Э.Ф. Тейлор, Дж.А. Уилер - Физика пространства-времени (1120533), страница 78
Текст из файла (страница 78)
82. «Не превышайте скорости» Скорость приближагощейся машивы равна рт = 80 миль/час = 36 м/сгк. Отсюда рт= — "=12 10 ' Частота т' в системе отсчета машины может быть получена пз уравнения (122), если принять ц =- я. Ограничиваясь в разложении членами первой степени по р„найдем т а.мпад),' — — ' таад (1.4- —,,') (1+ — '), т' Упад(1+рт). / 1+6, Затем радиолокационный луч отражается от машины в противоположном направлении, и при зтоы в системе отсчета мавшпы частота т остается Неиз- менной.
Частоту, наблюдаемую в системе отсчета автострады (лаборатории), можно найти из уравнения, обратного (122) (см. первую форвтулу в упраж- нении 76), татр —— т'с118, (1-~-))т сод ф'). Теперь ~р'=О, так что р= 1т' -т (1+та ). ° -/ 1~-Ь вЂ” и Подставляя сюда полученное выше выражение для т', найдем тотр таад(1+))т)д ж ипад(1+2ф„). Сдвиг частоты приблизительно равен тотр — ч„д-— -ч д 2))„=(2455 Мгц) 2 12 10 г-590 10 'Мгц=590 гц.
Наименьшее изменение частоты, поддающееся обнаружению, равно »татр = 2тпад А«ат Если Ьит=-10атиль/час=-4,47 гт/сгп, то Лр„1,5.10 и, и мы получим относительный сдвиг частоты йтотр/тпад = 2»()т 83. Допплеровское уширение спектральных линий Приравняйте ньютоновское выражеяие для кинетической анергии ее выражению через температуру: з ~ т(ра)ор = 2 /гг ° Отсюда Г ы~т у'(")ор =- Р—. 1 / затт т) ( ) т' ГЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ Воаьмите уравненпе, обратное (122), т=т'сЬО„(1+~„соз<р') для того, чтобы определить сдвиг частот; положите здесь <р'=0 в всполз зуйте приближение для малых ()„: У=У ~/ — яе т ~1+ — 5„) ~1 + — ()„) ж У (1.4-~,). 'Тогда и — 'е' Дт у 2ВТ =()г з~ р' — и мее Наблюдаемая частота будет выше для тех частиц, которые приближая~тол к наблюдателю, и никее для тех, которые удаляются.
В целом прн температурах, совместимых с ньютоновским приблип<ением, долекен наблюдаться эффект рааброса частот, выражаемый полученной выше формулой (едооплеровское уширение спектральных линийе). 84. Измененве энергии фотона вследствие отдачи излучателя а) Воспольауемся законами сохранения для того, чтобы определить еяергию и импульс частицы, испытывающей отдачу: тсЬО„=*т — Е (энергия). тзЬО„=Е (иепхульс). Возведите каждое из этих равенств в квадрат и вычтите первое из зторого: те (сЬе ΄— зЬ' О,) = те = (т - Е)' — Е' = т' — 2тЕ, Отсюда следует выраженпе для энергии ще ще Е— Зз 8 частном случае, когда отношение — мало, м — и Е = (т+ т) — — т — т =- Ее 2 (тем самым определяется Ее). В точном выражении заменим повсюду т во формуле т=т — Ее, получим Е= Ее — = Ее м+м з+м — Ее г Ее т Зз 2% ай =Ее~1 — — ), что и требовалось покааать.
б) Относительная поправка аа счет отдачи при излучении атомами види мого света составляет — =(3 эв)/(2 10'е эв) =1,5 10 'е ДЕ (отдача). Ее Если /еТ ж1/40эв, то формула, полученная в упражнении 83, дает — ~')~10. 1(Р = 3.10-е Дт ДЕ -Гз т — Е, 1~ ЕС/' (по Допплеру). Мы видим, что донплеровское уширевие частот видимого света, иалучаемого атомами, намного больше, чем аффект сдвига энергии фотона за счет отдаче атома.
85. Эффект Мессбауэра Возьмем из предыдущего упражнения уравнение (123) дЕ Ее Ее 2т ' евшвния эпэлжнкнив к гл. о Как энергию испущевного фотона Е, = 14,4.10' эг, так и массу покоя т испустившей его частицы нужно выразить в одних и тех же единицах. Масса покоя протона приблизительно равна 10» эг (см. данные в конце книги); масса покоя Рео', состоящего из 26 протонов и 31 нейтрона, превышает эту величину примерно в 57 раз. Следовательно, — ж - (14 10» эг)/(2.57 10» эо) ж 10 '. со б) Когда ко = 1 з = 10 '/(1,7 10 оо кг/ироиюя) ж 0,6 10«о масс протона = = 0,6 10«з э«, мы получим ж-(14 10' эг)/(6 10»о эг) ж — 2.10 оо со — относительный сдвиг, намного меньший, чем в случае свободного атома железа! (ср. часть а)!.
в) Воспользовавшись 'результатами упражнения 72, найдем частоту: Его«нее=(14,4 10» эг)(1,6 10"" дж/эв) =23 10" дж Ьто алв то = (23 10 " дж)/(6,6. 10 " дж. сгк) = 3,5 10го гц. Ширина ливии Ьт в герцах равна Ьт = — т»=3 10'з 3,5 10го гц= 10' гц. то Относительная ширина спектральной линии, равная 3 ° 10 ", намного меньше, чем относительный сдвиг, обусловленный отдачей свободного атома (т. е. 10 ' — результат, полученный в части а)), и вместе с тем намного больше, чем относительный сдвиг в процессе без отдачи (2 10 о' для однограммового образца; см. часть 6)). 66. Резонансное рассеяние Фотон выполняет двоякую роль. Во-первых, ов возбуждает атом, прежде находившийся з состоянии с основной энергией (массой) ло, переводя его а состояние с ло.
Для этого он должен столкнуться с атомом и поглотиться им, а значит, передать ему нежелательный толчок. Следовательно, и это ео-вторых, фотон передает атому также кинетическую энергию отдачи. Если у фотона запас энергии будет достаточен лишь для выполнения первой роли, го он никак не сможет выполнить ни ее, ни вторую роль. Если, однако, атом обладает очень большой массой, то при отдаче он приобретет весьма малую скорость и потеря энергии на отдачу будет мала. Тогда энергия фотоне может быть очень близкой к разности ло — ло. Кинетическую энергию, переданную атому, з случае таких малых скоростей можно рассчитывать с помощью законов ньютоновской механики: Т ж (Импульс)о/2 (Масса) ж (м 2»о Отсюда можно ааключить, что относительная поправка для энергии отдачи приближенно выражается как Энергия отдачи Т ео — оо Энергия возбуждения щ м 2ло В слуие свободного атома желева Резо это отношение равно 14,4 ноо Р б7 Ш боб, —— 1,4 10 ', г.
е. оно слишком велико, чтобы его «ие заметил» атом железа. Атом (точнее, его ядро) требует, чтобы энергия падающего фотона выдерживалась с отно- 4 ° РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ Ка.гичество у-лоиоооо, варевистрировиннотк Относителькоа скариот» источника и лизу»от«оямаа Р з с. 154. сительной точностью около 3 10 ", иначе этот фотон не будет поглощен Если же атом принадлежит кристаллу и речь идет о «поглощении без отдачи» то отдачу приобретает масса кристалла, равная целому грамму, а зто 10«о атомов. Увеличение знаменателя дроби в 10»о раз приводит к тому, что вместо прежней относительной поправки на энергию отдачи, равной 1,4 10 "', ыы получаеы 1,4 10 о', за которой никакой атом железа не «уследит», и фотон будет позтоыу поглощен.
87. Измерение допплеровского смещения по резонансному рассеянию Возьмем первуло формулу из упражнения 78 Е = Е' с)л 0„(1+ ))„соз <р') (в«точяик в системе отсчета ракеты, поглощающий атом — в лабораторной систеые отсчета). Полов<и»1 здесь <р' = 0 и Е' = Е, и запишем результат приблежепно для малых скоростей 1)с.' Е=-Ео )I 1 " Ео (1 + — ") (1 + 2 ) Е»11+р«) иля = — =)) ° Отооснтельный допплеровский сдвиг частоты, равный 3 10 ло, получается, когда скорость также составляет 3 ° 10 'о скорости света, т. е. Р,=З 10 '».3 10» м/секае10 ' м/хек= 10 « см/сек. Число зарегистрированных счетчикоы гамыа-квантов при этом увеличиолся, так как поглотитель беспрепятственно пропустит сквозь себя больше падающих еа него фотонов, не подвергнув их резонансному рассеянию.
Когда я«точняк фотонов удаля«шел от поглотителя, относительный сдвиг частоты будет отличаться от случая приближения источника лишь знаком, что соответствует изыепенало знака 1)„. В целом поведение счетчика изобрал;ено яа рпс. 154. 88. Проверка эффекта гравнтацнонного красного смещеная е помощью эффекта Мессбауэра Возьмем формулу, получеану1о в части в) упражнения 73, ДЕ Дч — — * — Е'х, Ео чо где Ео = Е/со = (9,8 м/секо)/(3 10« м/сек)о ж 1,1 ° 10 " мlм«для точек еа поверхности Земли. Если х = 22,5 м, получим — — (22,5 м) (1,1 ° 10-" м л) — 2,5 10-".
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИИ К ГЛ. 2 /2овсичество у- квантов, варегистрированньи ое внив Скорас2иь двилпниьи иое во2иио2млв (вкиг/' Р я с. 155. (3„=2,5 10-2» о„ж 10 «и/сел=10 «ся«/сек (см. ряс. 155). нлк Результаты эксперимента Паунда и Ребки, приведенные на стр. 209, получены путем сравнения двух опытных фактов: 1) результатов измерений сдвига частоты, когда источник находился внизу, а поглотитель — вверху, как и описано в этом упражнении (уменьшение энергии поднимающегося фотона), и 2) результатов измерений этого сдвига, когда источник находился вверху, а поглотитель — внизу (увелнчение частоты опускающегося фотона).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
