А.В. Быков, И.В. Митин, А.М. Салецкий - Оптика. Методика решения задач (1120536), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Верхняя половина кольца сделана из непрозрачного материала, а нижняя – из материала, вносящего дополнительную разность хода λ/2. Найти интенсивность света в точке Р.Ответ: 2,5 ⋅ I 0 .Задача 4.3.7. Плоская монохроматическая волна падает нормально на непрозрачный экран с круглым отверстием, открывающим для точки наблюдения Р первые три зоны Френеля. Как изменится интенсивность в точке Р, если в отверстие вставить линзу сфокусным расстоянием, равным расстоянию от отверстия до точкиР?Ответ: увеличится в 9π 2 4 раз.Задача 4.3.8. Плоская световая волна падает нормально накруглое отверстие. Если увеличивать радиус отверстия от нулевогозначения до r0 , интенсивность света в точке наблюдения возрастает до значения I 0 , равного интенсивности падающего излучения вотсутствие препятствия. Найти ближайшее к r0 значение радиуса rотверстия, при котором интенсивность в точке наблюдения вновьокажется равной I 0 .Ответ: r = r0 5 .110ОПТИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗадача 4.3.9. Точечный монохроматический источник света иточка наблюдения находятся на одинаковых расстояниях а поразные стороны от непрозрачного экрана с круглым отверстием,открывающим для точки наблюдения m зон Френеля. Какизменится число открытых зон Френеля, если экран передвинуть внаправлении источника на расстояние а/2?Ответ: увеличится в 4/3 раз.Задача 4.3.10. Плоская монохроматическая волна падаетнормально на узкую длинную щель.
В центре дифракционной картину, наблюдаемой на экране, расположенном на расстоянии b отплоскости щели, находится наиболее глубокий минимум. На какоерасстояние и в каком направлении следует переместить экран, чтобы в центре картины оказался наиболее интенсивный максимум?2⎛⎛ ω⎞min ⎞⎜Ответ: Δb = bmax − b = b ⋅ ⎜⎟ − 1⎟ > 0 , где ωmax ≈ 1,25 ,⎜ ⎝ ωmax ⎠⎟⎝⎠ωmin ≈ 1,9 .Литература1. Ландсберг Г.С. Оптика. − М.: Физматлит, 2003, глава VIII.2. Сивухин Д.В. Общий курс физики.
Оптика. − М.: Наука,1980, §§39 -43.3. Матвеев А.Н. Оптика. − М.: Высш. шк., 1985, §§31,32.4. Бутиков Е.И. Оптика. − М.: Высш. шк., 1986, §§61,62.5. Гинзбург В.Л., Левин Л.М., Сивухин Д.В., Четверикова Е.С.,Яковлев И.А. Сборник задач по общему курсу физики. В 5 т. Кн. IV.Оптика/ Под ред. Д.В.Сивухина. − М.: ФИЗМАТЛИТ; ЛАНЬ, 2006,§4.6. Сборник задач по общему курсу физики: Учеб. пособие: Длявузов.
В трех частях. Ч. 2. Электричество и магнетизм. Оптика./Под ред. В.А.Овчинкина. − М.: Изд-во МФТИ, 2000, §6.7. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. − М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006, §4.3.8. Ильичева Е.Н., Кудеяров Ю.А., Матвеев А.Н. Методика решения задач оптики/ Под ред. А.Н.Матвеева − М.: Изд-во Моск. унта, 1981, раздел V.111Гл. 5. Дифракция ФраунгофераГлава 5ДИФРАКЦИЯ ФРАУНГОФЕРА5.1.
Теоретическое введениеДифракцию света в дальней зоне, т.е. на таких расстояниях отобъекта, когда для точки наблюдения открыто менее одной (первой) зоны Френеля, называют дифракцией Фраунгофера. Отличительной особенностью дифракции Фраунгофера является устойчивость углового распределения интенсивности в поле дифрагировавшего света. В этой связи обычно используют собирающую линзу, в фокальной плоскости которой и наблюдают дифракционнуюкартину.Пусть плоская монохроматическая световая волна с длиной λпадает нормально на экран, в котором вырезана узкая длинная щельширины b с прямыми параллельными границами (рис. 5.1). Разобьем пространство щели на N элементарных длинных полосок одинаковой ширины dx = b N . Каждую из таких полосок можно рассматривать как источник вторичных (цилиндрических) волн.PВклад в комплексную амплитуду поля в точке наблюдения Р (вфокальной плоскости линзы) от iой полоски будет изображаться накомплексной плоскости векторомdAi , длина которого пропорциональна произведению амплитудыпадающей волны на ширину полоски dx (рис.
5.2). При этом разРис. 5.1. Наблюдение дифракцииФраунгофера на щели с помощьюность фаз dψ между волнами, изсобирающей линзылучаемыми соседними полоскамипод углом ϕ к направлению падающей волны, будет равнаd ψ = k ⋅ dx ⋅ sin ϕ ,(5.1)где k – волновое число.Комплексная амплитуда поля A ( ϕ ) равна сумме векторов:112ОПТИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧNA ( ϕ ) = ∑ dA i .i =1В центре дифракционной картины ( ϕ = 0 ) , куда вторичные волныприходят в одной фазе(рис. 5.2, а), модуль вектора А(0) максимален, а его значение пропорционально амплитуде падающей волныи ширине щели b.абвРис. 5.2. Векторные диаграммы: а − для центра дифракционной картины( ϕ = 0 ) , б − для угла дифракции ϕ , в − для направления ϕm на дифракцион-ный минимум m-го порядкаДля угла дифракции ϕ каждый из одинаковых по длине векторов dAi будет повернут относительно предыдущего вектора наодин и тот же угол dψ (рис.
5.2б). В результате получившаяся цепочка векторов образует дугу окружности, длина которой примерно равна A0 , а угол ψ между крайними векторами равенψ = k ⋅ b ⋅ sin ϕ .(5.2)113Гл. 5. Дифракция ФраунгофераХорда, стягивающая получившуюся дугу, и будет являтьсякомплексной амплитудой поля A ( ϕ ) . Из рис. 5.2б несложно получить выражение для амплитуды:sin ( ψ 2 )AA ( ϕ ) = 2 R ⋅ sin ( ψ 2 ) = 2 0 ⋅ sin ( ψ 2 ) = A0 ⋅= A0 ⋅ψψ 2⎛ kb sin ϕ ⎞sin ⎜⎟⎝ 2 ⎠.kb sin ϕ2Поскольку интенсивность света I ∼ A2, то⎛ bsinϕ ⎞(5.4)I ( ϕ ) = I ( 0 ) sinc 2 ⎜ π⎟.λ ⎠⎝График зависимости I ( ϕ ) показан на рис. 5.3.
В центре дифракционной картины интенсивность I ( 0 ) максимальна и пропорциональна квадрату ширины щели. Функция I ( ϕ ) обращается в нульпри условииλsinϕm = ± m ,(5.5)bкоторое соответствует замыканию дуги фиксированной длины A0в окружность после m оборотов, при этом разность фаз между волнами, идущими от крайних точек щели, равна ψ m = 2πm (см.рис. 5.2в).Isinϕ−3λb−2λb−λb0λb2λb3λbРис. 5.3.
Зависимость интенсивности I ( sinϕ ) при дифракции Фраунгоферана щели114ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧПри дифракции плоской волны с длиной λ и интенсивностью I 0на круглом отверстии радиуса R, угловое распределение интенсивности поля за отверстием в дальней зоне описывается формулой:2⎡ J ( 2πRϕ λ ) ⎤I ( ϕ) = I ( 0) ⎢ 1(5.6)⎥ ,⎣ πRϕ λ ⎦где J1 − функция Бесселя первого порядка, а I ( 0 ) ∼ I 0 πR 2 .
Угловойрадиус центрального дифракционного максимума в этом случаеравенλΔψ = 0 ,61 .(5.7)RПри нормальном падении плоской монохроматической волны надифракционную решетку зависимость интенсивности от угла ϕ вдальней зоне дифракции имеет вид:22⎛ sin u ⎞ ⎛ sin N δ ⎞(5.8)I ( ϕ) = I0 ⋅ ⎜⎟ ⋅⎜⎟ .⎝ u ⎠ ⎝ sin δ ⎠Здесь u = (kb sin ϕ) 2 = (πb sin ϕ) λ ; δ = ( kd sin ϕ) 2 = (πd sin ϕ) λ ;b – ширина щели; d – период решетки; N – число задействованныхштрихов (щелей); I 0 – интенсивность в центре картины, если открытатолько одна щель.
График зависимости I ( ϕ ) показан на рис. 5.4).Isinϕ0λdλbРис. 5.4. Зависимость интенсивности I (sinϕ) при дифракции Фраунгоферана дифракционной решетке с N=3 щелями.Заметим, что поскольку I 0 ~ b 2 , то I ( ϕ = 0 ) = N 2 I 0 ~ ( Nb ) .2115Гл. 5. Дифракция Фраунгофера5.2. Задачи с решениямиЗадача 5.2.1. Одну половину длинной узкой щели шириной bперекрывают тонкой прозрачной пластиной с показателем преломления n. В результате интенсивность света в центре дифракционной картины уменьшается в два раза (рис. 5.5.). Найти толщину dпластины и интенсивность света в направлениях, соответствующихнаправлениям на дифракционные минимумы в отсутствие пластины.РешениеПри наличии стеклянной пластины волны от перекрытых еювторичных источников испытывают дополнительную задержку пофазе на δ = kd ( n − 1) .
Следовательно, для угла дифракции ϕ = 0 навекторной диаграмме (рис. 5.6) вектор О1О2, равный половине вектора ОО2, следует повернуть на угол δ против часовой стрелки.Так как по условию задачи I ′ ( ϕ = 0 ) = I 0 2 , то в центре картиныамплитуда поля должна быть в2 раз меньше, чем в случае безпластины, т.е. длина вектора OO'2 в 2 раз меньше длины вектораOO 2 . Из рис. 5.6. видно что,πδ = + πm ,2δ1 + 2m=⋅ λ . ( m = 0,1, 2,...) .d=k ( n − 1) 4 ( n − 1)Рис. 5.5.
Схема наблюдения дифракцииФраунгофера на щелиРис. 5.6. Векторная диаграмма дляугла дифракции φ = 0По аналогии для произвольного угла дифракции ϕ на такой жеугол δ следует повернуть вектор О1О2 (рис. 5.7а, б), при этом ди-116ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧфракционная картина окажется несимметричной относительно ϕ(рис. 5.7а соответствует случаю ϕ > 0 , рис. 5.7б − случаю ϕ < 0 ).В отсутствие пластины для направлений на первый дифракционный минимум ( sin ϕ±1 = ± λ b ) векторная диаграмма имеет видокружности, длина которой равна длине вектора ОО2 на рис. 5.6, и,следовательно, пропорциональна амплитуде поля в центре картиныA0 .
При наличии пластины, как видно из рис. 5.7в, амплитуда поляравнаA±1 = 2 2 R1 ,Aгде R1 = 0 –радиус окружности векторной диаграммы. Для ин2πтенсивности I ±1 получим: I ±1 = A±21 = 8 R12 = 2 I 0 π2 .абвгРис. 5.7. Векторные диаграммы: для произвольного угла дифракции ϕ > 0 (а) иϕ < 0 (б), для направлений на первый (в) и второй (г) дифракционный минимумДля направлений на второй дифракционный минимумb) ) амплитуда поля остается равной нулю, так какна векторной диаграмме точки О, О1 и О2 совпадают (рис.
5.7г).( sin ϕ±2 = ±2(λГл. 5. Дифракция Фраунгофера117Аналогично, для всех последующих нечетных «минимумов»(m – номер минимума):2I0I ± m = A±2m = 8Rm2 =,( mπ )2а для всех четных I ± m = 0 .2I0Ответ: I ± m =, если m – нечетное;( mπ ) 2I ± m = 0 , если m –четное.Задача 5.2.2. При выводе формул, описывающих дифракциюФраунгофера, обычно рассматривают формирование дифракционной картины в фокальной плоскости собирающей линзы. Однако вреальных экспериментах зачастую обходятся без неё.
На какомрасстоянии от объекта (щель, отверстие) следует установить экран,чтобы дифракционная картина на нем описывалась теми же формулами, как и в случае с линзой?РешениеРассмотрим дифракцию плоской монохроматической волны,например, на узкой щели. Если для получения дифракционной картины используется собирающая линза, то лучи от вторичных источников приходят в фокус линзы в одной фазе. Если линзу убрать,то разность хода для центрального и крайнего лучей будет равна2⎛ 1 ⎛ b ⎞2 ⎞b2⎛b⎞⎟−≈ds0 = L2 + ⎜ ⎟ − L ≈ L ⎜1 + ⎜L,⎜ 2 ⎝ 2 L ⎟⎠ ⎟8L⎝ 2⎠⎝⎠где b – ширина щели, L – расстояние от щели до экрана (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
