Э.Ф. Тейлор, Дж.А. Уилер - Физика пространства-времени (1120533), страница 80
Текст из файла (страница 80)
б) Рассуждения, проведенные в упражнении 93, показывают, что при пороговой реакции все ее продукты двигаются совместно с одинаковыми скоростями (рис. 157). Законы сохранения тогда записываются в виде Ефетен+ т = ЗЕ 4. РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ Лес не р и с.
158. диаграмма реально происходящей реакции: до реакции даа фотона, после реакции — злсктрои-поаитронния пара. Показан случай порогового рождения пары, когда электрон и позатроа нсподважнм отиосательио друг друга. Отсюда следует величина пороговой энергии, равная Есо„„=4т=4 (1/2 Мэе) =2 Мэе. 96.
Фоторожденве пары двумя фотовамв Сначала рассмотрим пороговую реакцию, после которой возникающие электрон и позитрон ве разлетаются (рис. 158; см. также упражнение 93). Запишем компоненты 4-вектора ввергни-импульса до и после реакции и приравняем пх: Е, +Ел =2Е, р,+рг=2р. Найдем квадрат этого 4-вектора: (ЭвеРгвЯ)с — (ИмпУльс)с= Е,*+ 2Е,Е,+ Е,'— Р,' — 2Р1Рлсоз9 — Р,*=4Ес 4ръ, Полученное уравнение упрощается, если учесть, что разность Ес — рс равна 0 для фотонов и т' для электровоз вли позитронов, а также что 1 — соз ф = = 2шпс 4. В результате найдем 2' ' Е~Езз(пг ~ =ть.
2 Выполвевие этого условия соответствует тому, что реакция идет ва пределе (пороговое условие). Если слева будет стоять большая величина, то ато авачит, что энергии, которой два фотона обладают в системе центра масс (когда их суммарный импульс равен нулю), в принципе было бы достаточно для образования пары более массивных частиц, чем злектров и позитрон. Этот избыток анергии (величины в левой части равенства) означает также, что, если на гамале деле рождается пара (е+, е ), то ее компоненты будут находиться в относительном движении и их кинетическая звергня ве будет равна нулю в системе центра масс; иначе говоря, мы будем вметь дело уже с надпороговой реакцией. 97.
Авввгиляция злеатров-позитроввой нары а) В системе центра масс перед анвигиляцией полный импульс равен нулю. Значат, ов должен быть равен нулю и после аввигиляции. Однако одиночный фотон ве может обладать нулевым импульсом. Поэтому, чтобы закон сохранения импульса не нарушался, должно быть вспущево по кравней мере два фотона (рве. 159). б) Запишем закон сохранения энергии: Е+ т= Ег+ Ех или Е, '= ( Е -+ т — Е,)с. Заков сохранения импульса ясен из рис. 160. Решения упРАжнений к гл.
г 309 р+ Ер Р и с. 159. Воспольэуемся законом косинусов Е' = Ег+ рг — 2р Ег сои ф, = Е', + Ег — тг — 2 рЕ, сов ф,. Прираввивая друг другу два выражевия для Е'„вайдам Ег -) тз ( Е',+2тŠ— 2ЕЕг — 2тЕг —— Ег+ Ег тг 2рЕ соаф . Отсюда следует выражение для Ег. эг (Аг+ Е) щ (2эг+ т) Е+ Аг — Р ссе ф! ай+ т — 605 фг ° )/тг+ 2мт м соэ фг У1+2 (т в) При аадаввой кинетической ввергни сталкивающегося позитрова Т максимальная энергия гамма-кванта реализуется при соэ ф, = 1, т. е.
фг = О, и равна ( †) Ег ) 1 м ) -. 1 — (1+2 )т)-г( Минималънал эвергия фотова соответствует соа фг — — — (, т. е. ф, = л, и равна ( †) Ег 1 иг lиии 1+(1+2эг)т) г) При очень малых Т (очевь больших отвошевиях т)Т) максималъвая и минимальная эвергии приближевво равны друг другу: ( — г) ж ( — 1) 1 (малые Т). Каждый фотон уносит энергию, раввую энергии покоя одного электрона; первовачальвой кинетической энергией можно пренебречь. =Ег Р и с.
160. или, ваковец, в единицах массы электрова т, ЦЕ, 8 ,-Г') Ы РНШКНИЯ УПРАЖНЕНИЙ 616 Е= l т Ер т Π— з О е+ е 99» Да Рлс. 16$. Р=Е,(созЗО» — ~, ) =0,58Е,. Подставляя ети выражения в уравнение для сохранения энергии, найдем Е+ О Ьа+Р=-.2,75Р= 2,75г' Е' — т =2,75г'Е+ У Е— или ~ГЕ+ т = 2,75 К Е вЂ” т. Возводя в квадрат, получим Е + т = 7,6 (Š— т), откуда следует величина энергии Е=1,3т.
Кинетическая энергия налетающего позитрона, регистрируемого таким способом, равна Т=Š— т=О,Зт=0,3-0,5 10 за=150 кзв. При очень больших Т (очень малых отношениях т)Т) максимальная и минимальная энергии испущенных фотонов резко отличаются друг от друга: '-('- — ".) ( — ) ~ » (большие Т) ° В атом случае самый богатый энергией из испущенных фотонов уносит с собой кинетическую энергию сталкивающегося поаитрона, которая очень велика. Минимальная энергия здесь составляет половину массы покоя электрона. 88.
Проверка принципа относительности а) Схему на рис. 122 можно представить в виде диаграммы (рис. 161). Заковы сохранения ааписываются как Е+т=Е,+Еы р = Е, соз 30' — Ез з(п 30', 0 =. Е~ з)п 30' — Ез соз 30'. Из последних двух уравнений следует Ез=Е, ' „=0,58Е„ Решения упгьжниннй к Гл. 3 При этом скорость ве близка к единице, и ее величину приходится нахо- дить непосредственным вычислением: Е=исЬО„=и(1 — рз) ц'=1,3и, 1 — рз=0,59, р = 0,64. б) Следовало бы регистрировать разность времен между попаданиями гамма-квантов в счетчики А и В, располоявенные на равных расстояниях от мишени. Если бы такая разность была обнаружена, она свидетельствовала бы о различии величины скорости света в зависимости от того, вперед или назад был он испущен движущейся частицей.
Соответствующие экспериментальные результаты приведены на рис, 123. 99. Отождествление частиц по трекам в пузырьковой камере а) Лабораторная снстема отсчета является одновременно и системой центра масс; в вей заковы сохранения принимают вид их=Кз+Ех=7 Рва+их+)т Рх+ихв Рэ — 58,2ив=Р». или сЬО„= е = — „' = 1000. При столь больших скоростях из равенства (89), К ж р, следует, что зй О„ ж сЬ О, 1000. Поэтому формула преобразования энергии записы- р,Е Лабораптпрпап пиппема пптзчета Р в с. 162. Гпгпм,иве оптпчепа ракеты Подставим аначенив р, следующее иэ второго уравнения, в первое и используем аначевия масс покоя меэонов, укаэанные в условиях задачи.
С точностью логарифмической линейки найдем 58и, = У(58,2ив)з+ и„'. Это уравнение заставляет думать, что и либо точно равняется нулю, либо намного меньше, чем и,. б) Спиновый момент импульса неизвестной частицы должен уничтожаться в сумме со сливовым моментом р -мезона — й. Отсюда следует, что + спиновый момент неизвестной частицы по абсолютной величине равен — й 2 и направлен в сторону, противоположную спиновому моменту р+-меэона. 100. Накопительные кольца и встречные пучки В лабораторной системе отсчета полная величина энергии, которая монзет реализоваться во взаимодействии, равна суммарной кинетической анергии сталкивающихся электронов, т.
е. 500 Мзз + 500 Мзз = 1000 Мзе = = 1 Бзп, плюс энергия покоя этих электронов, т. е. 1/2 Мзз + 1/2 Мзз = = 1 Мзп, которой можно пренебречь по сравнению с кинетической энергией. В любой другой системе отсчета полная величина энергии, которая может реализоваться во взаимодействии, будет такой же. На рис. 162 представлены ситуации в лабораторной системе и в системе отсчета ракеты.
В последней один иэ электронов первоначально покоится; найдем кинетическую энергию другого. Частица 1 может покоиться в той системе, параметр скорости которой определяется соотношением К= сЬО„ <, Решения упзлжненви 3<2 вается для частицы 2 (с импульсом — р) в виде Е = ЕзсЬΠ— рззЬО ЕсЬО +рзЬО ж 2ЕсЬ6„2Š— ж ж(2 500 Мзв) 1000 10' Мэв=10» Бэв. Такова кинетическая звергия, котору<о следует придать одиночному электрону, налетающему ва покоящийся злектров, чтобы полная звергия, которая может реализоваться во взаимодействии, составляла 1000 Мзв.
Если взять для протонов (у которых т = 1 Бэв) Е; = 10' Бэв, то, читая предыдущие соотношения в обратном порядке, получим 2ЕР— Р ж2 —" =10«Бэв Рт»< влв Тр' — — — ° 10» Бэв«ж 500 Бэвз, Т р яв 22 Бэв. Значит, протоны, «ковсерзируемые» в вакопвтельвых кольцах, доля<вы обладать энергией 22 Бзв, и полная энергия взаимодействия составит 22 + -)- 22+1 + 1 = 46 Бзв. 101. Де Бр й ь в В р Иэ упражвевия 72 иавество, что л Е=р е« однако е т=— так что л Р Ле вли л ь )< = — ч= ° РЕ Равмче где р»омчз = рс — вмпульс, выражеввый в обычных единицах. Потребуем, чтобы для электрона, движущегося по орбите вокруг ядра, зыполвялось равенство и)< =2яг, и = 1, 2, 3, ..., влв пл = 2яг, Роом чн л "Р»«ычн П вЂ” =ПГ<, П=1, 2, 3, Отсюда следует, что орбитальный момент импульса электрона гр»омч„долн<ев быть равен целому кратному й, «кванта момента импульса», Прираввяем силу алектрического притян<евия КЯе»/<з злектрова (эаряд е) к ядру (ааряд Яе) центробежной силе з<з» м»»» (Р ом )» е »<е »<с необходимой для удержания электрона ва круговой орбите.
Постоянная К зависит от выбора системы единиц (в едввицах СГС К = 1; в системе СИ, Рвшкния упзйжнвнив к Гл, 3 или МКС, К = — и меl)се): 1 4 ~~е~ (Расычи) илв (гРаеычи) = л~й~ = К2е~лчг откуда получим иейе г= КЯеет Формула (12ба) получится, если использовать систему СИ (К = 4— ); фор- 1 4 иер мула (126б) — если положить К = 1. Величину скорости )) можно найти из формулы, справедливой в случае малых скоростей: Раеычи ий ий Каср Кее Я рея тс тес тсие йе((КЯеет) ийс йс и и 102, Вйдение посредством электронов В формулу для импульса р = ееlйс подставим значения й = 10 ' м и й = 10 'Р эе, а затем найдем соответствующие значения энергии по формуле — = Р' 1 + (Р/т)е.
При )р = 10 ' м энергия получается приближенно Е равной — ж 1+3 1О ее, так что Тж 3 10 юи. Примем и =0,5 Мэв; необходимая кинетическая энергия будет тогда равна Т-1,5 10 ' Чтобы электронный микроскоп обладал достаточной раарешающей способ- ностью для наблюдения бактерий, электроны должны пропускаться через разность потенциалов не менее одного микрозольта. Такие низкие напряже- ния ва практике трудно поддерживать стабильно; более того, столь медлен- ные электроны вовсе не способны пройти даже сквозь высушенную бактерию, Поэтому пользуются электронами с энергиями з несколько тысяч электрон- вольт, н это поаволяет наблюдать детали строения бактерий.
При 1 =10 'Р м энергия должна быть равна Е Т вЂ” 2,4 10е ж —, т ' т ' Т =.2,4 10е 0,5 Мээ ж 10Р эзии1 Бэв. Для выявления деталей структуры протонов и нейтронов необходимы электроны, ускоренные не менее чем до таких энергий. 103. Прецесеия Томаса Все этапы решения этой задачи подробно изложены в тексте. 104. Трудности межзвездных полетов а) Требуемую величину параметра скорости можно определить по коэффициенту замедления времеви, сЬ 0 = 10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
