Э.Ф. Тейлор, Дж.А. Уилер - Физика пространства-времени (1120533), страница 76
Текст из файла (страница 76)
<го ж 1 000 000 и. 65. Импульс без масеыг а) Скорость переноса массы равна просто <1ЕЮ, если выразить энергию в единицах массы. йи иЕ б) Импульс равен х — = х —. Е< и< ' в) Движение платформы происходит оттого, что центр масс системы и целом ') не мон<ет начать двигаться. Так как масса покоя передается от аккумулятора воде, платформа должна двигаться влево (см. рис. 105) для того, чтобы центр масс всей системы сохранял неизменное полон ение.
После того как варяд аккумулятора истощится, масса покоя перестанет передаваться воде, а вместе с этим отпадет необходимость в компенсирующем движении платформы — она остановвтся. Окончательный сдвиг платформы е будет составлять крайне малую часть ее длины х. Пусть вся изра»- ходованная аккумулятором энергия равна Е, так что воде была передави соответствующая ей масса (в форме теплоты). Положим полную массу платформы и всей ее нагрузки равной М (искл<очая массу Е). Тогда условие неподвижности центра масс моя<по выразить формулой Ме+Ех=-0, откуда окончательный сдвиг платформы определяется в виде Ел и= — —.
М г) Любой объект, покоящийся в данной системе отсчета, не совершает в ней механической работы. Поэтому в системе отсчета платформы перенос анергии слева направо может осуществляться лишь посредством движущейся ременной передачи. В системе отсчета стола, если считать, чтоплатформа катится по нему без трения, движение энергии (массы) платформы в целом <) Авторы используют здесь свой термин «цэитр импульса». См. по этому поводу иэше при- мечание иэ стр.
214.— Прим, в«р««. Ркшкния упглжнкпий к гл. 2 эщ влево или вправо невозможно. Поатому масса платформы М отступает влево в точности настолько, чтобы компенсировать перенос ременной передачей энергии (массы) вправо. В этой системе отсчета скорости переноса энергии платформой и ременной передачей в точности равны друг другу, но противоположно направлены. Наконец, в системе отсчета наблюдателя, движущегося вместе с ременной передачен в какую-то одну сторону, будет значительно ускорен перенос энергии в противоположную сторону встречным двияьепием ремня, так как увеличится относительная скорость, и с этим наблюдателем нельзя не согласиться — ведь для него масса всей системы в целом несомненно находится в быстром дэнн<ения. 66.
Частицы пулевой массы повоя Вывод соотношения Еь — рз = ть основывается (см. рис. 88 и 89). во-первых, на ннвариантности интервала и, во-вторых, на существовании множителя т, переводящего единичный 4-вектор, касательный к мировой линии, в вектор анергии-импульса, также к ней касательный. В пределе исчеаающе малой массы покоя это соотношение принимает вид Ф р*=Ез или (р) = Е, формула же (90) справедлива для всех скоростей н масс покоя: р= РЕ. Поэтому, если р = Е, скорость рассматриваемой частицы р должна быть равна единице: частица должна двигаться со скоростью света. Однако скорость связана с параметром скорости соотношением () = — = — = Ф)ь О. Р жзЬО Е ььсе В Малу гьс вторьао тона Ялга)ьаьс парится да ирявсо потова Хагяуагьс тарвоначааьиоао (зоошяа Отсюда, если скорость равна скорости света, должны быть равны друг другу сЬО и зЬО; следовательно, параметр скорости О должен быть бесконечно большим.
Если рассматривать теперь объект нулевой массы покоя из системы отсчета ракеты, двигающейся относительно лабораторной системы со скоростью (ь, (параметр скорости О„), то параметр скорости этого объекта будет равен 8 = Π— О„. Каким бы большим ни был параметр О„О' будет бесконечен ввнду бесконечности О. Следовательно, свет распространяется с одной и той же скоростью в любой инерциальной системе отсчета, и невозможно найти систему, в которой бы он покоился. Это верно и для любых других частиц, масса покоя которых равна нулю; все оки движутся со скоростью света. См. также обсуждение на стр.
159 — 161. 67. Эйпьптейновскпй вывод принципа эквивалентности энергии в массы покоя — подробный пример Решение дано в тексте. 68. Устойчивость фотона Диаграмма на рис. 151 изображает сохранение импульса в ходе предполагаемого дробления фотона иа два других фотона, не сохраняющих его первоначального направления движения. Треугольник образован трехмерными векторами импульса и построен в обычном трехмерном евклядовом пространстве. Поэтому сумма длин его боковых сторон должна быть больше 292 Решения упгцжнвнн и длины основания, т. е.
Модуль импульса первого) /Модуль импульса второго) ( дочернего фотона ) ( дочернего фотона /Модуль иьшульса) (исходного фотона) ' Однако иыпульс фотона по ыодулю равен его энергин. Значит, сумма энергий двух дочерних фотонов должка превосходить энергию исходного фотона, а это невозыожно. Следовательно, одновременное сохранение и импульса, н энергии певозмокько, если только фотоны — продукты дробления — не продолжают двигаться в том >ке направлении, в котором двигался первоначальный фотон. 69. Давленне света а) Свет лампочки мощностью 1 ет приносит на поглощающую его поверхность 1 дж энергии каждую секунду. 1 дж эквивалентен энергии (массе), равной (1 длс)/сь ж 10 " кг.
Зта поверхность поглощает за одну секунду столько же импульса (выраженного в единицах массы); переход к обычным единицам осуществляется путеы умножения ка скорость света с (сы. стр. 141), что дает в данном случае 3 10-» кг м/сек импульса, поступающего на поглощающую поверхность в секунду. Это соответствует силе, равной 3 10» кг.м/секь, т.
е. 3 10» к. б) Сила, действующая на каждый квадратный метр аоглои/аюи4его спутника, в 1400 раз больше только что найденной, т. е. равна около 4 10 ' и. Когдв свет падает ка идеально отражающую поверхность, он отражается от нее в обратную сторону, так что изменение его импульса вдвое превышает полученную прежде величину — мы имеем теперь 8 10 «и на каждый квадратный метр поверхности. В случае «реальных» поверхностей давление должно быть промежуточным между этими двумя значениями, цвет же поверхности играет роль лишь постольку, поскольку он характеризует ее отражательную способность. в) Запишем выражение для силы, действующей со стороны Солнца оц« на частицу массы т, как льасоццц«где асцццц« = — — гравитационное уско.
рение, вызванное притяжением Солнца. (Что касается закона тяготения, см. введение к упражнению 73; вблизи Зеыли ускорение силы тяжести, вызываемое Солнцем, равно 6 10» м/сек', см. стр. 21). Сила, действующая со стороны солнечного света, представляет собой давление (см. часть б) этого упражнения), умноженное на эффективную поглощающую площадь частицы. Пусть частица имеет сферическую форму и полностью поглощает падающий на нее свет; тогда ее поперечное сечение равно я>з. Обозначим давление солнечного света через Р. Тогда отталкивающая сила будет равна Ря>з, сила же гравитационного притяжения к Солнцу будет л>ас«ццц,.
Нас интересует, каких размеров должна быть частица, чтобы эти силы в точности уравновешивали друг друга: та с... = яРгз. Масса шарообразной частнцы связана с ее плотностью р и радиусом г по фор4ц муле т = — гьр. Подставляя ее в уравнение баланса сил, найдем оттуда з величину криткческого радиуса 3 Р г=— 4 >ц>с«ццц« Чтобы определить численное значение г, необходимо задаться величинов плотности р; предполо>ким поэтому, что она равна плотности воды, 10» кг/м*.
Используя также данные о давления солнечного света вблизи Земли и о вели- гвз РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ К ГЛ. чине солнечного гравитационного ускорения в этой же области, найдем 3 4 1О н и/лн б (О т 4 (10н не/лн) (6 10 о л/сент) Итак, частица должна быть довольно маленькой — радиусом примерно 1000 атомов.
Интересно, что расстоянпе от Солнца прп вычислениях сокра. щается, Отметим, что мы сделали здесь следующие предположения: () частица шарообразна, 2) частица полностью поглощает падающий иа нее свет, 3)плотность частицы равна плотности воды. 70. Эффект Комптона В подписи к рис. 109 дано уравнение, выралеающее закон сохранения импульса. Однако нас больше интересует здесь звергия, почему мы и произ.
ведем в вем замены Р = Ефотон. Р = Ефотоо, Р' = Ен — тлн. В результате получим уравнение Е' — то= Етф, „+Е$ „„— 2Е4, азот сонч, з то время как собственно аакон сохранения энергии дает Ефотон+ш= Ефотон+ Е~ если учесть, что электрон первоначально находился в покое, так что его полная энергия сводилась к ввергни покоя т. Теперь нас не интересует знергия Е электрона после столкновения, и мы исключим ее из полученных двух уравнений, получив, наконец, знергию фотона, рассеянного в направлении угла «р: нфотон Ефотон = 1+ ф""н (1 — ф) Разделив левую и правую стороны этого равенства на массу покоя электрона еа, рассмотрим случай, когда Ефо и/лт=2: Ифотон 2 не 1+ 2 (1 — сон в) Когда электрон крепко свяаан в атоме, в качестве массы и выступает масса етого атома в целом, и тогда зффективная величина отношения Ефотон/т окааывается в 20 тысяч раз меньше, чем при рассеянии фотонов ва свободных электронах.
В случае крепко связанных злектронов анамеватель в формуле. Р н с. 152. Р н с. 153. г. Рея!як!!я упиажненкп описывающей эффект Комптона, становится практически равным единице при любых углах гр, так что энергия рассеянного фотона оказывается очень близка к энергии падающего. 71. Измерение энергии фотона На рис. 153 изображена диаграмма импульсов, причем через Р обозначен импульс электрона после столкновения. Для этого прямоугольного треугольника мои!во записать Р':= рт-~ Р*= Ееот,а+ Ете„„„ р ЕФотоа 3 Р ЕФотоа 4 С другой стороны, имегот место закон сохранения энергии ЕФотоа+ я! = Ефотоа+ Е и релятивистское соотношение между энергией и импульсом для электрона Š— Рт=гп .
Из этих уравнений а!он!по найти энергиго падающего фотона таг Ефотоа = ( проверку выполнения всех этих уравнений можно осуществить, используя — Заг — 13аг " заг т СЛЕдуЮщнЕ ВСПОМОГатЕЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ: ЕФогоа — — —,, Е = —., Р=- — ) ° 12' 12 ' 121" 72. Эпергяя и частота фотона а) В случае фотона, движущегося вдоль оси л, формулы преобразования энергии и игшульса (78) сводятся к одному-единственному равенству Е' = ЕЕЬ О, — р зЬ О, = Е (сЬ 0„-зЬ 0„) = Ее-э", где ыы учли формальные определения функций сЬО и зЬО, приведенные в табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
