А.В. Быков, И.В. Митин, А.М. Салецкий - Оптика. Методика решения задач (1120536), страница 20
Текст из файла (страница 20)
7. Оптические явления на границе раздела диэлектриковpотличаются на π, а фазы E10p и E00отличаются на π, если0 ≤ θ1 < θБр ,исовпадают,еслиθБр < θ1 ≤ π 2 .Уголθ1 = arctg( n2 n1 ) ≡ θБр ( θ1 + θ2 = π 2 ) называют углом Брюстераили углом полной поляризации отраженного света. При паденииволны на границу раздела под этим углом р-компонента волныE1p (r , t ) не отражается и, кроме того, θ1 + θ2 = π 2 . Так, для границы "воздух – стекло" θБр ≈ 56° (рис.
7.3).s, pЕсли n1 > n2 (рис. 7.4), то на границе сред фазы амплитуд E10⎛n ⎞s, ps, а также E10s и E00совпадают, если θ1 ≤ θкр = arcsin ⎜ 2 ⎟ ,и E20⎝ n1 ⎠тогда как фазы комплексных амплитуд E10p и E00p совпадают, еслиθ1 ≤ θБр , и отличаются на π, если θБр < θ1 ≤ θкр .Посколькуk2 z = k22 − k22x =то при θ1 > θкр :ω 22n2 − ( n1 ⋅ sinθ1 ) ,c(7.20)n1 ⋅ sinθ1 > n2 ,ω( n1 ⋅ sinθ1 )2 − n22 = ± ik2′′z ,cи уравнение преломленной волны с волновымk 2 = k1xe x − ik2′′z e z имеет вид:i ωt − k1x x )′′E r, t = E e − k2 z z e (.k2 z = ± i2( )20(7.20а)вектором(7.21)(Знак «+» в формуле (7.21) отброшен по физическим соображениям.)Таким образом, при полном внутреннем отражении преломленная волна E2 ( r, t ) – это плоская неоднородная волна (7.21), бегущая вдоль оси х с фазовой скоростью υ2 x = ω k1x .
Амплитудаэтой волны экспоненциально затухает вдоль оси z. Глубина Δz проникновения света в среду с n2 < n1 , соответствующая уменьшениюамплитуды в е раз:160ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧΔz =1=k2′′z ωc( n1 ⋅ sinθ1 )2− n22.(7.22)В соответствии с формулами (7.8) и (7.10) при полном внутреннем отражении:iϕk + ik2′′z=e s ,(7.23)rs = 1zk1z − ik2′′zk1zk ′′+ i 2zεε2iϕ(7.24)rp = 1=e p ,k1zk ′′− i 2zε1ε2т.е. при любом азимуте поляризации α1 падающей волны:rs = rp = 1 .Однако, согласно (7.23) и (7.24), между отраженной и падающейволнами на границе возникает сдвиг по фазе (см.
рис. 7.4):ϕk ′′tg s = 2 z =2 k1z( n1 ⋅ sinθ1 )2 − n22n1 ⋅ cosθ1,(7.25)n1 ( n1 ⋅ sinθ1 ) − n22ϕε.(7.26)tg= 1 tg s =2 ε22n22 ⋅ cosθ1Для определения коэффициентов отражения R и преломленияT по энергии при прохождении света через границу раздела двухсред поступим следующим образом: выберем на этой границе единичную площадку и сравним энергии падающей, преломленной иотраженной волн в пределах этой площадки.По закону сохранения энергии для нормальных компонент вектора Пойнтинга S = [ E ,H ] справедливо соотношение:2ϕpS1n = S0n + S2 n .Так как интенсивность света I равна среднему по времени значению вектора Пойнтинга, то:I1 ⋅ cosθ1 = I 0 ⋅ cosθ1 + I 2 ⋅ cosθ2 ,илиI1 = I 0 + I 2 ⋅cosθ2.cosθ1(7.27)Гл.
7. Оптические явления на границе раздела диэлектриков161По определению, коэффициенты отражения R и преломления Tравны отношению энергии соответственно отраженной и преломленной волн, покидающих площадку на границе раздела, к энергииволны, падающей на эту площадку:SIR = n0 = 0 ,(7.28)Sn1 I1SI ⋅ cosθ2.(7.29)T = n2 = 2Sn1 I1 ⋅ cosθ1Как показано в задаче 7.2.2, коэффициенты отражения R ипропускания Т (по энергии) находятся по формулам:SR = n0 = r 2(7.30)S n1иSn ⋅ cosθ2 2T = n2 = 2⋅t .(7.31)S n1 n1 ⋅ cosθ1При этомI0= r2 = R(7.32)I1иI2cosθ1 n2 2=T ⋅= ⋅t .(7.33)I1cosθ2 n1Подставляя формулы Френеля для s- и p-компонент в формулы(7.30) и (7.31), можно убедиться в справедливости соотношения:R +T =1.В соответствии с определением степени поляризации Δ , дляотраженного светаΔ0 =I 0s − I 0pI 0s + I 0pа для преломленного –Δ2 =I 2s − I 2pI 2s + I 2p((=rs2 ⋅ I1s − rp2 ⋅ I1prs2 ⋅ I1s + rp2 ⋅ I1p)),(7.34)n2 2 s 2 p⋅ ts ⋅ I1 − t p ⋅ I1ts2 ⋅ I1s − t 2p ⋅ I pn1== 2 s 2 1p .
(7.35)n2 2 s 2 pts ⋅ I1 − t p ⋅ I1⋅ ts ⋅ I1 − t p ⋅ I1n1162(ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЕслиI1s=I1pна)границуразделападаетестественныйсвет= I1 2 , то:Δ0 =rs2 − rp2rs2 + rp2Δ 2 ==ts2 − t 2pts2 + t 2p,(7.36).(7.37)7.2. Задачи с решениямиЗадача 7.2.1. Исходя непосредственно из граничных условийдля E и H на границе двух диэлектриков найти коэффициент отражения R и коэффициент пропускания Т при нормальном падениисвета.РешениеПусть плоская линейно – поляризованная волна E1 падаетнормально на плоскую границу раздела двух сред с показателямипреломления n1 и n2 (рис.7.5).
Интенсивность этойволны:ε ε E2 cε E2I1 = 0 1 10 ⋅ = n1 0 10 c .2n12Так как (в силу граничныхусловий) должно выполняться:E1x = E2 x ,то если бы существовалаРис. 7.5. Схема расположения векторовтолько преломленная волнаk1, k2, k0 и амплитуд электрического поляE2 , интенсивность света вов падающей, отраженной и преломленнойволнахвторойсреде(приE20 = E10 ) была бы равнаnI 2 = 2 I1 > I1 ,n1163Гл. 7. Оптические явления на границе раздела диэлектриковчто противоречит закону сохранения энергии. Однако все становится на свои места, если часть энергии падающей волны уноситсяотраженной волной E0 ( k 0 = −k1 ), амплитуда которой E0 = − rE1 , аотражательная способность r ( 0 ≤ r ≤ 1 ) определяется из условияэнергетического баланса:I1 − I 0 = I 2 ,или()n1 1 − r 2 = n2 (1 − r ) ,откудаr=2n1 − n2.n1 + n2(7.38)С учетом (7.28):2⎛n −n ⎞IR ≡ 0 = r2 = ⎜ 1 2 ⎟ ,I1⎝ n1 + n2 ⎠T =1− R =4n1n2( n2 + n2 )2(7.39).(7.40)В частности, для границы «воздух–вода» ( n1 = 1 и n2 = 1,33 )R = 0,02 и T = 0 ,98 , а для границы «воздух–стекло» ( n2 = 1,5 )R = 0 ,04 и T = 0 ,96 .Замечание 1.
При нормальном падении света на границу раздела двух диэлектриков коэффициент отражения R не зависит отнаправления перехода границы.Замечание 2. Формула (7.32) может быть получена непосредственно из (7.12) или (7.14), если положить θ1 = θ2 = 0 .2⎛n −n ⎞IОтвет: R ≡ 0 = r 2 = ⎜ 1 2 ⎟ ,I1⎝ n1 + n2 ⎠4n1n2T = 1− R =.( n2 + n2 )2Задача 7.2.2. Получить формулы Френеля, используя так называемый "энергетический" подход.164ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧРешениеЕсли на границу двух прозрачных сред падает плоская монохроматическая световая волна, то в соответствии с законом сохранения энергии:S1 cos θ1 ⋅ σ − S0 cos θ0 ⋅ σ = S2 cos θ2 ⋅ σ ,где S=[Е,Н] − вектор Пойнтинга, σ − площадь участка границы(рис.7.6).ε1ε2Рис. 7.6. Отражение и преломление света на границераздела двух сред с проницаемостями ε1 < ε 2Поскольку для электрической и магнитной компонент волны воднородной изотропной диэлектрической средеnE ∼ H,модуль вектора ПойнтингаS ∼ nE2илиS ∼ n−1H2,а следовательно, для модуля нормальной (по отношению к границе) компоненты этого вектора:Sz ∼ kzE2,илиSz − uzH2,где u = c n − лучевая скорость волны (не путать с фазовой!).Как показано в Задаче 7.2.1, в случае n1 < n2 при нормальномпадении (θ1=0):E1 − E0 = E2 ,Гл.
7. Оптические явления на границе раздела диэлектриков165H1 + H 0 = H 2 ,поэтому для коэффициентов Френеля r и t получаем:n −nrE = 1 2 ,n1 + n22n1tE =,n1 + n21 n − 1 n2,rH = 11 n1 + 1 n22 n1tH =.1 n1 + 1 n2При этом учитывалось, что в случае θ1=0 t = 1 − r .Если θ1 ≠ 0 , то для линейно поляризованной s-волны (Е ⎜⎜0y):k − k2 zrs = 1z,k1z + k2 z2k1zts =,k1z + k2 zа для р-волны (Н ⎜⎜0y):u − u2 zrp = 1z,u1z + u2 z2u1ztp =.u1z + u2 zЗадача 7.2.3.
Найти азимут α0 отраженной волны и азимут α2преломленной волны, если азимут падающей волны α1, а угол падения и угол преломления равны соответственно θ1 и θ2.РешениеПосколькуEsEsEstg α1 = 1p , tg α0 = 0p , tg α 2 = 2p ,E1E0E2то, с учетом формул Френеля (7.16)–(7.19), получаем:cos ( θ1 − θ2 )r Estg α 0 = s 1p = −tg α1 ,cos ( θ1 + θ2 )rp E1166ОПТИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧtg α 2 =ts E1st p E1p= cos ( θ1 − θ2 ) ⋅ tg α1 .Так как cos ( θ1 + θ2 ) < 1 , тоtg α 2 < tg α1 < tg α 0 ,а, следовательно, при отражении азимут поляризации увеличивается, тогда как при преломлении – уменьшается.cos ( θ1 − θ2 )tg α1 ,Ответ: tg α0 = −cos ( θ1 + θ2 )tg α2 = cos ( θ1 − θ2 ) ⋅ tg α1Задача 7.2.4. Естественный свет с интенсивностью I падаетпод углом Брюстера из воздуха на поверхность стекла с показателем преломления n = 1,5 .
Найти: а) коэффициент отражения R света; б) степень поляризации Δ преломленного света.РешениеТак как естественный свет можно рассматривать как суперпозицию двух некогерентных волн одинаковой интенсивности, плоскости поляризации которых взаимно перпендикулярны, тоIIs = I p = .2а) При θ1 = θБр :π,2cosθ2 = sinθ1 ,ntg θ1 = 2 = n .n1Поэтому в соответствии с (7.14) и (7.12):rp = 0 ,θ1 + θ2 =rs = −n2 − 1.n2 + 1Следовательно, интенсивность отраженного света:Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
