А.В. Быков, И.В. Митин, А.М. Салецкий - Оптика. Методика решения задач (1120536), страница 26
Текст из файла (страница 26)
10.3. Траектория движения конца вектора Е в волне с эллиптической поляризациейВ полярной системе координат (x = r cosθ, y = r sinθ) уравнение (10.3) имеет вид:22⎡⎤⎛ sinθ ⎞ sin2θ2 ⎛ cosθ ⎞r ⎢⎜cosϕ⎥ = sin 2ϕ .(10.5)⎟ +⎜⎟ −ab⎢⎣⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠⎥⎦Если продифференцировать обе части (10.5) по θ и учесть, чтов направлении главных осей эллипса поляризации (θо и θо + π/2)производная ∂r = 0 , то получим:∂θ2abtg2θ0 = 2cosϕ ,(10.6)a − b2илиtg2θ0 = tg2α ⋅ cosϕ .(10.7)214ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧПри переходе к системе координат x′Oy′, повернутой относительно xOy на угол θ0, уравнение эллипса поляризации преобразуется к виду:22⎛ x′ ⎞ ⎛ y ′ ⎞⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 1,⎝ A⎠ ⎝ B ⎠(10.8)причемA2 + B 2 = a 2 + b 2 = c 2 ~ I 0 ,(10.9)AB = ab sin ϕ ,(10.10)222⎛ B ⎞ 1 − 1 − sin 2α ⋅ sin ϕ=.⎜ ⎟⎝ A ⎠ 1 + 1 − sin 2 2α ⋅ sin 2 ϕЕсли обозначить:B= tgα′ ,Aтоsin2α′ = sin2α ⋅ sinϕ .(10.11)(10.12)(10.13)Рассмотрим случай, когда линейно поляризованная монохроматическая волна (полученная, например, с помощью поляризатора)падает нормально на плоскопараллельную пластинку толщиной d,вырезанную из одноосного кристалла (с разностью показателейпреломления Δn = ne − no для необыкновенной и обыкновеннойволн) параллельно его оптической оси.
Совместим плоскость xOyдекартовой системы координат с передней поверхностью пластинки, направив ось Ox параллельно оптической оси кристалла (рис.10.4). Пусть угол между плоскостью поляризации волны и плоскостью главного сечения (т.е. угол между вектором амплитуды E0 иосью Ох) равен α . Тогда на выходе из пластинки получим эллиптически поляризованную (в общем случае) волну, в которой компоненты светового вектора Е изменяются по закону:E x = a cosωt,(10.14)E y = b cos ( ωt + ϕ ) .где a = E0cosα ; b = E0sinα ; E0 −амплитуда линейно поляризованной волны после поляризатора; ϕ = k ⋅ Δ – разность фаз между необыкновенной ( Ex ) и обыкновенной ( E y ) волнами. Δ = d (ne − n0 )– оптическая разность хода.
Если вносимая пластинкой разностьГл 10. Поляризация света. Интерференция поляризованных пучков215фаз ϕ = ± π 2 + πn ( n = 0 ,±1,±2… ), то ее называют «четвертьволновой» (или «пластинкой λ 4 »); если ϕ = π ± 2πn , то пластику называют «полуволновой» (или «пластинкой λ 2 »).Y(о)bbE0ΔZaО птическаяо сьα(е)ОaXРис.10.4. Прохождение линейно поляризованного света через кристаллЕсли пренебречь потерями, имеющими место при прохождении света через реальную пластинку, то интенсивность волны навыходе из пластинки будет равна интенсивности падающей на пластинку волны, так как обыкновенная и необыкновенная волны линейно поляризованы в перпендикулярных направлениях.
Если теперь на пути прошедшего через пластинку света поместить поляроид-анализатор, направление пропускания которого составляетугол θ с осью Ох, то проекции компонент E x и E y на это направление ( E x cosθ и E y sinθ соответственно) будут интерферировать.В результате интенсивность I линейно поляризованного света навыходе из анализатора будет зависеть от углов α и θ и разности фазϕ:I ( α, θ, ϕ ) = I 0 ×⎡ϕ ⎞⎤⎛× ⎢cos 2 α ⋅ cos2 θ + sin 2 α ⋅ sin 2 θ + sin 2α ⋅ sin θ ⋅ cos θ ⎜ 1 − 2sin 2 ⎟ ⎥2 ⎠⎦⎝⎣илиI ( α, θ, ϕ ) = I 0 ×ϕ⎤⎡2× ⎢( cos α ⋅ cos θ + sin α ⋅ sin θ ) − sin 2α ⋅ sin 2θ ⋅ sin 2 ⎥ . (10.15)2⎦⎣216ОПТИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧНа рис. 10.5 пунктирными линиями показаны эллипсы поляризации волны (10.14) при ϕ = π 2 для случаев tgα = b a = 1 3 (слева)и tgα = b a = 2 3 (справа). Сплошными линиями показаны графикизависимости I ( θ ) , соответствующие этим случаям.Вводя в рассмотрение уголβ = α−θ(10.16)между направлениями пропускания поляризатора и анализатора,получаем:ϕ⎤⎡(10.17)I ( α ) = I 0 ⎢ сos 2β − sin 2α ⋅ sin2 ( α − β ) ⋅ sin 2 ⎥ .2⎦⎣Рис. 10.5. Эллипсы поляризации волны (пунктир) и угловая зависимость интенсивности I(θ) линейно поляризованного света на выходе из анализатора (сплошные линии)В частности, если β = 0 (θ = α, т.е.
направления пропусканияполяризатора и анализатора совпадают), тоϕ⎤⎡(10.18)I = I 0 ⎢1 − sin 2 2α ⋅ sin 2 ⎥ ,2⎦⎣а если β = ± π/2 (θ = α ± π/2, т.е. направления пропускания поляризатора и анализатора взаимно ортогональны), тоϕI ⊥ = I 0sin 2 2α ⋅ sin 2 .(10.19)2Как и следовало ожидать,I + I⊥ = I0 .Как видно из рис. 10.6, при заданной разности фаз ϕ для компонент светового вектора E x и E y (10.2) интенсивность I ⊥ мак-217Гл 10.
Поляризация света. Интерференция поляризованных пучковсимальна, а I− мини-мальна, если α = π/4Exo = E yo . Кроме того,()при α = π/4 интенсивности I ⊥ и I& наиболеечувствительны к значению ϕ(на рис. 10.6ϕ1 = π 3 ,ϕ2 = π 2иРис. 10.6. Зависимости интенсивности I (α)ϕ3 = 2π 3 ).(нормированной на I0) для значений разноНа рис. 10.7 приведести фаз ϕ: π 3 (1), π 2 (2) и 2π 3 (3)ны графики соответствующихзависимостейI ⊥ (α) и I (α) в полярных координатах для указанных выше значений ϕ (сплошная линия – для скрещенных поляроидов, пунктирная– для параллельных).абв(штриховые линии) и I ⊥ ( α ) (сплошные линии) вполярных координатах для разностей фаз π 3 ( а ) , π 2 ( б ) и 2π 3 ( в )Рис.
10.7. Зависимости I(α)Если световая волна – неполяризованная (так называемый естественный свет), то ϕ(t) изменяется во времени случайным образом в интервале от –π до +π. При пропускании естественного светас интенсивностью I0 через поляроид на выходе получим линейнополяризованный свет с интенсивностью I 0 /2.Степень поляризации света характеризуют параметром:218ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧIп,(10.20)I ест + I пгде I п – интенсивность полностью поляризованной компонентысветовой волны, I ест − интенсивность неполяризованной компоненты.P=10.2.
Задачи с решениямиЗадача 10.2.1. Один поляроид пропускает 30% естественногосвета. После прохождения света через два таких поляроида интенсивность падает до 9%. Найти угол θ между главными направлениями поляроидов.РешениеПоскольку идеальный поляроид пропускает 50% естественногосвета, то в случае использования неидеального поляроида интенсивность линейно поляризованного света на его выходе равнаI1 = 0 ,5 ⋅ γ ⋅ I ест ,где γ – коэффициент изотропного пропускания материала, из которого изготовлен поляроид.
Так как по условию задачиI1 = 0,3 ⋅ I ест ,то γ = 0,6 .С учетом закона Малюса (10.1) интенсивность света на выходевторого поляроида равнаI 2 = γ ⋅ I1cos 2 θ ,где θ – угол между главными направлениями поляроидов, а по условию задачиI 2 = 0,09 ⋅ I ест .Таким образом, получаемcos 2 θ = 0 ,5 ,а искомый угол θ между главными направлениями поляроидов равен 45°.Ответ: θ = 45°.Задача 10.2.2.
Смесь естественного света с линейно поляризованным анализируется с помощью николя (поляризационная призма). Определить степень поляризации света Р, если при поворотеанализатора на угол α=60° из положения, соответствующего мак-Гл 10. Поляризация света. Интерференция поляризованных пучков219симуму пропускания, интенсивность света за николем уменьшаетсяв η = 2 раза.РешениеС учетом свойств идеального поляризатора и закона Малюса(10.2) интенсивность света за николем равнаI ( θ ) = 0 ,5 ⋅ I ест + I л ⋅ cos 2 θ ,где Iест и Iл – интенсивности соответственно неполяризованной илинейно поляризованной компонент, θ – угол между плоскостьюполяризации линейно поляризованной компоненты и главным направлением николя.Следовательно:I max ≡ I ( θ = 0 ) = 0,5 ⋅ I ест + I л ,I α ≡ I ( θ = α ) = 0,5 ⋅ I ест + I л ⋅ cos 2αгде α – угол, на который поворачивают анализатор.Так как по условию задачиI max = η ⋅ I α ,где η = 2 , то()2I ест 2 ⋅ 1 − ηcos α==1η −1Iли, в соответствии с (10.20), степень поляризации света:IлP== 0 ,5 .I ест + I лОтвет: Р = 0,5.Задача 10.2.3.
Некогерентная смесь линейно поляризованногосвета и света, поляризованного по кругу, рассматривается черезполяроид. При повороте поляроида из положения, соответствующего максимуму интенсивности прошедшего света, на угол α = 30°интенсивность света уменьшается на 20%. Найти отношение интенсивностей Iк и Iл соответственно циркулярно и линейно поляризованных компонент.РешениеС учетом свойств идеального поляризатора и закона Малюса(10.1) интенсивность света за поляроидом равнаI ( θ ) = 0,5 ⋅ I к + I л ⋅ cos 2 θ ,220ОПТИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧгде Iк и Iл – интенсивности соответственно циркулярно и линейнополяризованных компонент, θ – угол между плоскостью поляризации линейно поляризованной компоненты и главным направлением поляроида.Следовательно:I max ≡ I ( θ = 0 ) = 0,5 ⋅ I к + I л ,I α ≡ I ( θ = α ) = 0 ,5 ⋅ I к + I л ⋅ cos 2 αи по условию задачиI max − I α = 0, 2 ⋅ I max .Так как α=30°, тоI к = 0 ,5 ⋅ I л .IОтвет: к = 0 ,5 .IлЗадача 10.2.4.
Смесь естественного света и света, поляризованного по кругу, пропускается через четвертьволновую пластинкуи николь. При вращении николя вокруг оси светового пучка максимальная интенсивность на выходе больше минимальной в m=3раза. Найти отношение интенсивностей Iк и Iест соответственно циркулярно поляризованной и естественной компонент света.Решение:Так как пластинка λ/4 не изменяет состояние поляризации естественного света, а циркулярно поляризованный свет преобразуетв линейно поляризованный, то при соответствующих ориентацияхниколя:I max = 0,5 ⋅ I ест + I к ,I min = 0,5 ⋅ I ест ,где I ест и I к – интенсивности соответственно естественной и поляризованной по кругу компонент.Поскольку по условию задачиI max = m ⋅ I min ,то искомое отношение интенсивностей:Iкm −1==1.2I естIОтвет: к = 1 .I естГл 10.
Поляризация света. Интерференция поляризованных пучков221Задача 10.2.5. Некогерентная смесь естественного, линейнополяризованного и циркулярно поляризованного света анализируется с помощью быстро вращающегося поляризатора с фотоприемником. Глубина модуляции фототока, пропорционального интенсивности света, оказалась равной m1=0,1. Если свет предварительнопропустить через пластинку λ/4, ориентированную так, что на выходе будет по-прежнему некогерентная смесь неполяризованного,линейно поляризованного и поляризованного по кругу света, тоглубина модуляции фототока станет равной m2=0,2. Определитьстепень поляризации Р исходного светового пучка.РешениеПри вращении поляроида вокруг оси светового пучка с угловой скоростью Ω интенсивность света (и фототок) будет изменяться по закону:I ( t ) = I 0 (1 + mcos2Ωt ) ,где I0 – интенсивность некогерентной смеси световых волн, m –глубина модуляции.Вначале интенсивность света за анализаторомI1 = 0 ,5I ест + 0,5 I к + I л cos 2θ ,илиI1 = 0,5I ест + 0 ,5I к + 0,5I л (1 + cos2θ ) ,где θ – угол между плоскостью поляризации линейно поляризованной компоненты и главным направлением поляроида (θ = Ωt).
ПоэтомуIлm1 =.I ест + I к + I лВ соответствии с условием задачи, после пропускания светачерез пластинку λ/4 циркулярно поляризованная компонента становится линейно поляризованной, а линейно поляризованная – поляризованной по кругу. Следовательно,Iкm2 =.I ест + I к + I лПоскольку по определению степень поляризации света равнаIк + I лP=,I ест + I к + I локончательно получаем:222ОПТИКА.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
