Э.Ф. Тейлор, Дж.А. Уилер - Физика пространства-времени (1120533), страница 77
Текст из файла (страница 77)
8. б) Нулевая вспышка (я = 0) проходит через начало координат в момент г = О, и ее распространение описывается в дальнейшем уравнением я = 1, т. е. ! — х = О. Вспышка № 1 (и = 1) проходит через начало координат в момент 1 = с/т, так что величина ее х-координаты всегда на с/т меньше, чем этой я е координаты нулевой вспышки: с т х=1 — —, т. е.
1 = — (1 — л). с Вспышка № л проходит через начало коордппат в момент п —, к ее л-коордис с вата всегда яа и — меньше, чем у нулевой вспышки: х=г — п —, т. е. и= = — (1 — х) . с Это и есть то уравнение, которое требовалось получить. Свет распространяется с одной и той яге скоростью с и в лабораторной системе отсчета, и в системе ракеты, так что те же рассуждения, взятые в применении к системе отсчета ракеты, дают уравнение т и=- — (Р— х ). Подставим сюда значения Р и л' из формул преобразования Лоренца; мы получим а =- —" (1 — я) (сЬ О, + ЕЬ 0,), л) еэ, с РКШВПИЯ УПРЗЖПКНИИ К ГЛ. З Приравнивая друг другу выражения для в, полученные в лабораторной системе отсчета и в системе ракеты, найдем т -е, в) Равенства, полученные в частях а) и б) этого упражнения, выглядят одинаково, и это говорит ва то, что энергия фотона Е пропорциональна его классической частоте (как в лабораторной системе отсчета, так и в системе ракеты).
Коэффициент пропорциональности определяется на основании других экспериментов, которых мы здесь не касаемся; окончательно получим Л Е= — т. зз Умножая энергию, выраженную в единицах массы, на квадрат скорости света, получим Е,б „вЂ” энергию, измеренную в обычных единицах (см. равд. 10 гл. 2): Еобычв = /зт- г) Если это последнее соотношение подставить в формулу, описывающуто эффект Комптона (упражнение 70), то получится формула (Иб).
73. Гравитационное красное смещение а) Работа, затрачиваемая на единицу массы при переходе от г к г + й, выражается формулой (И7) и представляет собой вклад в потенциальную энергию частицы. Вбливи поверхности Земли г ж гз,, и мы получим щч — = — б/г = йч с/г.
гззызя Подставляя я яз 10м/секя, приближенно найдем = — яв (10 и/сект)/(9 10'з мз/сскз) ж 10 ж м/мз, зз так что относительное иаменение массы покоя частицы при подъеме на 170 м равно — ж 1,7 10 гз 2 10 ы. б) Отвогаевие же полной работы к массе дается формулой (И8); если ваять в вей в качестве тз массу Земли, равную 4,4.10 з м, а за исходный радиус принять радиус Земли гз, „, мы получим — — — (4,4 10 з м)/(6,7 10' м) = 7 10 'з, "3 ля Отношения, полученные в частях а) и б) этого упражнения, не включают в правой стороне самую массу поднимающейся частицы. йй' в) Заменяя в формуле, полученной в части а), й на г, а — — ва отношение (изменение энергии)/(полная энергия), получим, учитывая формулу (Иб), требуемый результат.
Знак минус в нем появился ввиду того, что изменение энергии отрицательно (она уменьшается с высотой) з. ') В отличие от квветвческой эвергви, потенциальная звергвя пробиой массы в грзввтзциоввоы поле с точки зрения теории Ньютона всегда отрвцзтельвз в обрзщзется е нуль вз бесковечвости, где поле отсутствует; тзкиы образом, звергия вззрясмзеж с высотой.
Авторы в действвтзльвоств имеют в виду роботу, веобходиыую двя удаления вассы вз грзяитзциоввого поля, равную позбсовютвой взличвве потевцизвьвой звертив втой массы, во обратвув зй по зваку. Возрзстзввопотепцизльпой звергии с высотой отражает тот факт, что граввтвцвя создзет силы яриыяжзяиз, з яз оттзлкввзвия между массами (по принципу минимума энергии).— Прим.
язрзв. Рвшвпия упэажнкнии к Гл. т а т. д., найдем иа приведевпой выше формулы преобрааоаавия энергив Е = Е' с)г 8„(1+ (), соэ ф'). Подставляя этот результат в выписанную выше первую формулу для компо- неят импульса, пайдем иа вес ч' = ч сЬ 8,. (1+ 6,) = ч ~/ —" . Подставляя сюда о=с/Л, найдем или г — (Л'/Х)а )+(Х'/Х)т ' При Л'/Л = (5300 А)/(6500 А) = 0,81 (Л'/Л)а = 0,66, так что 6, = 0,34/1,66 = 0,20.
и„=(),с=6 10т м/сек= 216 106 км/час= 13 10г миль/час, откуда так что штраф составит приблизительно 130 миллионов долларов. сох ф'+бе сов ф =- г+6 Этп результаты приведены в упражвении 76, а последвяя формула была выведена также в упражпении 22 (уравнение (50)).
в) Энергия фотояа Е и соответствующая ей классическая частота электрой кагвитной волны т свяэавы друг с другом равенством Е = — ч (см. упражвовие 72). Поэтому уравнение (120) переписывается для частот в виде ч' = чей 8„(1 — ~„сов ф). Зная лишь, какая частота наблюдается в данной системе отсчета, еще невозиожпо сказать, чему равпа частота в той системе, где источник излучения покоится.
Итак, когда мы измеряем в нашей системе отсчета частоту, мы ыикоим обраэоы ве получаем прямой ипформации о скорости источвика относительво вашей системы. 76. Распад яе-меэоиа; подробный пример Решение дано в тексте. 77. Полет неоновой лампочки Пока неоновая лампочка ваходится яа большом расстоянии от наблюдателя и быстро к нему приближается, ее свет для наблюдателя очеяь яров (эффект прожектора; упражнение 22) и далеко сдвинут в синюю сторову (частоты в диапазоне фиолетовых и ультрафиолетовых волн — эффект Допплера; упражнение 75). Затем яркость реэко понизится (наблюдатель окажется вие «луча прожектораэ), когда косинус угла, обраэовавпого лучом арепия и осью х, станет равев 6„.
В момент наибольшего сближения лампочки с наблюдателем ее свет будет уже испытывать красное смещение (см. формулу (120) при ф = 90', соэ ф = О). Когда лампочка будет улетать прочь, ее свет будет очень слабым и далеко сдвинут в красную сторону (частоты а диапаэопе дальних красяых и ипфракрасвых воли). 78. Физик и светофор Учитывая в уравнении (120), что энергия Е пропорциональна частоте ч. а соа ф '= — 1, получим 298 в. Ркшкния упвьжнвнин 79.
Допплеровское смещение на краю диска Солнца На экваторе Солнца линейная скорость вращения, направленная по касательной к его поверхности, равна 2лг 7.1()в л -— -2к з4,7 а а)(зевсе */а ) — — 2,1 10в м/сек, так что ().= " =7.10-в. в Из формулы (120) для эффекта Допплера, приняв ~э= О, а сов~э=1, получим ./1-Ь =~~' (+~в или Л=Л')/ 1 — зэ-" Л'(1 — '. ) (1 — з ) = Л'(1 — 7 10'), так что -7.10-в. Л Сдвиг будет происходить в голубую сторону, когда излучающая точка при- ближается к Земле, и в красную, когда ока удаляется от Земли. Полученная величина относительного допплеровского сдвига частоты сравнима с вели- чиной относительного гравитационного сдвига также в случае Солнца 2 ° 10 " (см. Упражнение 73). 80, Расширяющаяся Вселенная з) Согласно условиям задачи, Л' = 4870 А, Л = 7300 А, 'р"=Ф =я Формулу (120) ьвоявно записать в виде Е Л' 1 — Рг Н' Л 1+Р, в!лв 1 — (Л'/Л)в ().=,+„',„) Так как Л'/Л=0,67, (Л'/Л)в — — 0,45, то скорость равна ~, =- 0,55/1,45 = 0,38.
б) Для того чтобы со скоростью )) = 0,38 (в единицах скорости света) пройти расстояние 5 10' сеетозыз лет, требуется (5 10в)/0,38 = 13 10' лет. Если ва более раннем этапе скорость была больше (гравитация произвела з дальнейшем тормоивение), то это же расстояние могло быть пройдено зз более короткий срок. Поэтому, учитывая замедляющее влияние тяготения в прошлом, мы придем к меньшему сроку, прошедшему с момента начала расширения. 81. Анализ парадокса часов с помощью эффекта Допплера Пусть время путешествия туда и обратно равно (в системе отсчета Павла и 1 — в системе отсчета Петра. Тогда полное число пульсаций переменной звезды одно и то же в обеих системах отсчета и равно соответственно т'1' = — Промевкуток времени 1, который покаисут часы брата, оставшегося на Земле, равен 1 = — 1'.
Найдем отношение частот по формуле (122), имея решения упРАЖнений к Гл. г в виду, что переменная наблюдается домоседом Павлом под углом 90' к направлению движения Петра (тр = 90', соз ц = О). Отсгода получим 8=1'с)г8,. В упражнении 27 было указано, что скорость равна ()т = 24/25, так что сЬ 8, = (1 — ф;) ~а = (1 — (24/25)а) /' = (49/625) /' = 25/7. По»тому, если г' = 7 лгт, то г = 25 лгт, что уже было получено в упражнении 27.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
