Э.Ф. Тейлор, Дж.А. Уилер - Физика пространства-времени (1120533), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Следовало он<идать, что относительный сдвиг частоты в обоих случаях должен быть одинаковым, но разного знака; поэтому при вычитании одного реаультата из другого должен получаться «сдвиг», вдвое больший, чем просто при движении фотона вверх (Паунд и Ребка назвали такой сдвиг «сдвнгом в два конца»). Половинное значение численных результатов, полученных Паувдом и Ребкой, хорошо согласуется с результатами проведенных вами здесь вычислений. 89. Проверка парадокса часов с помощью эффекта Мессбвуэра При малых (2 коаффициевт, характеризующий относительное различя< в старении атомов-близнецов, можно приближенно представить, пользуясь первыми членами разложения бинома Ньютона: 1-)~1 — 8 1 — (1 — — 8 ) — () Число тик-так за 1 сек приблизительно равно у» (1 сек); поэтому накоплоиие нехватки этих тик-так за одну секунду составит около у» ( —,) (1 сек), а относительная нехватка будет равна (()2/2)«р.
Произвести оценку этой величины можно исходя из элементарной кинетической теории теплоты, Необходимо, чтобы резонансный поглотитель приближался к источнику гамма-квантов; тогда в системе отсчета поглотителя благодаря эффекту Допплера будет компенсировано гравитационное красное смещение, наблюдаемое в лабораторной системе отсчета. Вспомним, что в предыдущем упражкеиин относительная скорость р„нужная для оптимального поглощения. была найдена равной относительному сдвигу частоты излучения, которое требуется поглотить.
Эначит, скорость движения поглотителя должна быть равна Рвшкния упРажпвник аатронутой а обсуждении (см. текст упражнения). Мы получки 3 — ат — 1,33 10"ее дпе/еред 3 Т =2,5.10 е»Г, ке е 2 ее» кег ее 3? (1,6 10 йе ке)(9 10ее пе/ееке) т. е. 2,5.10 " на градус. Этот результат хорошо согласуется (конечво, как оценочный) с экспериментальными давныыи Паунда и Ребки. 90. Свмметричиое упругое столкиовевве Обозначим через Т и р соответствевво кинетическую энергию и импульс налетающей частицы, а через Т и р — кинетическую энергию и абсолютнуео величину иьшульса каждой из рассеянных частиц. Тогда для рассматриваемого случая упругого рассеяния законы сохранения будут выражаться уравнениями Т+т+т =2Т+2т Т вЂ”.— 2Т вли р= 2рсоа —" 2 Выражая импульс через кинетическую энергию, получим р='~(К« — т'= ЯТ+т)е — т»=УТ«-';2тТ.
Ут'~.2 е — е)Г( — ) .~2 ( — ) Возведем этот результат в квадрат и найдем сов —: а 2 а Т+2еп соз« вЂ” = — . 2 Т+«еп ' Вто и требовалось получить. Формула (124) непосредственно следует отсюда ввиду указанного в условии упражнения тригонометрического тождества. Если упругое столкновение рассматривать в ньютоновском приближевии, то кинетическую знергию Т налетающей частицы следует считать много меньшей, чем массу покоя любой из частиц.
Тогда из нашего уравнения следует соз а = 0 и а = 90', т. е. вывод мехавики Ньютона. В ультрарелятпвистском случае киветическая энергия Т намного превышает массу покоя т, и поэтому можно пренебречь членом 4т по сраввевию с Т в знаменателе правой части формулы (124). Тогда соз а = 1 и а = 0 — обе частицы летят после столкновения вперед. Сравните этот вывод с результатом, получепвым з упражнении 68, где показано, что одивочный фотон (самая релятивистская кз всех частиц!) может сповтавпо распадаться ва два фотока, лишь если эти последние движутся в том же направлении, что исходный фотон. 91.
Давид и Голиаф — подробный пример Решение даво в тексте. 92. Абсолютво веупругое етолквовевве Решение этого упражнения проведено в гл. 2 ва стр. 161 и 162, причем ответ записан в виде уразкения (92). Величина ткекееп = т = те + те так как кинетическая авергия налетающей частицы Т намного меньше, чем масса покоя любой из частиц. При этом условии еще допустим вьютововский подход к данной задаче с его «принципом сохранения масс». Используя в ураввевии сохранения импульса зто выражение в равенство Т=Т?2, найдем РЕШЕВИЯ ВПРАЖВЕИИИ К ГЛ. 3 93.
Порождение частиц протонамв а) Система частиц, изображенная на рис. 119, обладала импульсом до столкновения, но после этого ее импульс равен нулю. Поэтому такая реакция не могла бы удовлетворять закону сохранения импульса, а значит, она невозможна. б) Рассмотрим кадр «после» на рис. 120. Взяв вместо раалетающихся четырех частиц конечного состояния такие же покоящиеся частицы„можно «сэкономить» избыточную кинетическую энергию и уменьшить на эту величину энергию, которая была первоначально придана двум сталкивающимся протонам (кадр «до», ва рис. 120). Кинетическая энергия сталкивающихся частиц целиком переходит в массу покоя, лишь если все частицы конечного состояния покоятся.
в) Пусть Е = Т + л« вЂ” энергия и р — импульс налетающего протона (рис. 121), а Е = Т + т и р — соответственно энергия и импульс каждой частицы после реакции. Заковы сохранения имеют вид: Т+т+т=4(Т+т) или 1 Т = — Т вЂ” — л» 4 р= 4р или УТ»+2тТ 4~ Т»+2тТ. Исключая из последнего уравнения Т и решая его затем относительно Т, получим Это и есть пороговая энергия порождения протон-аптипротонной пары. Так как масса покоя протона т составляет 1 Бэв = 10' эв, то Тв,»«» 6 Бэз. г) Из формулы в части в) 1 Т= — Т- — т 4 2 находим, полагая Т=бш«что Т=т. Энергетический баланс для пороговой реакции можно кратко охарактери- зовать таким образом: из всей первоначальной кинетической ввергни бл« в массы покоя протона и антипротона превращается энергия 2ш, и все 4 час- тицы, имеющиеся по окончании реакции, приобретают кинетическую энер- гию и каждая.
д) Согласно уравнению (92) на стр. 162, т»=(л«, +э«») +2Т,т«, в случае т«=тз=т и т=4т получим 16т« = 4т» + 2Т,т и Т«=бл», что уже было найдено в части в). е) Собственно, как мишень тяжелое ядро ничем ве примечательно. Лучше всего представлять себе, что налетающий протон сталкивается в мишени с одним-единственным протоном, а ве сразу со мпогими (сравните зто с выстрелом пулей в стаю птиц). Новым качеством протона з ядре является его дзижевпе там. Даже если это движение совершается с умеренной кине- «.
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ тической анергией (Тэ = 25 Мэв) навстречу налетающему протону, это уже дает огромное преимущество, позволяя получать пары при гораздо более низких энергиях. Заковы сохранения имеют вид т+ Т, + и+ Т» = 4 (и+ Т) (энергия), ~/Тэ»+ 2тТ« — ~ Т*,+ 2тТ» — — 4 ~/ Те+ 2тТ (импульс). Исключая из второго уравнения Т с помощью первого, мол«но найти Т;.
Т« — — бт+ 7Т» — 4»"ЗТ'-~- 6Т»т. Если кинетическая энергия Т, мала, приближенно получим Т, бт — 4 ~/6Т»и. Полагая Та=25 Мэв, найдем отсюда пороговую энергию Т, яв 6000 Мэв — 4 400 Мэв = 4400 Мэв, при этом все равно, какое было выбрано ядро мишени — гелия или свинца! В формулу входит квадратный корень из энергии протона мишени, так как он дает скорость этого протона. Такое движение навстречу «обстреливающему» протону делает его кинетическую энергию (в системе центра масс) много большей, чем в лабораторной системе отсчета. Какие-то 25 Мэв позволяют сакономить целых 1600 Мэв! 94.
Порождение частиц электронами Разберитесь сначала в решении упражнения 93. Воспользуйтесь уравнением (92) ва стр. 162, приняв и = т, в качестве массы налетающего электрона, тэ = тр — массы протона мишени и т = т«+ Зтр — массы продуктов реакции (электрон, два протона и антипротон). Тогда вто уравнение даст (и«+Зтр)'=(и,+тр) +2Т,тр, откуда следует величина пороговой кинетической энергии электрона Т, = 4тр+ 2и,. Масса покоя протона соответствует 10» Мэв, а электрона 172 Мэв, так что ею можно практически пренебречь по сравнению с массой протона.
Поэтому пороговая энергия приблизительно равна 4тр — — 4000 Мэв. 95. Фоторождевие пары одиночным фотоном а) Предполагаемая реакция изображается диаграммой на рис. 156. Заковы сохранения имеют вид: Еэ о„=Е++Е (энергия), р р+- р (импульс). После (ггреолалаэатее«ий ,пвву иогаог~ Р к с. 1эб. Диаграмма предполагаемое реакции: слева одввочвый фоток до реакции, справа — предполагаемый результат реакции (пара электрон я позвтроп). Реакцка ве вдет. РешениЯ УпРьжнении к Гл. 3 Р = Епеме» т лу~.у~~ о Дя Ш,Е,р Π— « О+ — в Лдсуге Р и с. 157.
Диаграмма реально происходящей реакции: кроме фотоиа, в ией иа начальной стадии должна участвовать заряжевная частица с ненулевой массой покоя. Вместо того чтобы рассматривать все компоненты 4-вектора энергии-импуль- са, достаточно будет взять его квадрат, (Энергия)е — (Импульс)*, величина которого ве должна изменяться в ходе реакции. Воаводя в квадрат уравнения, описывающие законы сохранения, и вычитая полученные выражения друг из друга, найдем (Энергия)* — (Импульс)в= (Е*, + 2Е+Е + Е') — (р++2р+р +р') = = Ефетоя — Рабатов. Вспомвим, что равность Ее — р' в случае электрона равна просто т*, а для фотова ова дает пуль.
Кроме того, 2р+р =2р+р соя <р, где <р — угол между ваправлеииями вылета влектрова и позитрова. Разделив ва 2, получим ураввепие те+Е+Š— р+р сов<у=О или и р=Ефе о —— Зр. Воаводя в квадрат и вычитая друг из друга соответствующие части получающихся уравнений, найдем Ефетои+ 2тЕфетен+ т*- Е«фотон =- 9 (Ее — ф) = 9те. же+ Е+Е соя~у= р+ рОднако Е+ —— Уте + ре+ всегда больше, чем р+, а Е всегда больше, чем р . Значит, косинус равен величине, явно превышающей единицу, и поэтому ему ве может соответствовать никакой реальный угол ~р. Заключение: предполагаемая реакция невозможна. Это можно доказать намного проще и изящнее, если перейти к системе центра масс предполагаемой электрон-позитронной пары.
К такой систеь«е отсчета, где полный импульс обращается в нуль, всегда можно перейти, если в рассматриваемой физической системе хотя бы у одной частицы масса покоя отлична от нуля. Но в этой системе в момент «дое (рис. 156) импульс исходвого одиночного фотона никак ве может быть равен нулю: иначе была бы равна нулю и энергия фотова, так как для фотонов Е = р, и этою фотона попросту бы ве существовало! Значит, предполагаемая нами реакция нарушает законы сохранения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
