиюNd sin ϕ = mλ , m = 1, 2..., N − 1, N + 1,...
.Между главными максимумами находится N − 1 дополнительных минимумов. Направления ϕm,min на минимумы, примыкающие к m-му главному максимуму, находятся из условия sin N δ = 0 ,откудаd sin ϕm,min = ( m ± 1 N ) λ .Под угловым размером Δϕm максимума m-го порядка понимают угол между направлением на максимум и направлением наближайший к нему дополнительный минимум. Выражение дляΔϕm может быть получено, если взять дифференциал от обеих частей условия для главного максимума d sin ϕ = mλ по переменнымϕm и m при постоянных d и λ:d ⋅ δ ( sin ϕm ) = δm ⋅ λ .Так как δ ( sin ϕm ) = cos ϕm ⋅ Δϕm и δm = ± 1 N , тоλ.Nd cos ϕmДля направлений на главные максимумы интерференционныйΔϕm =2sin N δ ⎞2сомножитель ⎛⎜⎟ → N , поэтому интенсивность в центре ди⎝ sin δ ⎠фракционной картины приблизительно в N2 раз больше интенсивности I 0 .А.
На рис 5.14 а в качестве примера приведена картина распределения интенсивности при дифракции на N = 4 щелях.1) При увеличении числа щелей в два раза (рис 5.14 г): положение главных максимумов не меняется;128ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ число дополнительных минимумов увеличивается с N-1 до2N-1; угловой размер Δϕm максимума m-го порядка уменьшаетсяв два раза; интенсивность в центре дифракционной картины увеличивается в 4 раза.Рис. 5.14.
Распределение интенсивности света при дифракции на 4 щелях (а), приувеличении периода решетки d в два раза (б), при увеличении ширины щели b вдва раза (в), при увеличении числа щелей в два раза (г), при увеличении длиныволны света в два раза (д) и при наклонном падении света на решетку (е)2) При увеличении ширины щели b в два раза (рис 5.14 в): положение интерференционных максимумов и минимумов,их число и угловой размер Δϕm максимумов не меняются; главные дифракционные минимумы сдвигаются к центрукартины;Гл. 5. Дифракция Фраунгофера129 интенсивность в центре дифракционной картины увеличивается в 4 раза ( I 0 ∼ b2).3) При увеличении периода решетки d в два раза (рис 5.14 б): главные максимумы сдвигаются к центру картины (еслиsin ϕm ≈ ϕm , то углы ϕm уменьшаются в два раза); число добавочных минимумов не меняется; угловой размер Δϕm максимума m-го порядка уменьшаетсяпримерно в два раза ( cos ϕm изменяется незначительно); интенсивность в центре дифракционной картины не меняется.4) При увеличении длины волны λ в два раза (рис 5.14д): главные максимумы сдвигаются по направлению от центракартины (если sin ϕm ≈ ϕm , то углы ϕm увеличиваются в два раза); число добавочных минимумов не меняется; угловой размер Δϕm максимума m-го порядка увеличивается примерно в два раза ( cos ϕm изменяется незначительно); интенсивность в центре дифракционной картины не изменяется (при условии неизменной интенсивности источника).Б.
При наклонном падении плоской волны на дифракционную решетку (под углом θ) необходимо учитывать дополнительную разность хода для лучей, идущих от соседних щелей:Δsдоп = − d sin θ . В этом случае выражения для u и δ в формуле(5.8) принимают вид:kb ( sin ϕ − sin θ ) πb ( sin ϕ − sin θ )=,u=2λkd ( sin ϕ − sin θ ) πd ( sin ϕ − sin θ )δ==,λ2а условие для направлений (углов ϕm ) на главные максимумы —d ⋅ ( sin ϕm − sin θ ) = mλ .Так как для углов дифракции ϕ , близких к θ,sin ϕ ≈ sin θ + cos θ ⋅ ( ϕ − θ ) ,тоd ⋅ cos θ ⋅ ( ϕm − θ ) ≈ mλ .Аналогично, для направлений на дифракционные минимумы:b ⋅ cos θ ⋅ ( ϕ − θ ) ≈ mλ .130ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧТаким образом, при наклонном падении максимум нулевогопорядка дифракционной картины будет наблюдаться под угломϕ = θ (рис.
5.14 е), а параметры картины – как в случае нормального падения на решетку с периодом d н = d cos θ < d и шириной щелиbн = b cos θ < b .5.3. Задачи для самостоятельного решенияЗадача 5.3.1. Найти отношение интенсивностей в максимумахпервого и нулевого порядков при дифракции Фраунгофера на щели.Ответ: 0,047.Задача 5.3.2. Плоская монохроматическая волна (λ = 0,5 мкм)падает нормально на экран с узкой щелью шириной b=0,1 мм.
Найти угловую и линейную ширину максимума нулевого порядка вфокальной плоскости линзы с фокусным расстоянием F = 20 см.Ответ: 0,005 рад; 2 мм.Задача 5.3.3. На экран с узкой щелью шириной b=3 мкм падаетпод прямым углом плоская монохроматическая волна (λ = 0,5 мкм).Какое число дифракционных максимумов можно наблюдать в фокальной плоскости линзы?Ответ: 11.Задача 5.3.4.
Плоская монохроматическая волна (λ = 0,5 мкм)падает нормально на узкую щель шириной b. В центре дифракционной картины на экране, расположенном на расстоянии L=1 м отщели, интенсивность в n=50 раз меньше интенсивности падающейволны. Оценить ширину щели.Ответ: 100 мкм.Задача 5.3.5. Плоская монохроматическая волна падает нормально на узкую щель. Дифракционную картину наблюдают в фокальной плоскости собирающей линзы. Расстояние между максимумами нулевого и первого порядков равно 3 мм. Считая, что углыдифракции малы, оценить расстояние между максимумами первогои второго порядков.Ответ: 2 мм.131Гл. 5. Дифракция ФраунгофераЗадача 5.3.6. На дифракционную решетку с плотностью штрихов 50 мм–1, падает нормально параллельный пучок белого света.Найти угол между направлением на первый максимум для красногосвета (λкр = 0,76 мкм) и направлением на второй максимум дляфиолетового света (λф = 0,4 мкм).Ответ: 0,002 рад.Задача 5.3.7.
При каком соотношении между периодом решетки d и шириной щели b интенсивность главного максимума m-гопорядка будет равна нулю?d mОтвет: = > 1 , n = 1, 2, 3 …b nЗадача 5.3.8. Плоская монохроматическая волна (λ = 0,5 мкм)падает под углом θ = 30° на дифракционную решетку с периодомd = 6,2 мкм. Какой максимальный порядок спектра можно наблюдать?Ответ: 18.Литература1. Ландсберг Г.С. Оптика. − М.: Физматлит, 2003, глава VIII2.
Сивухин Д.В. Общий курс физики. Оптика. − М.: Наука,1980, §§39 -43.3. Матвеев А.Н. Оптика. − М.: Высш. шк., 1985, §§31,32.4. Бутиков Е.И. Оптика. − М.: Высш. шк., 1986, §§61,62.5. Гинзбург В.Л., Левин Л.М., Сивухин Д.В., Четверикова Е.С.,Яковлев И.А. Сборник задач по общему курсу физики. В 5 т. Кн. IV.Оптика/ Под ред. Д.В.Сивухина. − М.: ФИЗМАТЛИТ; ЛАНЬ, 2006,§4.6. Сборник задач по общему курсу физики: Учеб. пособие: Длявузов.
В трех частях. Ч. 2. Электричество и магнетизм. Оптика./Под ред. В.А.Овчинкина. − М.: Изд-во МФТИ, 2000, §7.7. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. − М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006, §5.3.8. Ильичева Е.Н., Кудеяров Ю.А., Матвеев А.Н. Методика решения задач оптики/ Под ред. А.Н.Матвеева − М.: Изд-во Моск. унта, 1981, раздел V.132ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧГлава 6СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПРИБОРЫС ПРОСТРАНСТВЕННЫМ РАЗДЕЛЕНИЕМ СПЕКТРА6.1. Теоретическое введениеИзучение атомов и молекул, анализ свечения различных веществ требуют знания их спектров испускания или поглощения. Вэкспериментах разложение сложного излучения в спектр осуществляется с помощью спектральных приборов, действие которых может быть основано на разных физических принципах.
Основнойчастью спектрального прибора является диспергирующий элемент,который осуществляет пространственное разделение излученияразных длин волн.Спектральные приборы подразделяют на 3 группы.1) В призменных спектральных приборах используется зависимость показателя преломления от длины волны (дисперсия).2) Диспергирующим элементом дифракционных спектральныхприборов служит дифракционная решетка.3) В интерференционных приборах с высокой разрешающейсилой используется многолучевая интерференция.Принципиальная схема спектрального прибора представленана рис.
6.1. Источник излучения L через осветительную систему (внашем случае это линза О1) освещает узкую входную щель S, находящуюся в фокальной плоскости объектива О2 (называемого коллиматорным). Параллельный пучок света падает на диспергирующий элемент D. С помощью объектива О3 (называемого камерным)получают монохроматические изображения щели в его фокальнойплоскости Р.Рис.6.1. Принципиальная схема спектрального прибораГл. 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
