А.В. Быков, И.В. Митин, А.М. Салецкий - Оптика. Методика решения задач (1120536), страница 15
Текст из файла (страница 15)
5.8).Принято считать, что амплитуда поля в центре картины изменится мало, если разность хода ds0 существенно меньше длиныволны λ. Так, например, если ds0 = λ 8 , то справедливо соотношение b ≤ Lλ = R1 , где R1 – радиус первой зоны Френеля.Для произвольного угла дифракции ϕ разность хода Δs0 ( ϕ )между крайними лучами при наличии линзы равнаΔs0 ( ϕ ) = b ⋅ sinϕ .118ОПТИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧРис. 5.8. Формирование дифракционной картины от щели в дальней зонеРис. 5.9. К расчету разности хода ΔS (ϕ)в отсутствие линзыРассчитаем разность хода Δs ( ϕ ) в отсутствие линзы (рис. 5.9).Так как22b⎛b⎞⎛b⎞⎛π⎞2= S02 + ⎜ ⎟ ± 2S0 ⋅ cos ⎜ − ϕ ⎟ = S02 + ⎜ ⎟ ± S0b ⋅ sin ϕS1,22⎝2⎠⎝2⎠⎝2⎠иS12 − S 22 = ( S1 − S 2 )( S1 + S2 ) = 2 S0b ⋅ sin ϕ ,тоΔs ( ϕ ) = S1 − S2 =С другой стороны,S1,2 = S0поэтому2 S0b ⋅ sin ϕ .S1 + S22⎛ 1 ⎛ b ⎞2⎞⎛ b ⎞bb1+ ⎜sin ϕ ⎟ ,⎟ ± sin ϕ ≈ S0 ⎜1 + ⎜⎟ ±2 S0⎜ 2 ⎝ 2 S0 ⎠⎟S0⎝ 2 S0 ⎠⎝⎠S1 + S2 = 2 S0 +иΔs ( ϕ ) =b24 S0⎛b2 ⎞bsin1⋅ϕ≈−⋅ b ⋅ sin ϕ .⎜⎜ 8S 2 ⎟⎟2S0 + b 2 (4S0 )0 ⎠⎝2 S0Следовательно, Δs ( ϕ ) ≈ Δs0 ( ϕ ) , еслиb28S02≈b28 L2автоматически выполняется при b ≤ Lλ = R1 .<< 1 .
Это условие119Гл. 5. Дифракция ФраунгофераСледовательно, приближение Фраунгофера применимо, еслидля данного L характерный размер объекта меньше ширины первойзоны Френеля.При наличии линзы дифракционная картина локализована вфокальной плоскости. В этом случае при падении плоской монохроматической волны на препятствие радиус первой зоны Френелябесконечно большой, и при любых размерах препятствия «работает» приближение Фраунгофера.Таким образом, искомое расстояние L определяется из условия:b2.λНапример, при дифракции света с длиной волны λ = 0,5 мкм наобъекте с характерным размером b = 100 мкм, экран следует устанавливать на расстоянии не менее L = 2 см, а при b = 1 мм расстояние L от препятствия до экрана должно быть не менее 2 метров.L>Замечание. При отсутствии линзы распределение поля на экране может быть оценено с помощью спирали Корню (рис.
5.10).Положение точки на спирали задается так называемым параметромспирали ω, значение которого равно длине дуги спирали, отсчитываемой от начала координат (точка О на спирали). Можно показать(см. гл. 4), что если ширина щели равна радиусу первой зоны Френеля, то вектор, характеризующий амплитуду поля в центре картины, соединяет точки ω1 = −1 2 и ω2 = 1 2 (рис. 5.11а), приэтом амплитуда поля (длина вектора) примерно равна амплитуде вотсутствие препятствия (длине вектора O-O+ , соединяющего фокусы спирали).Первому дифракционному минимуму соответствует вектор,соединяющий точки ω2 = 1 2 и ω3 = 3 2 , эти точки располагаются на соседних витках скручивающейся части спирали (рис.5.11б).
Длина вектора примерно на порядок меньше длины векто-ра O − O + и соответственно, интенсивность меньше на два порядка,хотя длина участка спирали такая же ( ω3 − ω2 = ω2 − ω1 = 2 ).120ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧРис. 5.10. Спираль КорнюабвРис. 5.11. Векторные диаграммы, характеризующие амплитуды поля в центре дифракционной картины (а), в первом (б) и втором (в) дифракционном минимуме вслучае, когда ширина щели равна радиусу первой зоны ФренеляВторому дифракционному минимуму соответствует вектор междуточками ω3 = 3 2 и ω4 = 5 2 , эти точки располагаются черезодин виток на скручивающейся части спирали (рис.
5.11в). Длинаэтого вектора значительно меньше длины вектора O − O + , хотядлина участка спирали по-прежнему такая же ( ω4 − ω3 = 2 ). Уме-121Гл. 5. Дифракция Фраунгоферастно обратить внимание на сходство векторных диаграмм, полученных с помощью спирали Корню и в ходе решения задачи 5.2.1.b2Ответ: L >.λЗадача 5.2.3. Плоская монохроматическая волна с длинойλ = 0,6 мкм интенсивностью I = 10 мВт/см2 падает нормально наузкую длинную щель шириной b = 60 мкм. Оценить интенсивностьв центре дифракционной картины на экране, который находится защелью на расстоянии L = 60 см.РешениеПоскольку при заданных в условии параметрах число открытых зон Френеляb2= 0,01λ⋅Lмного меньше 1, то справедливо приближение Фраунгофера.
Угловой радиус центрального максимума (нулевого порядка) равенΔϕ ≈ λ b ,поэтому ширина этого максимума на экране равна:m=Δx = 2 L ⋅ Δϕ .В единицу времени через щель (в расчете на единицу длиныщели) свет переносит энергиюW = b⋅I .0Так как более 90 процентов энергии сосредоточено в центральноммаксимуме, то в первом приближенииW≈I экр2⋅ Δx = I экр ⋅ L ⋅ Δϕ = I экр ⋅Lλ,bгде I экр – интенсивность в центре экрана. ( I экр 2 – «среднее» значение интенсивности в пределах максимума)Таким образом, для оценки интенсивности в центре экранаполучаем:b2I экр = I 0 ⋅= m ⋅ I0 .LλИз полученной формулы следует, что если ширина щелиравна радиусу первой зоны Френеля, то интенсивность в центре122ОПТИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧэкрана равна интенсивности падающей волны. Этот вывод согласуется с результатами, полученными при решении задачи 5.2.2.b2Ответ: I экр = I 0 ⋅= m ⋅ I 0 = 0,1 мВт/см 2 .LλЗадача 5.2.4. Оценить максимальное расстояние, с которогоеще могут быть видны раздельно светящиеся фары автомобиля.РешениеГлаз человека можно рассматривать как оптическую систему,состоящую из круглой диафрагмы (зрачка диаметром d от 2 до8 мм), собирающей линзы (хрусталика с фокусным расстоянием до2 см) и экрана для наблюдения (сетчатки глаза). Изображение удаленного объекта формируется вблизи фокальной плоскости хрусталика. В приближении геометрической оптики угловые размерыобъекта и изображения одинаковы и равны:DΔθ = ,Lгде D– поперечный размер объекта, L – расстояние от объекта доглаза.
Вследствие дифракции на зрачке угловой размер изображения увеличивается.Так как в соответствии с (5.7) угловой радиус центральногодифракционного максимума равенΔψ = 1, 22λ,dто для наблюдателя две светящиеся некогерентные точки будутсливаться в одну, еслиΔθ ≤ Δψ .Таким образом, фары автомобиля будут видны раздельно срасстоянияDdL ≤=.1, 22λНапример, при d=3 мм, D =1 м и λ =0,6 мкм максимальное расстояние L ≈ 4 км.DdОтвет: L ≤=1, 22λГл.
5. Дифракция Фраунгофера123Задача 5.2.5. Дифракционное изображение удаленного точечного источника получено в фокальной плоскости объектива. Оценить, как изменится освещенность в центре изображения, еслидиаметр входной диафрагмы увеличить в два раза.РешениеТак как в центр изображения излучение от всех вторичных источников приходит в фазе, то амплитуда поля в этой точке пропорциональна площади волновой поверхности, открываемой диафрагмой. При увеличении диаметра входной диафрагмы в два разаплощадь возрастает в четыре раза.Учитывая, что интенсивность поля пропорциональна квадратуамплитуды, делаем вывод, что освещенность в центре картиныувеличится приблизительно в 16 раз.По-другому: при увеличении диаметра входной диафрагмы вдва раза световая энергия, проходящая через объектив, увеличивается в четыре раза.
Так как при этом угловой размер изображенияуменьшается в два раза, то в четыре раза уменьшится площадь изображения. Поскольку большая часть энергии сосредоточена в центральном дифракционном максимуме, то освещенность в центрекартины увеличится приблизительно в 16 раз.Ответ: освещенность в центре изображения увеличитсяв ≈ 16 раз.Задача 5.2.6. Плоская монохроматическая волна падает нормально на объект с функцией пропускания⎧ ⎛ 2πx ⎞⎪sin ⎜⎟ , x ≤ b 2,τ( x) = ⎨ ⎝ b ⎠⎪ 0,x > b 2.⎩Найти распределение интенсивности в фокальной плоскостиустановленной за объектом собирающей линзы с фокусным расстоянием f.РешениеПо определению, комплексной функцией пропускания объектаτ ( x, y ) называют отношение комплексной амплитуды E2 ( x, y )светового поля сразу за препятствием к комплексной амплитудеE1 ( x, y ) падающей волны непосредственно перед объектом (объектсчитается бесконечно тонким).
В случае дифракции плоской волны124ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧс амплитудой U 0 комплексная амплитуда поля непосредственно заобъектом с функцией пропускания τ ( x ) равна τ ( x ) ⋅ U 0 (там, гдеτ ( x ) < 0 , фаза волны меняется на π).Лучи, идущие от вторичных источников за объектом под некоторым углом ϕ к первоначальному направлению, соберутся в некоторой точке Nϕ фокальной плоскости линзы. Вклад в амплитудуполя в этой точке от некоторого элемента волновой поверхностишириной dх может быть представлен в виде (приближение Френеля-Кирхгофа, см. гл. 4):eiksdU N ϕ = τ ( x ) ⋅ U 0 ⋅dx ⋅ K ( ϕ ) ≈seiks0ik s − s≈ τ ( x ) ⋅U0 ⋅K 0 ⋅ e ( 0 ) dx ,s0где ( s − s0 ) = x ⋅ sin ϕ – разность хода для лучей, выходящих соответственно из точки с координатой х и из начала координат. Крометого учтено, что при малых углах ϕ коэффициент K ( ϕ ) ≈ K 0 , аs ≈ s0 ).Интегрируя по всей поверхности Σ объекта, получим:( )( )U Nϕ = U 0 ⋅∞∞eiks0K 0 ⋅ ∫ τ ( x ) ⋅ eikx sin ϕ dx = A ⋅ ∫ τ ( x ) ⋅ eik x x dx .s0−∞−∞( )Таким образом, U N ϕможно рассматривать как простран-ственное преобразование Фурье для функции пропускания τ ( x ) по«пространственным частотам» k x = k ⋅ sin ϕ .Для заданной в условии задачи функции τ ( x )( )b2U Nϕ = A ⋅⎛ 2πx ⎞ ik x xsin ⎜⎟ ⋅ e dx .⎝ b ⎠−b 2∫Посколькуsin αx =иeiαx − e −iαx,2i125Гл.
5. Дифракция Фраунгофераb2eiγxedx=∫iγ−b 2b2i γx( )=−b 2eiγb 2 − e −iγbiγ2=2sin ( γb 2 )γ⎛ γb ⎞= b sinc ⎜ ⎟ ,⎝ 2⎠для U N ϕ получаем:( )U Nϕ ==b2)(Ai k + 2π b ) xi k −2π b ) xdx =⋅ ∫ e( x−e ( x2i −b 2⎛⎛⎛⎛Ab ⎛2π ⎞ b ⎞2π ⎞ b ⎞ ⎞⋅ ⎜ sinc ⎜ ⎜ k x +⎟ ⎟ − sinc ⎜ ⎜ k x −⎟ ⎟⎟ =b ⎠2⎠b ⎠ 2 ⎠⎠2i ⎝⎝⎝⎝⎝=⎛ ⎛ b sin ϕ ⎞ ⎞⎛ ⎛ b sin ϕ ⎞ ⎞ ⎞Ab ⎛⋅ ⎜ sinc ⎜ ⎜+ 1⎟ π ⎟ − sinc ⎜ ⎜− 1⎟ π ⎟ ⎟ .2i ⎝⎠ ⎠⎠ ⎠⎠⎝⎝ λ⎝⎝ λВ частности, при дифракции плоской волны на щели ширинойb зависимость амплитуды от угла дифракции имеет вид:( )b2U 0 Nϕ = A ⋅∫−b 2eik x x⎛ πb sin ϕ ⎞dx = Ab ⋅ sinc ⎜⎟.⎝ λ ⎠( )Поэтому график для найденной зависимости U N ϕ( )получить, сложив два графика функции U 0 N ϕможнос вдвое меньшимзначением в максимуме и сдвинутых относительно sin ϕ = 0 соответственно на sin ϕ = ± λ b (см. рис.
5.12).Рис. 5.12. Графики двух функций типа U 0 (sin ϕ) , сумма которых определяетфункцию U ( sin ϕ ) .126ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧРис. 5.13. График зависимости I ( sin ϕ )Распределение интенсивности описывается формулой:( )( )I Nϕ = U Nϕ2и показано на рис 5.13.Задача 5.2.7. Плоская монохроматическая волна с длиной λпадает нормально на простую дифракционную решетку.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
