Э.Ф. Тейлор, Дж.А. Уилер - Физика пространства-времени (1120533), страница 73
Текст из файла (страница 73)
56. Космические лучи а) Коэффицке<гг, характсризу<ощкй замедление времени, определяется формулой (44) нз упражнения 10, так что <Л< >к 10« гс сЬО, Е 10««гв ' так что для интервала времени, равного Лг ж (10« гет) (3. 10! сек/год), найдем ЛГ =- 10л 3 ° 10! 10 " сек = 30 сек, 11ока за свои 30 сек космический путешественник успевает пересечь Галак- тику, на Зеки<о про>нщит сто тысячелетий! б) Коэффициент, характеризующий лоренцево сокращоиие Галактики, определяется по <)к>рл<уле (38) из упра>кнения 9 и равон 1Ол с«. се>к (10е век>) (3 ° 10« сев<«се) (3 ° 10« м(сек) 9.10«" м 1 г«! 6 Е 10 >л м 10-ы м 10>лм ' м' Чтобы протон приобрел необходиму<о скорость, ему необходимо придать энергию, равную в единицах массы Г= Š— а=10«"т — т 10««т 10«'1,6 10'т кг А!0«кг, иначе говоря, потребуется превратить в энергию около одного миллиона тонн массы, чтобы разогнать этот протон! 57.
Границы ньютоновской механики а) Ответ таки<о указан в конце книги! б) Согласно формуле без номера, находящейся па стр. 155 между формулами (81) и (82), нз разложения бинома Г(ыотона следует разлож< пис по стопецям р н для релятивистской эпсргнн: (Р 3 Е=т+т —,+ —,тб«; 8 откуда ()л 3 Т == Š— т =т — + — >к((г+ 2 8 Здесь первый ч<<сц справа — обычное ньютоновское вырви<сцие для кинетической энергии. Сравнивая с ним следу<ощий член, найдем, что п< правка РКШЕ<П!Я УПРАЯ<НВЬП!й К ГЛ.
2 порядка 10 ' к ньютоновской механике, рассматриваемая в этом упражнении, будет иметь место при тбв>2 -1- — ' тб«~ тб«~2 3 пр«~2 — — 10 ', т. е. когда агв в . 10-в 3 Это и есть граница ньютоновской механики; сравните ее с другимн «границамнв, найденными в упражнениях 39 и 40 гл. 1.
При такой скорости отношение кинотнческой энергии к энергии покоя равно п>бв / рв 2 — ~<я= —,, = — 10 3' В случае протона его кинетическая энергия, соответствующая границе примени«юсти ньютоновской механики, равна Т = — 10~в> ж — 10 в Ьэв=-=, ° 10 в 10« э«= — 10' эв=7 Мэв., 2 2 2 3 3 В случае же электрона соответствующая кинетическая энергия равна » -" -! ! Т,= — ".
10 эл>, = = 10 ' —,, 10«эв= 3 кэв. 58. Релятивистская ракета а) Законы сохранения импульса и энергии выражаются как — и< бЬ 8выбр + Мв зЬ (<ХО) = О, >и СЬ Овыбр ' М«сЬ (<ХО) = М<. Перенесите вторью слагаелпю из левых частей обеих формул вправо, разделите соответству<ощпо части получившихся формул друг на друга и учтите соотношения в<> Овыбр С<> выбр —. !Ь О,„„—. ()в„бр, бй(<ХО) ж <ХО, сЬ(<ХО) ж1. Вы получите требуемые соотношения. 6) 1(огда параметр скорости мал, р = О, так что М М, ()выбрС 1П вЂ” = Пвыбр 1П вЂ”, что и трсбова>п>сь показать.
в) Из зашша сохранения энергии легко заключить, что т + М, Ф М„ так как для того, чтобы получить >>Х„ну>кис ело>нить >и н М, предварптельно умноженпь>о на коэфф>гцненты, много болыпне единицы. Рассматриваемый здесь проц< с< — это «обращенное нсупругоо столкновение>п в неупругих столкновения.ч кинетическая энергия переходит в массу покоя, тогда как здесь, наоборот, масса покоя превращается в кинетическую зпоргп<о ракеты и продуктов сгорания топлива. г) Даже прн напболыппч допустимых отношениях масс (М>/ЛХ-ы оо) П Прн <аМЫХ ВЫСОКИХ СКОреетяХ ВмбрОСа (р,„бр -ы 1) СКОрОСтЬ ранетЫ будст лнпп.
прнблпжаться к скс>рости сч<та, но пе сможет ое превысптгп 8=-!ЬΠ— в1 пРи 8=-Двыбр!П вЂ” ' — воо. М д) Вгрпгмся к выражшппо закона сохранения энергии, данному в ответе к части а). Г!рн очень болыной скорости выброса величина сй О,ыбр стремится к бесконечности, н чтоб»! закон сохранения не нарушался при консч- 282 4.
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ ных значениях Мз и М„величина массы выбрасываемых продуктов сгорания т должна становиться очень малой. Предельный случай достигается для света, когда масса покоя ракетного горючего полностью превращается в энергию излучения. е) Ракета, работающая на световых вспышках, не очень практична. Предположим (для грубой оценки), что лампа вместе с батарейкой обладает массой 1/2 кг и излучает пучок света мощностью 5 гт; за полчаса (около 2000 сгк) излученная энергия составит тогда 104 гт сек, или 104 дзг. Чтобы найти количество массы, перешедшей при этом в энергию, следует разделить 104 длс на с'. Получается приблизительно 10 'з кг — неудивительно, что наша лампа с батарейкой становится заметно легче после работы! Отношение масс для такои «ракеты» составляет — кг/4 — кг — 10 кг), >1 ->з 2 >2 или приблизительно 1 + 2 ° 10 'з.
Чтобы вычислить скорость, приобретенную при этом первоначально покоившейся лампой (формула (110)), нуя«но найти натуральный логарифм числа 1 + 2.10 'з; логарифм единицы равен нулю, н вблизи этого значения натуральный логарифм возрастает так же, как и его аргумент. Иными словами, )н (1 + 6) = 6 при 6 (< 1. Отсюда и из формулы (110) следует, что скорость, приобретенная лампой, равна (>яз8=1н(1+2.10'з) 2 ° 10'з или и=ср=б 10 з м/сек.
Быстро бы прогорела та пиротехническая компания, которая выпускала бы ракеты весом но полкило, «летающие» с такой скоростью! Причина того, что лампа способна развить лишь таку>о ничто>кную скорость, выясняется при обсуя«денни, предложенном в тексте упражнения. Дело в том, что «шлак», остающийся при реакции — использованные батареи,— ускоряется здесь вместе с ракетой. Напротив, химическая ракета практичнее, так как выбрасывает свой шлак через сопло. Существует ряд «бесшлаковых» реакций для элементарных частиц„и в случае исходных частиц с отличными от нуля массами покоя потенциально важны реакции типа (Частица) + (Античастица) -» Излучение.
В качестве пары частица — античастица здесь могут фигурировать, например, электрон и позитрон или протон и антипротон. Еще практичнее взять электрически нейтральные вещество и антивещество (атомы антиводорода, антижелеза и пр.) и хранить их в отдельных местах.
Однако по развитию техники мы еще очень далеки от возможности производить такие количества антивещества, которые требовались бы для ускорения ракет путе»> превращения в излучение частиц н античастиц при их аннигиляции в двигателе ракеты или непосредственно за ее кормой. В упражнении 104 рассмотрены трудности, с которыми столкнутся проектировщики межзвездных полетов, когда удастся преодолеть эту техническую трудность. >к) Когда коэффициент, характеризующий замедление времени, равен 10, это значит, что сй 0 = 10.
Из «способов быстрой оценки для простых смертных» в табл. 8 можно заключить, что при 0 )> 1 имеет место с)> 8 ее/2. Если О = 3, то ез — 20, а сЬ 0 ~ 10, что н требовалось. Если принцип ускорения ракеты основан на полном превращении массы в излучение (без шлака!), то из формулы (110) следует М,/М= (Масса при старте)/(Масса после дестин>ения требуемой скорости) = =гз 20=Удвоенный коэффициент замедления времени. В случае химической ракеты достижение этой же скорости (или такой же величины коэффициента замедления времени) обходится намного дороже. Скорость выброса берется равной ~»нар=(4.10»)/(3 10') 1~33.10-», РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ К ГЛ.
2 283 и для нее из формулы (108) следует )п Масса при ст«рте 0 3Д1 33.10-») — 3,35.10» Масс«после и«бор«скорости рвыср Для того чтобы после разгона ракета еще имела массу 1 п», необходима в этом случае начальная масса М вЂ” (1 л») «22» ООΠ— 10»7 «ОО гн Хорошенькая ракета, если вспомнить, что масса наблюдаемой Вселенной оценивается по порядку величины в 10»О т) 59. Парадокс центра масс а) В системе отсчета ракеты пушечные ядра все время движутся симметрично по отношению к центру трубы„так что центр масс этой системы ядер совпадает с центром трубы и остается веподвия<ным. Пока что никакого парадокса еще нет. б) В лабораторной системе отсчета выстрелы, посредством которых ядра вводятся в трубу, производятся неодно«ременно (см. рис.
148, а также упражнение 11). Первое ядро вводится в левый конец трубы еще до того, как второе ядро вводится в ее правый конец, находящийся впереди по ходу движения трубы в лабораторной системе. В этой системе отсчета скорости ядер различны, так что различны их энергии и импульсы.
Как определять теперь положение «центра массы считать массы ядер одинаковыми или учитывать такое различие? Ясно, что в прило7кении к составным системам, отдельные части которых движутся с релятивистскими скоростями, возникает значительная неоднозначность в определении понятия «центр масс». Поэтому вместо того, чтобы характеризовать здесь систему отсчета ракеты как «систему центра масс», было бы лучше назвать ее «системой нулевого Р и с. 448. за4 В. РЕП>ЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ импульс໠— зто было бы более общее утверн<депие.
Если, несмотря на различие их энергий (иногда говорят: «масс данн<ения», см. конец табл. 13), мы придавали бы обеим сталкивающимся массам одинаковое значение, то тем сал>ыы ввели бы фактически такоо понятие «центра ыасс», которое во избежание недоразумений было бы лучше называть «центром барионного числа», Иначе говоря, в этом случао значение тела оценивалось бы не по количеству содержащейся в нем энергии, а по числу входящих в него частиц (протонов и нейтронов, являющихся двумя разповидностнми барнонов, из которых п<ютроепо обычное вещество). Мировая линия центра барионного числа наших двух ядер изобра>кена на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
