А.В. Быков, И.В. Митин, А.М. Салецкий - Оптика. Методика решения задач (1120536), страница 29
Текст из файла (страница 29)
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧгде σ = 5,67 ⋅ 10−8 Вт⋅м−2⋅К−4. Кроме того, с учетом (11.17) и (11.18):c ⋅u,(11.29)4где L0 − энергетическая яркость излучения с поверхности абсолютно черного телаuL0 =c.4πЛогично, что L0 и L из (11.16) одинаковы.ε0 (T ) = πL0 =11.2. Задачи с решениямиЗадача 11.2.1. Определить мощность излучения абсолютночерного тела, нагретого до температуры 1000 К, если площадь егоповерхности S равна 10 м2.РешениеПоскольку мощность РS и интенсивность I излучения связанысоотношением (11.13), то:PS = I ⋅ S .Согласно (11.28) для абсолютно черного тела:I = ε0 (T ) = σT 4 .Поэтому искомая мощность РS равнаPS = σT 4 S = 5,67 ⋅ 10−8 (1000 ) ⋅ 10 = 5,67 ⋅ 105 Вт.Ответ: 567 кВт.4Задача 11.2.2.
Черная пластина, освещаемая Солнцем, ориентирована перпендикулярно его лучам. Определить освещенностьпластины, если ее температура равна 300 К.РешениеСогласно (11.12) и (11.13), количество световой энергии, падающей на поверхность пластины площади S за время Δt , равноΔWпад = E ⋅ S ⋅ Δt ,где Е − освещенность пластины.Поскольку пластина черная, то энергия, излучаемая пластинойс обеих поверхностей за то же время, равна237Гл.
11. Тепловое излучениеΔWизл = ε0 ⋅ 2S Δt ,где ε0 − светимость абсолютно черного тела, которая зависит оттемпературы по закону (11.28):ε0 (T ) = σT 4 .В установившемся режиме:ΔWпад = Ризл ,илиE ⋅ S Δt = σ ⋅ T 4 ⋅ 2S ⋅ Δt ,откудаE = 2σT 4 = 2 ⋅ 5,67 ⋅ 10−8 ( 300 ) ≈ 919 Вт/м2.Ответ: Е = 919 Вт/м2.4Задача 11.2.3. Определить мощность излучения абсолютночерного тела, если площадь излучающей поверхности тела равна3м2, а максимум спектральной плотности излучения приходится надлину волны 0,58 мкм.Решение:Мощность PS излучения черного тела с площади поверхности SравнаPS = ε0 (T ) ⋅ S ,где, согласно (11.28), светимость абсолютно черного тела:ε0 (T ) = σT 4 .С учетом закона смещения Вина (11.8):λ maxT = bнаходим мощность излучения абсолютно черного тела44−2⎛ b ⎞−8 ⎛ 0 , 29 ⋅ 10 ⎞⋅=5,6710PS = σ ⎜S⋅⋅ 3 ≈ 106 МВт.⎜⎜⎟−6 ⎟⎟0,5810⋅⎝ λ max ⎠⎝⎠Ответ: РS=106 МВт.Задача 11.2.4.
С нагретой до некоторой температуры поверхности тела излучается энергия 175 Вт⋅см–2. При этом отношениеэнергетической светимости этой поверхности ε (T ) к светимости238ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧповерхности абсолютно черного тела ε0 (T ) , нагретого до той жетемпературы, равна α =ε (T )ε0 (T )= 0 ,5 . Найти температуру поверхно-сти тела.РешениеСогласно (11.28) энергетическая светимость поверхности черного тела определяется его температурой:ε0 (T ) = σT 4 ,где σ = 5,67 ⋅ 10−8 Вт ⋅ м -2 ⋅ К −4 . Следовательно,ε0σ0Так как по условию задачи: ε (T ) = 2 ⋅ 175 = 350 Вт см 2 , тоT =4T == 4350 ⋅ 1045,67 ⋅ 10−8≈ 2800 К.Ответ: Т = 2800 К.Задача 11.2.5. Определить плотность потока энергии солнечного излучения на земной орбите.
Температуру Солнца считатьравной 6000 К. Солнечный диск виден с Земли под углом 32′.РешениеПолагая, что Солнце излучает как абсолютно черное тело, дляпотока теплового излучения с его поверхности можем записать:PS = ε0 (T ) ⋅ S = σT 4 ⋅ πD 2 ,где D − диаметр Солнца. Если пренебречь потерями энергии излучения на пути от Солнца до Земли, то на земной орбите искомаяплотность потока энергии равнаPI ( R) = S 2 ,4πRгде R − расстояние от Земли до Солнца. Учитывая, что по условиюD/R = θ = 32′, получаем:2ВткВт⎛θ⎞I ( R ) = σT 4 ⎜ ⎟ ≈ 0 ,16 2 = 1,6 2 .⎝2⎠смм239Гл. 11.
Тепловое излучениеОтвет: I = 1,6кВтм2.Задача 11.2.6. Две большие полости с зеркально отражающиминаружными поверхностями имеют относительно малые круглыеотверстия диаметром d = 2 см, которые расположены друг напротив друга. В одной из полостей поддерживается постоянная температура T1 = 2000 К, в другой полости в установившемся режиметемпература равна T2 = 400 К.
Определить расстояние между отверстиями.РешениеБудем рассматривать отверстие в полости 1 как элемент поверхности абсолютно черного тела, имеющего температуру Т1. Всоответствии с (11.28) и (11.29), яркость излучения с такой поверхности:σT 4L= 1 ,πа согласно (11.14), поток энергии, попадающий в отверстие полости 2, равенP12 =πd 2Lcosθ ⋅ d Ω ,4 Ω∫где Ω − телесный угол, под которым отверстие в полости 2 видно споверхности отверстия в полости 1. Вычисляя интеграл в предыдущей формуле, получим:P12 =πd 242π∫0θd ϕ∫ Lcosθsinθ ⋅ d θ =0σT 4 θ2πd 2,2π 1π 24где θ ≈ d (2l ) .
Таким образом,2πd 2⎛ d ⎞σT14 ⎜⎟ .4⎝ 2L ⎠С другой стороны, поток энергии из полости 2 через отверстие в ней:P12 =πd 2σT24 .4В установившемся режиме:P12 = P2 ,P2 =240ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧи следовательно,2⎛ d ⎞4T14 ⎜⎟ = T2 .L2⎝⎠Поэтому искомое расстояние между отверстиями2 ( 2000 )L= 2 = ⋅= 25 см.2T2 2 ( 400 )2dT122Ответ: L = 25 см.Задача 11.2.7. Показать с помощью формулы Вина (11.6), чтомаксимальное значение спектральной плотности энергии тепловогоизлучения пропорционально Т3.РешениеСогласно формуле Вина (11.6)⎛ ω⎞uω (T ) = ω3 f ⎜ ⎟ .⎝T ⎠При фиксированной температуре производная∂uωf′= 3ω2 f + ω3∂ωTобращается в нуль, если3 f ( ωmax )ω = ωmax = −T.f ′ ( ωmax )Таким образом,Ответ: ( uω )max ∼ T 3 .Замечание. Для спектральной плотности uλ формула Винаимеет вид (11.7):ϕ ( λТ )uλ ( T ) =,λ5поэтому с учетом закона смещения (11.8):( uλ )max ~ T 5 .Задача 11.2.8.
Медный шарик диаметром d помещен в откачанный сосуд, температура стенок которого поддерживается близ-241Гл. 11. Тепловое излучениекой к абсолютному нулю. Начальная температура шарика Т0 = 400К. За время Δt=4 часа температура шарика уменьшается в η = 2раза. Считая поверхность шарика абсолютно черной, определитьего диаметр d.РешениеПри температуре Т за время dt с поверхности шарика излучается энергияdW = σT 4 ⋅ πd 2 ⋅ dt .В результате этого внутренняя энергия шарика изменяется навеличинуdU = c ⋅ m ⋅ dT ,где m − масса шарика, с − удельная теплоемкость.ПолагаяdW = dU ,получаем уравнение:σT 4 ⋅ πd 2 ⋅ dt = c ⋅ ρ ⋅πd 3⋅ dT ,6где ρ − плотность шарика.Разделяя переменные и интегрируя по t и T, находим:cρdΔt =η3 − 1 .318σT0ДжгТак как для меди с = 390и ρ = 8,9 3 , то для диаметра dкг ⋅ Ксмполучаем(d=18 ⋅ Δt ⋅ σ ⋅ T03( η3 − 1) cρ)18 ⋅ 4 ⋅ 60 ⋅ 60 ⋅ 5,67 ⋅ 10−8 ( 400 )3=( 8 − 1)2 ⋅ 390 ⋅ 8,9 ⋅103≈ 0 ,55 см.Ответ:d = 0,55 см.Задача 11.2.9.
Найти с помощью формулы Планка число фотонов dN в единице объема при температуре Т для спектральных интервалов ( ω,ω + d ω) и ( λ ,λ + d λ ) .РешениеСогласно (11.2):du ( ω,ω + d ω) = uωd ω ,242ОПТИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧгде в соответствии с формулой Планка (11.9):uω =ω22 3π cω.ωkTexp − 1Так как энергия фотона c частотой ω равна ω , тоdu ( ω,ω + d ω) = dN ⋅ ω .Следовательно, число фотонов в единице объема при температуре Т:ω2dω.dN ( ω,ω + d ω) = 2 3 ω (kT )π c e−1Делая замену переменных:ω = 2 πc λи2πcdω = 2 dλ ,λдля интервала ( λ ,λ + d λ ) получим:dN ( λ ,+ d λ ) =8πλ4dλ2 πce kT λ.−1Ответ:dN ( ω,ω + d ω) =ω22 3π cdωωkTe, dN ( λ ,λ + d λ ) =−18πλ4dλ2 πce kT λ.−1Задача 11.2.10.
При каких температурах расхождение междузначениями uω, рассчитанными по формулам Вина (11.11) и формуле Планка (11.9), для видимой части спектра ( 400 ≤ λ ≤ 750 нм )не превышает 1%?РешениеПо формуле Вина (11.11):uω =а по формуле Планка (11.9):ω32 3π ce−ω ( kT ),243Гл. 11. Тепловое излучениеuω =ω22 3π c eωω ( kT )−1.ПоэтомуuВинex −1= x ,uПланкeω hc=.kT λkTПо условию задачи:uПланк − uВин 1= x ≤ 0 ,01 ,uПланкeследовательно,hcT≤≈ 4150 K .λk ln100где x =Ответ: Для видимой части спектра (400 ≤ λ ≤ 750) Т ≤ 4150 Кдля λ = 750 нм.Задача 11.2.11. Световая мощность излучения точечного изотропного монохроматического (λ = 589 нм) источника равна 10 Вт.Найти: а) среднюю плотность потока фотонов на расстоянии r == 2 м от источника; б) расстояние R от источника до точки, гдесредняя концентрация фотонов равна 100 см−3.Решение:а) В соответствии с (11.13) на расстоянии r от точечного источника интенсивность излучения равнаP.I (r ) =4πr 2где P – излучательная мощность источника.Поскольку энергия одного фотона равна ε = hc λ , то средняяплотность потока фотонов на расстоянии r от источника:Pλ.j (r ) =4πr 2 hcПри r = 2 мj ≈ 6 ⋅ 1017 м −2 ⋅ с −1 .б) В случае точечного источника можно считать, что244ОПТИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧj (R ) = n( R ) ⋅ c ,где n(R ) − концентрация фотонов на расстоянии R от источника.ПоэтомуPλR=4πc 2 nи при n = 100 см−3:R ≈ 9 м.Ответ: а) j ≈ 6 ⋅ 1017 м −2 ⋅ с −1 ; б) R ≈ 9 м.11.3. Задачи для самостоятельного решенияЗадача 11.3.1. В спектре некоторой звезды максимуму излучения соответствует частота ≈1015 Гц. Найти температуру поверхности этого космического объекта.Ответ: ≈10 000 К.Задача 11.3.2. Найти температуру черного тела, если длинаволны, соответствующая максимуму его излучательной способности, на λ = 0,5 мкм больше, чем при температуре 2500 К.Ответ: ≈ 1750 К.Задача 11.3.3. При какой длине волны излучательная способность абсолютно черного тела с энергетической светимостью 3,0Вт/см2 максимальна?Ответ: 3,4 мкм.Задача 11.3.4.
Излучательная способность Солнца максимальнавблизи длины волны 0,48 мкм. В предположении, что Солнце излучает как абсолютно черное тело, оценить: 1) какую массу теряетСолнце ежесекундно за счет теплового излучения? и 2) за какоевремя масса Солнца должна уменьшаться на 1%?Ответ: 1) 0,5 1010 кг/с; 2) ≈1011 лет.Задача 11.3.5. Черный тонкостенный металлический сосуд,имеющий форму куба, заполнен водой, нагретой до 50°С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
