Э.Ф. Тейлор, Дж.А. Уилер - Физика пространства-времени (1120533), страница 75
Текст из файла (страница 75)
б) Переходя к релятивистскому анализу, заметим, что в системе отсчета ракеты (нижняя кинолента на рис. 103) закон сохранения импульса принимает вид т,зЬ(8> — 0„)+тези(Оз — 0,) =т, зЬ (8,— О,)+т,зЬ(ОА — 6„). РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ К ГЛ. 2 Воспользовавшись формулой (11) из правого столбца табл. 8, преобразуем здесь каждое из четырех слагаемых так, чтобы получилось соотношение вида (112). У нас появятся две скобки: первая (т«зЬ О«+ т эЬΠ— т зЬ О вЂ” т» ЕЬ 02) и вторая (т, сЬ 8, +тгсЬ 02 — т,сЬ О, — т»сЬОД. Кан;дая из них должна самостоятельно обращаться в нуль, что следует из условия задачи. Значит, должны выполняться уравнеаия (111) и (113).
Короче говоря, чтобы импульс сохранялся в системе отсчета ракеты, недостаточно его сохранения в лабораторной системе отсчета, как зто было в предельном случае малых скоростей (в ньютоновской механике), но необходимо еще, чтобы в лабораторной системе сохранялась и энергия, что выражается уравнением (113). в) Ход приведенных рассуждений в основном останется без измеаеаия, если массы покоя разлета«ощнхся частиц отличаются от масс частиц до соударенкя. При этом закон сохранения импульса в лабораторной системе отсчета принимает внд т«зЬ 0«+ т2 зЬ 02 = т«зЬ 0$ + тг зЬ 02 а закон сохранения эаергнн (тоже в лабораторной системе)— т, сЬ О, + т» сЬ 8, = т, сЬ О, + т, сЬ 02. Илшульс будет сохраняться и в системе отсчета ракеты, только если выполняются оба этн закона сохранения одновремеаао.
Что н<е касается сохранения кинетической энергии, то заметим, что, вычитан в случае упругого столкновения из соответствующих стороа уравнения (113) тон<дество т, + т« = т, + т», получим (т, сЬ 8, — т,) + (т, сЬ О, — т,) = (т, сЬ О« — и,) + (т, сЬ О, — л»2), т, + т, = т, + 12 Это и есть выражение того факта, что при упругих столкновениях кинетическая энергия сохраняется. В случае неупругпх столкновений, когда т, Ф т, и т, Ф т», сохрансння кинетической энергии нет и подобного уравнения записать нельзя.
Особый интерес представляют неупругие столкновения без излучения, но с переходом части кинетической энергии в массу покоя: т, + т») т, + т,. 62. Задачи иа пересчет а) 100 вт — зто 100 дж/сек, а так как в году около 30 миллионов секунд, то 100-ваттная лампочка азлучает в год энергию, равную 3 ° 10» дж. Это соответствует массе покоя, равной (3 10» длс)/с« = — 10 ' кг. 2 3 б) 10'2 квт ч == 10'» вт.ч = 10'» 3600 вт сек = 3,6.10'» дж.
Это соответствует массе покоя (3,6 10" дж)/с' = 40 кг. В действительности же в энергию при этом превращается более 40 кг массы, так как производство электроэнергии неиабен<но сопровождается тепловыми потерями (часть массы «уходит» з тепло): так, теряется часть теплоты прн использовании химической энергии (при сн<игании угля), теряется теплота, возникающая в результате трения из механической энергии (в генераторах гидростанций). Коаечно, оценка зависит от того, в каких масштабах рассматривать, например, струи газов, извергаемые трубами тепловой электростанции, работающей на угле. На микроскопическом уровне можно провести деление на массу покоя отдельных молекул и на кинетическую энергию их теплового движения.
Напротив, в крупных масштабах получится, что эти горячие газы имеют 288 «. Решкнш! упгьжненпп массу покоя, превьпнающую суыв«у масс попон отдельных составляющих их молекул (свь замечания по поводу «ящика с нагреты»ь газом» на стр. 176). Конечно, та же участь ожидает и ббльшую часть благополучно генерированной «по,чезной» электроэнергии, ведь ее поглотят и превратят в теплоту стены освещенной с ее по»ющыо комнаты в т. д. и т. п. Так часть массы покоя угля превращается в электроэнергвю, а потом — снова в массу покои там, где эта энергия потребляется.
И за целый год ие найти ни одного »ювента, когда хоть сколько-нибудь зал~отвея часть этих 40 кг энергии существовала в форме электроэнергии. в) Студент производит энергию со скоростью (мощностью) в 2 лошадиные силы (л. е.): 1/2 л. с. полезной мощности + 3.1/2 л. с. превращается в теплоту (2 л. е.
1500 ет). Срок, необходимый для того, чтобы превратить 1 кг массы в »перги«о, можно найти по формуле 1500 ет'~«ем= 1 кг с», откуда получается /„„= 6 10'«сек — болыпе десяти миллионов лет) Конечно, чтобы похудеть на 1 кг, никому не потребуется так долго крутить педали— химические процессы «горения» в организме чрезвычайно расточительны (коэффициент перевода массы в энергию невероятно в~аз), и удаление продуктов сгорания приводит к пал~ного более бьнтрой потере массы, чем если бы она превращалась в энергию. г) Полное количество световой энергии, испускаемой за одну секунду Солнцем, мо'кно подсчитать, умножив величину энергии излучения, проходящую за 1 сек через 1 м' поверхности, перпендикулярной падающим лучам вблизи Земли (т.
е. солнечнуго постоянную), на площадь в квадратных метрах воображаемой сферы радиуса, равного радиусу орбиты Земли,с центром в Солнце. Этот радиус равен приблизительно г = 150 млн, кл« =- = 1.5 10" м, площадь же соответствующей сферы составляет 4яг» ж 3.10«з м» Количество энергии в джоулях, уходящей сквозь эту воображаемую повертость каждую секунду, равно (1,4 джlеек м')(3 10»' м') — 4.10»з дж/еек, что соответствует скорости потери массы Солнцем (4.10«г дж/еек)/е» ж 4 10«кг/еек— приблизительно 4000 т в 1 сек.
Такова та часть массы Солнца, которая еже- секундно теряется ил« вследствие превращения вещества в свет. Количество массы такого же порядка излучается Солнцем в форме нейтрино. Кще боль- шую роль в потерях массы Солнцем играет «солнечный ветер» — непосред- ственное выбрасывание вещества в пространство. Земля преграждает путь этим потокам на площадв, приблизительно равной яг»земля ж 3 ° (6 ° 10«м)г ж 10'«м», так что на нее падает в секунду около 1,4 10'«дж энергии в форме солнечного света.
В год зто составляет примерно 4 10»' дж — почти 50000 кг энергии (массы). Часть падающего на нее света, конечно, отражается Землей, а еще некоторая часть снова излучается его в космос в других диапазонах частот. д) Скорость каждого поезда, выраженная в метрах пути на л«етр свето- вого времени, равна р = — =(45 м/еек)/(3 10«м/сек) =1,5 ° 10 '. При этом полная кинетическая энергия очень близка к той, которую дает теория Ньютона: 7'гол» 2 —.ж(10«кг)(2 ° 10 «4)=2 ° 10» кг=2 ° 10» г=20 мк„ эншеаия упуьжнкаии к гл, 3 Такова киаетическая заергия двух поездов до столкновения; она и переходит в ту добавочную массу покоя, на которую увеличивается масса поездов, рельсов и насыпи сразу же после столкновеаия.
63. Релятавистская химия 10< длс энергии соответству<от (10' длг)/с' ж 10 г кг. Это составляет оримерао 10 <г от тех 9 кг воды, которые получаются при полном соединении водорода и кислорода, а самые чувствительные химические весы неспособны зарегистрировать изменение веса, менее чем в 1000 раэ превышающее эту величиау. 64. Резятааистский оециллятор а) Нет, инженер не сможет получить вдесь сколь угодно высокой частоты. Так как скорость электрона не моя<ет быть больше скорости света, период одного колебания пе удастся неограниченно уменьшать (в системе отсчета ящика). б) Когда напряжение возрастает вдвое, кинетическая энергия электрона в соответствующих точках его траектории также удваивается. Однако ньютововское выражение для кинетической энергии, справедливое при малых скоростях, имеет вид — «<р, и поэтому скорость () увеличивается в 2/г = х 1 = 1,414...
рав при удвоении величины напряжения. Во столько же рав. следовательно, увеличится при этом и частота. в) Вывод, полученный в части б), наводит на мысль, что частота колебаний электрона увеличивается пропорционально корню квадратному из величины приложенного напряжения. Чтобы найти коэффициент пропорциональаости, заметим, что электрон подвергается постоянному ускорению в каждои половине ящика, причем на него деиствует сила, равная —. чгв Ь/2 Здесь д — заряд электрона, а Ь вЂ” ширина ящика (равная в нашем случае 1 м).
Тогда ускорение равно а = —, а время г, необходимое для того, чтобы электрон прошел путь от одной стенки ящика (где он покоился) до вго центра, определяется из обычного уравнения равноускореиного движения, < 3 < = — атз. В нашем случае г = <'-/2 и г = Т/4 (четверть периода), тогда как а 2 лается приведенным выше выражением. Отсюда в следовательно, Действительно, полученное выражение для частоты оказывается пропорционально квадратному корню ив величины приложенного напряжения Уе. г) В крайнем ультрарелятивистском случае электрон большую часть времени движется почти со скоростью света. В ревультате величина периода <ккк становится близка к тому времени, за которое свет покрывает расстояние 2Ь: 2Ь Уккк =— г или $ г т>юакв= =-т .
Уккк 2с, ' д) Начертить предлагаемый график проще, если взять не самую величину ч, а безразмерное отношение — ~ г<; —, (ньютоаовскай аредел), ч агре "макс ч (ультрарелятивистский предел). чмвкч 4, Рип!иняя упеижнинян и«тлю<па Му Д ь (ги/г Р и с. 150. Этим формулам нетрудно дать простое истолкование. Величина <уУ« представляет собой потенциальную энергию электрона, когда он покоится ок<пю стенки ящика; эта же величина равна и кинетической энергии электрона при прохождении им через сетку в центре ящика.
В любом случае она определяет энергию электрона как иолеблющегося грузика. Величина же я<о«вЂ” это просто масса покоя электрона, выраженная в единицах энергии. Разумеется, ньютоновская формула выполняется, когда частота много пенью» своего ультрарелятивистского предела, иначе говоря, если кинетическая энергия электрона много меньше его энергии покоя. Иными словами. область перехода от ньютоновского предела к ультрарелятивистскому опр»- деляется соотношением дР'э 2л<с« = 1 Мав, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
