А.В. Быков, И.В. Митин, А.М. Салецкий - Оптика. Методика решения задач (1120536), страница 22
Текст из файла (страница 22)
При n′′ => 0 амплитуда волны экспоненциωально уменьшается в направлении еk′, поэтому n″ иногда называютпоказателем поглощения.Поскольку интенсивность I волны в среде пропорциональнаквадрату ее амплитуды, то в случае n′′ > 0:I = I 0e −αrek ′′ ,(8.8)ωn′′ – коэффициент поглощения, не зависящий от интенссивности световой волны (закон Бугера).В соответствии с (8.3) и (8.4):где α = 2n ′ - in ′′ = ε ′ - iε ′′ ,поэтому( n′ ) 2 =1 ⎛⎞ε′ ⋅ ⎜ 1 + tg 2 δ + 1⎟2 ⎝⎠( n′′ )2 =1 ⎛⎞ε′ ⋅ ⎜ 1 + tg 2 δ − 1⎟ .2 ⎝⎠и179Гл 8. Дисперсия света. Фазовая и групповая скоростиЕсли tg 2 δ << 1 (среда – диэлектрик), то n′ ≈ ε′ и1n′′ =ε′ tgδ ; если tg 2 δ >> 1 (среда – проводник), то2ε′n′ ≈ n′′ =tgδ .2Совокупность явлений, обусловленных зависимостью характеристик среды n′ и n″ от частоты ω световой волны, получила название дисперсии света.Основные закономерности распространения света в среде зачастую удается описать с помощью простой классической модели,в которой среда рассматривается как ансамбль гармонических осцилляторов (модель Лоренца).В рамках этой модели зависимость линейной оптической восприимчивости χ среды от частоты ω имеет вид:ω2pχ ( ω) = ε ( ω ) − 1 =,(8.9)ω02 − ω2 + iΓωгде ω0 и Г– собственная частота и коэффициент затухания энергииколебаний осцилляторов (как правило, Г << ω0), ωp – так называемая плазменная частота:ω2p =N ⋅ e2,ε0 m(8.10)е и m – заряд и масса осцилляторов, N – их концентрация.Для разреженных газов вблизи резонансной частоты( ω − ω0 << ω0 ):n′ ( ω ) = 1 +α ( ω) =ω2p4cω2p4ω0⋅⋅ω0 − ω( ω0 − ω)2 + Γ 2Γ( ω0 − ω)2 + Γ 244,.Графики зависимостей n′(ω) и α(ω) приведены на рис.
8.1.Как видно из рисунка, вне полосы поглощения (ширинойΔω ≈ Γ << ω0 ) производная ∂n ∂ω > 0 – область нормальной дисперсии.180ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЕсли ω << ω0 , то в соответствии с (8.15):ω2p ⎛ ω2 ⎞B ⎞⎛(8.11)⎜1 + 2 ⎟⎟ = A ⎜ 1 + 2 ⎟2⎜2ω0 ⎝ ω0 ⎠⎝ λ ⎠– дисперсионная формула Коши, которая хорошо описывает дисперсию газов в видимой и ИК-областях спектра.Для плотных сред в области прозрачности ( ω − ω0 >> Γ ) закон дисперсии хорошо описывается формулой Лоренца–Лоренца:n −1 ≈n2 − 12n +2=ω2p3⋅1.− ω2Так как,(8.12)ω02согласно(8.10),2N ⋅e, а плотность вещеε0 mства ρ ~ N , то удельная рефракция вещества:⎛ n2 − 1 ⎞ 1(8.13)r =⎜ 2⋅⎜ n + 2 ⎟⎟ ρ⎝⎠не должна зависеть от плотности.В области высоких частот( ω >> ω0 ):ω2p =n2 = 1 −ω2p.(8.14)ω2В случае конденсированныхРис. 8.1.
Зависимости α и n′ от частоты ωλp =сред ( N ≈ 1022 см–3) соответствующая плазменной частотедлинаволны2πc≈ 0,3 мкм (УФ-область спектра), поэтому при λ < 0,1 мкмωpизлучение и вещество взаимодействуют слабо.Для ионизованного газа (плазмы): ω0 = 0 ,me << mion иNe = Nion ,Гл 8. Дисперсия света.
Фазовая и групповая скоростиn2 = 1 −181(ω p )e2.(8.15)ω2Поскольку фазовая скорость (8.7) зависит от показателя преломления n′, то в среде с дисперсией n = n (ω ) :cω=.(8.16)n′ ( ω ) k ′ ( ω )А это значит, что при распространении светового импульса конечной длительности в среде с дисперсией его форма может существенно искажаться.Для узкополосных сигналов в прозрачных средах (n″<<1) вводится понятие групповой скорости:dωu=,(8.17)dkкоторая характеризует скорость движения огибающей волновогопакета (а следовательно, и скорость переноса волной энергии), которая, вообще говоря, отличается от фазовой скорости (см.рис.
8.2). Кроме того, с позиций формализма (8.17) в области аномальной дисперсии ( dn d ω < 0 ) групповая скорость u должна бытьбольше скорости света в вакууме. Однако из-за сильного поглощения света в этой области понятие групповой скорости теряетсмысл.В случае плазмы дисперсионное уравнение, с учетом (8.15) и(8.16), имеет вид:c 2 k 2 = ω2 − ω2p .υ = υ ( ω) =Рис. 8.2. Зависимости нормированных υ и u от частоты ω182ОПТИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЕсли ω < ω p , то проницаемость ε = c 2 k 2 ω 2 < 0 , а следовательно,k = −ik ′′ и волна в плазму не проходит (отражается). В областипрозрачности ( ω > ω p ) фазовая скоростьc>cn(поскольку n < 1 ), а групповая скоростьd ω c2== cn ,u=υdkилиu ⋅ υ = c2 .υ=(8.18)(8.19)Так как в общем случае:тоиилиck = ωn ( ω) ,cdk = d ω ⋅ n ( ω) + ωdn ( ω)1 dk 1 ⎛dn ⎞== ⎜n + ω ⎟,u dω c ⎝dω ⎠1.ω dn1+n dωЕсли закон дисперсии задан в виде: υ = υ ( λ ) , тоdυu =υ−λdλ– формула Рэлея.u=υ(8.20)(8.21)8.2. Задачи с решениямиЗадача 8.2.1.
Определить показатель преломления углекислоты при нормальных условиях. Поляризуемость молекулы СО2 рав-на β = 3,3 ⋅ 10−29 м3.РешениеПоказатель преломления n и диэлектрическая проницаемость εсвязаны соотношением (8.4):Гл 8. Дисперсия света. Фазовая и групповая скорости183n= ε.В свою очередьε =1+ χ ,а диэлектрическая восприимчивость χ пропорциональна концентрации N молекул газа:χ = N ⋅β ,где β – поляризуемость одной молекулы.Таким образом,n = 1 + Nβ .При нормальных условиях концентрация молекул СО2 равнаN = 2,687⋅1025 м–3, поэтомуn = 1 + 2,687 ⋅ 10 25 ⋅ 3,3 ⋅ 10 − 29 = 1,00044 .Ответ: 1,00044.Задача 8.2.2. При нормальных условиях плотность газообразного водорода ρг = 0 ,0000896 г см3 , а его показатель преломленияnг = 1,000138 .
Определить плотность жидкого водорода ρж, еслиего показатель преломления nж = 1,107 .РешениеПоскольку в области прозрачности удельная рефракция вещества практически не зависит от плотности, то в соответствии с(8.13):⎛ nг2 − 1 ⎞ 1 ⎛ nж2 − 1 ⎞ 1.⎜⎜ 2⎟⎟ = ⎜⎜ 2⎟⎟⎝ nг + 2 ⎠ ρг ⎝ nж + 2 ⎠ ρжОтсюда получаем⎛ n 2 + 2 ⎞⎛ nж2 − 1 ⎞ρж = ⎜ г2ρ ,⎜ n − 1 ⎟⎜⎟⎜ n 2 + 2 ⎟⎟ г⎝ г⎠⎝ ж⎠или184ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ((1,000138) + 2) ⋅ ((1,1107 ) − 1) ⋅ 0,0000896 = 0,07 г cмρж =((1,000138) − 1) ((1,1107 ) + 2)22223.Ответ: ρж = 0,07 г/см3.Задача 8.2.3.
Концентрация электронов на Солнце на расстоя-нии r = 0,06 R от границы фотосферы ( R = 6,95 ⋅ 108 м – радиусСолнца) примерно равна N = 2 ⋅ 1014 м–3. Найти максимальную длину волн, которые могут достигать Земли из этой области Солнца.РешениеВ соответствии с (8.15) граница области прозрачности плазмыможет быть найдена из условия:ε ( ω) = 1 −гдеω2p =Ne 2ε0 m–ω2pω2≥0,плазменнаячастота,e = 1,6 ⋅ 10−19 Кл,ε0 = 0 ,885 ⋅ 10−11 Ф м , m = 0,9 ⋅ 10−30 кг.Таким образом,ω ≥ ωp =илиλ≤Ответ: 2,3 м.Ne 2,ε0 m2πc≈ 2 ,3 м.ωpЗадача 8.2.4.
Исследования прохождения плоской электромагнитной волны частотой ν = 8 МГц через плоский однородный слойплазмы с концентрацией свободных электронов N = 1012 м–3 показали, что при увеличении толщины слоя d в ηd = 2 раза энергетический коэффициент пропускания τ изменяется в ητ = 10 раз. Пренебрегая отражением волны на границах, найти толщину d слояплазмы.РешениеГл 8.
Дисперсия света. Фазовая и групповая скорости185В соответствии с законом Бугера (8.8):I ( d ) = I 0 e −αdиI ( ηd d ) = I 0 e −αηd d ,ωn′′ – коэффициент поглощения.сПо условию задачи:I (d )= ητ .I ( ηd d )где α = 2При концентрации свободных электронов N = 1012 м–3 плазменная частота равна:eωp =N = 56,7 N = 56 ,7 ⋅ 106 с–1.ε0 mТак как частота волны ω = 2πv = 50 ,3 ⋅ 106 с–1, то диэлектрическая проницаемость плазмы на этой частоте, согласно (8.15), равнаε =1−следовательно, n′ = 0, n′′ =Таким образом,d=Ответ: d ≈ 13,5 м.ω2pω2= −0, 272 < 0 ,εlnηrln10=≈ 13,5 м.ηd α 2 ω n′′cЗадача 8.2.5.
Импульсное излучение от одного из пульсаров начастоте v1 = 80 МГц достигает Земли на Δt = 7 с позже, чем импульс на частоте v2 = 2000 МГц. Оценить расстояние L до пульсара, если средняя концентрация электронов в межзвездном пространстве N ≈ 0,05 см–3.РешениеВ соответствии с (8.18) в области прозрачности плазмы( ω > ω p = 56,7 N ≈ 2,0 кГц) групповая скорость излучения в меж-звездном пространстве равна:186ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧu = c ⋅ n ( ω) ,()2где n 2 = 1 − v p v .Следовательно, задержка Δt между импульсами:⎛ 1 1 ⎞ L⎛ 1 1 ⎞Δt = t1 − t2 = L ⎜ − ⎟ = ⎜ − ⎟ ,⎝ u1 u2 ⎠ c ⎝ n1 n2 ⎠а расстояние до пульсара:c ⋅ ΔtL=.1 1−n1 n2Так как v1 ,v2 >> v p , тоn ≈1−v 2p2v 2,v 2p1≈1+ 2 ,n2vиL=c ⋅ Δt 2v12 v22⋅≈ 7 ⋅ 1018 м ≈ 700 св.
лет.v 2p v22 − v12Ответ: L ≈ 7 ⋅ 1018 м ≈ 700 св. лет.Задача 8.2.6. Найти зависимости фазовой υ(λ) и групповой u(λ)скоростей от длины волны для следующих законов дисперсии:а) ω2 = gk (для гравитационных поверхностных волн на глубокой воде, g – ускорение свободного падения);σб) ω2 = k 3 (для капиллярных волн, σ – коэффициент поверхρностного натяжения, ρ – плотность жидкости);= 2k (для волн де Бройля, ħ – постоянная Планка, т –в) ω =2mмасса частицы).Решениеωggλ=а) υ = =;kk2π11g1 g 1 gu=====λ;d k d ω 2ω g 2 gk 2 k 2 2π187Гл 8. Дисперсия света. Фазовая и групповая скоростит.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
