А.В. Быков, И.В. Митин, А.М. Салецкий - Оптика. Методика решения задач (1120536), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Спектральные приборы с пространственным разделением спектра141РешениеИз рис.6.5 видно, что угловые размеры Δϕm дифракционныхмаксимумов связаны соотношением:Δϕm3.Δϕm1 = Δϕm 2 =2λλТак как Δϕm =, а ширина решетки L = Nd , то≈Ndcosϕm NdN1d1 = N 2 d 2 = 2 N3d3 ,(6.5)илиL1 = L2 = 2 L3 .В свою очередь, угловые расстояния δϕm между двумя близкими линиями λ1 и λ 2 связаны соотношением (см. рис.6.5):δϕm1 = 2δϕm 2 = δϕm3 .mΔλmΔλ, то≈dcosϕmddd1 = 2 = d3 .2Используя соотношение (6.5) из (6.6), получаем:N1 = 2 N 2 = 2 N3Поскольку Dϕ = m d , тоТак как δϕm = DϕΔλ =(6.6)Dϕ1 = 2 Dϕ2 = Dϕ3 .Так как разрешающая способность дифракционной решеткиравна R = Nm , тоR1 = 2 R2 = 2 R3 .Ответ:1) N1 = 2 N 2 = 2 N3 ; 2) d1 = d 2 2 = d3 ; 3) L1 = L2 = 2 L3 ; 4)Dϕ1 = 2 Dϕ2 = Dϕ3 ; 5) R1 = 2 R2 = 2 R3 .Задача 6.2.4.
Дифракционная решетка содержит n = 200 штрихов на миллиметр длины. Найти зависимость угловой дисперсиирешетки от длины волны в первом порядке дифракции, если светпадает на решетку: а) нормально; б) под углом θ=45° к нормали.142ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧϕmРешениеПри наклонном падении света на решетку угловое положениеглавных дифракционных максимумов находится из условия:d ( sinϕm − sinθ ) = mλ ,(6.7)т.е. разность хода между лучами от соседних щелей кратна целомучислу длин волн. По условию задачи период решетки равен1d = = 5 мкм.nПри постоянных d и m из (6.7) следует, чтоd ⋅ δ ( sinϕm − sinθ ) = m ⋅ δλ ,откуда для угловой дисперсии получаем:δϕmDϕ = m =.δλdcosϕmТак как2mλ ⎞⎛2cosϕm = 1 − sin ϕm = 1 − ⎜ sinθ +⎟ ,d ⎠⎝тоm.Dϕ ( θ ) =2λm⎛⎞d 1 − ⎜ sinθ +⎟d⎝⎠При θ = 45°1.Dϕ 45D =2⎛ 2 λ⎞+ ⎟d 1− ⎜⎝ 2 d⎠( )⎛ mλ⎞При нормальном падении в приближении ⎜<< 1⎟⎝ d⎠2m ⎛ 1 ⎛ mλ ⎞ ⎞Dϕ ( 0 ) ≈ ⋅ ⎜1 + ⋅ ⎜⎟ ⎟.d ⎜⎝ 2 ⎝ d ⎠ ⎟⎠Для видимого диапазона (λ=0,5 мкм) в первом порядке mλ d ≈ 0 ,1 .Следовательно,mDϕ ( 0 ) ≈ = mn = 200 мм–1,dГл.
6. Спектральные приборы с пространственным разделением спектра143т.е. угловая дисперсия не зависит от длины волны.Ответ:а) Dϕ ( 0 ) ≈ 200 мм-1( )б) Dϕ 45D =1⎛ 2 λ⎞d 1− ⎜+ ⎟⎝ 2 d⎠2.Задача 6.2.5. Экран с щелью находится в фокальной плоскостисобирающей линзы объектива с фокусным расстоянием F. За объективом расположена дифракционная решетка с периодом d и числом штрихов N.
При какой ширине b щели будет полностью использована разрешающая способность решетки для длин волнвблизи λ?РешениеПри конечном значении ширины щели b свет от различных тоbчек щели падает на решетку под углами θ в диапазоне δθ ≤ .FПри наклонном падении света на решетку условие для главных дифракционных максимумов имеет вид:d ( sinϕm − sinθ ) = mλ ,поэтому диапазон изменения δϕm углового положения ϕm максимума m-го порядка и δθ связаны соотношением:cosϕm ⋅ δϕm − cosθ ⋅ δθ = 0 ,илиcosθcosθ bδϕm =⋅ δθ =⋅ .cosϕmcosϕm FС другой стороны, угловой размер максимума m-го порядка(см.
задачу 6.2.1)λΔϕm =Ndcosϕmи не зависит от угла падения.Можно считать, что разрешающая способность решетки использована полностью, если δϕm ≤ Δϕm . Полагая, что cosθ ≈ 1 , получимλFλF λFb≤==,Ndcosθ NdL144ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧгде L = Nd – ширина дифракционной решетки. В спектроскопиинайденное значение b принято называть нормальной шириной щели.λFОтвет: b ≤.LЗадача 6.2.6. Используя формулу Эйри (6.3) для интерферометра Фабри–Перо, получить:1) условие максимума;2) угловой радиус;3) угловую ширину интерференционных колец;4) угловую дисперсию;5) разрешающую способность;6) свободную область дисперсии интерферометра.РешениеСогласно формуле Эйри, интенсивность монохроматическогоизлучения, прошедшего через интерферометр Фабри–Перо (ИФП),равна:I0,I=4R2δ⋅ sin1+2(1 − R )2где R – коэффициент отражения (по интенсивности) каждого иззеркал интерферометра; δ – разность фаз между соседними лучами.
В свою очередь,δ = kΔ =2π4π ⋅ h⋅ 2hcosθ =cosθ ,λλ(6.8)где h – расстояние между зеркалами (или база) ИФП, θ – угол падения света на зеркала ИФП.Интенсивность максимальна и равна I 0 , если sin( δ 2) = 0 , т.е.когда ( 2πh λ) cosθ = mπ . Отсюда получаем условие для направлений θm на интерференционные максимумы:2h ⋅ cosθm = mλ ,(6.9)где m = 1, 2, 3,.. – порядок интерференции.При выполнении условия sin 2 ( δ 2) = 1 значение интенсивности минимально и равноГл. 6. Спектральные приборы с пространственным разделением спектраI min = I 0 ⋅145(1 − R )2 .(1 + R )2В реальных интерферометрах коэффициент отражения зеркалR близок к единице, поэтому I min → 0 , а интерференционная картина от монохроматического источника представляет собой совокупность концентрических светлых и темных колец.
Расположенное в центре светлое кольцо (или светлое пятно) соответствуетмаксимальному порядку интерференции mmax , равному целой части отношения 2h λ . Все другие кольца соответствуют меньшимпорядкам: ( mmax − 1) для второго кольца, ( mmax − 2 ) – для третьего, и т.д. Таким образом, в соответствии с формулой (6.9) угловойрадиус θn n -го светлого кольца удовлетворяет условию:⎛ (m− n + 1) λ ⎞θn = arccos ⎜ max(6.10)⎟.2h⎝⎠Говоря о ширине колец, подразумевают ширину области между находящимися по разные стороны от максимума точками, в которых интенсивность уменьшается в два раза. Из формулы (6.3)следует, что для границ этой области справедливо соотношение:4Rδ⋅ sin 2 = 1 .22(1 − R )Записав выражение для разности фаз δ в этих точках в виде:εεδ = δ m ± = 2πm ± ,22получим соотношение для дополнительной разности фаз ε :( δ ± ε 2 ) (1 − R )sin m=,22 R⎛ ε ⎞ (1 − R )sin ⎜ ± ⎟ =.2 R⎝ 4⎠Если R ≈ 1 , тоε=Угловая ширина d θmсоотношения (6.8):2 (1 − R ).Rмаксимума m -го порядка находится из146ОПТИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ4π ⋅ hsinθm ⋅ d θm ,λε⋅λd θm =.4π ⋅ h sin θmТак как изменению разности фаз на 2π соответствует изменение порядка интерференции на единицу, то для разности фаз, равной ε << 2π , изменение порядка δm составляетε (1 − R )δm ==.(6.11)2π π RЭта формула будет в дальнейшем использована для нахождения спектральных характеристик ИФП. Величину, обратную δm ,называют резкостью полос F:1π R=.(6.12)F=δm (1 − R )ε = dδ =Для анализа спектральных характеристик ИФП поступим также, как в случае с дифракционной решеткой. Запишем условие образования интерференционных максимумов:2h ⋅ cos θm = mλ .(6.9)Взяв дифференциал от обеих частей этого соотношения по переменным θm и λ , для угловой дисперсии ИФП Dθ получим:2h ⋅ sin θm ⋅ d θm = m ⋅ d λ ,d θmm=.(6.13)d λ 2h sin θmКак видно из формулы (6.13), угловая дисперсия максимальнав центре интерференционной картины ( Dθ → ∞ , если θm → 0 ) .Dθ =Угловую ширину интерференционного максимума Δθm найдем,взяв дифференциал от обеих частей соотношения (6.9) по переменным θm и m :2h ⋅ sin θm ⋅ Δθm = δm ⋅ λС учетом (6.11) получаемλ ⋅ (1 − R )ε⋅λ.Δθm ==4π ⋅ h sin θm 2π ⋅ h sin θm ⋅ RГл.
6. Спектральные приборы с пространственным разделением спектра147Чтобы оценить разрешающую способность R ИФП, возьмемдифференциал от обеих частей соотношения (6.9) по переменнымλ и m:0 = m ⋅ δλ + λ ⋅ δm ,где δm по-прежнему определяется формулой (6.11), а δλ — диапазон длин волн, разрешаемый интерферометром. Отсюда получаем:λλ⋅mm=== mF ,(6.14)R=δλ λ ⋅ δm δmгде F – резкость полос.Формула (6.14) имеет сходство с формулой для разрешающейспособности дифракционной решетки: Rдр = mN . Напомним, чтодля повышения разрешающей способности решетки необходимоувеличить общее число штрихов N (обычно работа ведется в первом порядке m = 1 ). Для ИФП R можно повысить, увеличивая тол2h ⎞⎛щину интерферометра ⎜ mmax =⎟ и(или) коэффициент отражеλ ⎠⎝⎛π R ⎞ния зеркал ⎜⎜ F =⎟.(1 − R ) ⎟⎠⎝Одной из важных характеристик ИФП как спектрального прибора является область свободной дисперсии, т.е.
диапазон длинволн Δλ , для которого не происходит перекрытия соседних порядков интерференции. Вывод формулы аналогичен выводу для случая дифракционной решетки:0 = mΔλ + λdm ; dm = −1 ;m( λ + Δλ ) = ( m + 1)λ ,λλλ2Δλ = ≈=.m mmax 2hОтвет:1) Направления θm на интерференционные максимумы:2h ⋅ cosθm = mλ ,2) угловой радиус θn n -го светлого кольца равен⎛ (m− n + 1) λ ⎞θn = arccos ⎜ max⎟,2h⎝⎠(6.15)148ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ3) Угловая ширина дифракционного максимума:λ ⋅ (1 − R )Δθm =,2π ⋅ h sin θm ⋅ Rdθm,4) Угловая дисперсия Dθ = m =d λ d sin θmλ5) Разрешающая способность R == mF ,δλλ λ26) Свободная область дисперсии Δλ = =.m 2hЗадача 6.2.7. Излучение от точечного монохроматического источника света с длиной волны λ =500 нм падает на ИФП с базойh =1 мм.
Интерференционную картину наблюдают в фокальнойплоскости объектива с фокусным расстоянием F =80 мм. Найтирадиус r3 третьего светлого кольца.РешениеМаксимальный порядок интерференции mmax равен целой части отношения 2h λ . Так как2h 2 ⋅ 0,001== 4 ⋅ 1039−λ 500 ⋅ 10– целое число, то в центре интерференционной картины будетсветлое пятно порядка mmax = 4 ⋅ 103 . Считая это пятно первымсветлым кольцом, для n -го кольца получимmn = mmax − ( n − 1) .Угловой радиус θn n -го светлого кольца найдем по формуле(6.10):⎛ (m− n + 1) λ ⎞⎛ ( n − 1) λ ⎞θn = arccos ⎜ max⎟ = arccos ⎜ 1 −⎟.2h2h ⎠⎝⎝⎠При условии λ << h радиус rn n -го кольца равен:rn = F ⋅ tgθn = F ⋅1cos 2 θn−1 ≈≈ F ⋅ 1+2 ( n − 1) λ2h−1 = F ⋅( n − 1) λ .hГл.
6. Спектральные приборы с пространственным разделением спектра149Подставляя исходные данные, для радиуса третьего кольца получаем:2 ⋅ 500 ⋅ 10−9мм = 80 ⋅ 10−3 мм ≈ 2,5 мм.0,001Ответ: r3 ≈ 2,5 мм.r3 = 80 ⋅Задача 6.2.8. Определить параметры ИФП, обеспечивающеговозможность исследования участка спектра шириной Δλ =0,2 нмвблизи длины волны λ ≈ 500 нм с разрешением не хужеδλ =0,001нм.РешениеОбласть свободной дисперсии ИФП должна быть больше ширины исследуемого спектра (в этом случае для всех длин волн максимальный порядок интерференции будет одним и тем же). Используя формулу (6.15), для базы интерферометра получим:λ2600 ⋅ 600=нм = 0,9 мм .2Δλ2 ⋅ 0, 2Разрешающая способность ИФП должна быть не меньшеλ600R≥== 6 ⋅ 105 .δλ 0,001Согласно формулам (6.14) и (6.12),2h π RλπR = mF =⋅≈⋅,λ (1 − R ) Δλ (1 − R )h≤откуда для коэффициента отражения зеркал получаем:λπλ;⋅≥Δλ (1 − R ) δλδλ⋅ π ≥1− R ;Δλδλ0,001R ≥1−⋅ π ≈1−⋅ 3,14 ≈ 0,984 .Δλ0, 2Ответ: Параметры ИФП: h = 0,9 мм , R ≈ 0,984 .Задача 6.2.9.
Интерферометр Фабри–Перо используется в качестве оптического резонатора лазера, излучающего на длине вол-150ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧны λ ≈ 632 нм. Зеркала ИФП с коэффициентами отраженияR1 = 99,8% и R1 = 98% расположены на расстоянии L = 1м . Определить частотный интервал Δν (в мегагерцах) между двумя соседними продольными модами излучения, а также ширину δν (в мегагерцах) каждой моды.РешениеВ случае оптического резонатора лазера условие (6.9) для нахождения интерференционных максимумов принимает вид:λL=m2(на длине резонатора должно укладываться целое число полуволн).В этом случае в резонаторе формируются стоячие волны, называемые продольными модами, причем2Lλi =,(6.16)miгде mi – порядок интерференции для i -й моды, mi ≈ 2 L λ изл .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
