Э.Ф. Тейлор, Дж.А. Уилер - Физика пространства-времени (1120533), страница 71
Текст из файла (страница 71)
— Прим. перез. 4. РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИИ ,IФраа = 4Х~ Р и с. 147. отсчета будут равны 6*=1)1'О„=р„ сЬО, сЬО„ Тангенс угла а/2, образованного осью х и любым из этих двух векторов скорости в лабораторной системе отсчета (см. рис. 53), дается формулой М вЂ” =- —, =, = 'г' 1 — М. р 2 =Рз сЛО, Требуется найти величину малого угла 6/2 (рис. 147), который составляет разность между я/4 радиан и а/2, откуда получается сам угол 6 как отклонение полного угла а, образованного векторами скорости в лабораторной системе отсчета, от прямого, т. е.
от я/2 = 90'. Из формулы 13 в табл. 8 найдем 12 — — Ц— ге ~ =1э1 — „— — )= 1+М вЂ” Ч— 4 2 Воспользовавшись полученным выше выражением для 18 а/2 и приняв во внимание, что 1Е я/4 = 1, а также что для малых 6 справедливо приближенное равенство 1Е 6/2 ж 6/2, мы придем к формуле 6 1 — 1/1 — 61 1 — (1 — Я/2) РР2 Я . 6 й 2 1+ 1/~ 61 1+11 — Я/2) 2 2 — 61/2 1 ' 2 где выражение У1 — 6„' было подвергнуто разложению по правилу бинома Ньютона, в котором ыы оставили лишь два первых слагаемых. От нас требовалось выяснить, при каких р„угол 6 не превышает 10 з рад.
Очевидно, это условие принимает вид 6,'(1/50 ила )),(1/7. Когда симметричные относительно друг друга скорости сталкивающихся и разлетающихся частиц в системе отсчета ракеты будут меньше этой вели- чипы, угол ме1кду векторами скорости разлетающихся частиц в лабораторной системе будет отличаться от прямого менее чем на 10 з рад. В лабораторной системе отсчета, где одна из частиц первоначально покоилась, скорость налетающей частицы поэтому должна быть меньше, чем 2р, (2/7. РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ К ГЛ.
! 41. Примеры предельных переходов к механике Ньютона Корреатно еи е етом нримере ионоаоеоеание меааниии Нонттеа» Пример Ьеижениа Да, потому чео 3 а. 1/7 Да Да Нет Да, на пределе Да Ся. з т»кот» 1/37200 (стр. Н8) 10л 1/137 79/137 4/30 10» 42. Замедление времени для р-мезона — подробный пример Решение дано в тексте. 43. Замедление времени для п+-мезона Если бы замедления времени не происходило, то из условий задачи следовало бы, что на расстоянии 5,4 м от мишени оставалась бы нераспавшейся половина меаонов.
В упражнении 10 (см. формулу (44)) было выяснено, что множитель, характеризующий аамедление времени,— это сЬ 6,. Следовательно, с точки арения лабораторной системы отсчета в рассматриваемом опыте я-меаоны будут «жить» в течение срока, в 15 раз превышающего их «собственное время жизни» вЂ” то, которое наблюдается в системе отсчета ракеты, где они покоятся. В лаборатории те же мезопы летят с околосветовыми скоростями, и поэтому они смогут пролететь около 15 «характерных расстояний» (см.
таблицу в тексте), т. е. приблизительно 60 м, прежде чем их количество в пучке вследствие распада снизятся вдвое по сравнению с первоначальным. 44. Аберрация света звезд Ориентируем ось х в направлении относительного дан>кения. В покоящейся по отношению к Солнцу лабораторной системе отс~ета свет, приходящий от далеких авезд В и 17, будет иметь компоненты скорости ))р = -ь 1 и 6а = О. В системе отсчета ракеты (Земли) скорость распространения этого света также равна единице, но теперь х-компонента его скорости будет равна †()„ т.
е. относительной скорости движения двух рассматриваемых систем отсчета мимо друг друга. Синус угла ф равняется х-компоненте скорости, разделенной на абсолютную величину скорости: з1пф= — =6,. бе е Используя это разложение в предыдущей формуле и вновь отбрасывая в окончательном реаультате члены, в которых 6, возводится в степень выше первой, получим требуемый ответ — формулу (62). 46.
Черениовское излучение Формула (63) непосредственно следует иа построения на рис. 62. Чтобы испускать черенковское иалучение в некоторой среде, частица должна в ней Этот вывод находится в согласии с реаультатами, полученными в упражнении 22. 45. Опыт Физо Закон слоя<ения скоростей (24) дает н (н + н ) ( 1 + р р ) 1 При малых 6„это выражение можно разложить по формуле бинома Ньютона, ограничиваясь лишь членами первой степени по р,: (1+6'6„) ' ж 1 — ()'6„.
276 «. РКШКН<<Я УПРАЖНКНИЙ двигаться но крайней л<ере не медленнее, чем распространяется световой импульс в этой среде. Это видно из формулы (63): косинус угла <р никак не может быть больше единицы. Поэтому в люсите частица, для того чтобы давать череш<овское излучение, должна двигаться по крайней мере со скоростью, равной 2/3 скорости света в пустоте. С другой стороны, угол <р в данном веществе будет максимален, когда его косинус имеет наименьшее значение, т.
е. при наибольшем значении скорости частиц )). Ясно, что р не может превышать единицу, так что в люснте величина косинуса <р, равная —, г всегда больше или равна 2/3. Соответствующий этому максимальный угол составляет 0,841 рад, или 48',2. 47. Искривление лучей света звезд Солнцем Путь, равный диаметру Солнца, световой сигнал проходит за время, равное 1,4 10«м, или 4,7 сек; это и есть «эффективное время кадения«светового луча, проходящего вплотную к поверхности Солнца. Полная скорость падения равна этому времени, умноя<енному на ускорение силы тяп<воти у поверхности Солнца (275 э</сск«), так что со<тавляет приблизительно 1300 м/сев, или 4,3 10 ' м пути за 1 м светового времени.
Угол отклонения луча, если он малый, можно приблизительно определить как отношение полученной скорости падения к полной скорости <в<та, т. е. к единице. Итак, мы предсказали, что угол, на который отклоняется световой луч, равен 4,3 10 ' рад. Общая теория относительности предсказывает вдвое больший эффект, что хор<яно согласуется с данными набл<одений, криведепными в конце упражнения. 48. Геометрическое истолкование Упрая<нение построено так, что каждый шаг рассуждения мал, и читатель постепенно подводится к решению; поэтому едва ли было бы целесообразно давать здесь более детальный анализ.
Но в последней части упражнения (часть к)) полезно отметить, что степень рассинхронизованностн часов лабораторной системы отсчета и часов системы ракеты определяется величиной зЬ 8, !см. формулу (46)1, которая меняет свой знак при изменении анака относительной скорости (а тем самым и параметра относительной скорости). Напротив, степень замедления времени определяется величиной сЬ 9„[см. формулу (44)), не меня<ощей знака при изменении знака скорости.
49. Парадокс часов. П вЂ” подробный пример Решение дано в тексте. 58. Сокращение или поворот? а) Свет, который приходит в наш глав в данный момент, происходит от двух событий, по-разному удаленных от глаза. Поэтому события доля<ны были произойти в разные моменты времени, и это — главное. В данном случае свет должен был выйти из точки Е на 1 м времени раньше, чем из точки 6, чтобы оба луча одновременно достигли наблюдателя. За этот срок куб, покоящийся в системе отсчета ракеты, пройдет относительно наблюдателя путь л, равный произведению )) на 1 м. б) Интересно, что, наблюдая в этих условиях маленькие объекты одним глазом, можно истолковать увиденное как поворот пролетающего мимо объекта.
Так, например, если бы куб был повернут, как на рис. 74, можно было бы видеть часть его боновой стороны и укороченную нижнюю, т. е. получился бы тот я<е эффект, который в предыдущем случае теория относительности объясняла соответственно конечностью скорости распространения света и лоренцевым сокращением.
Из рисунка видно, что угол <р такого кажущегося поворота дается вырая<ением а<п <р = ~. В пределе при р -<. 0 угол кажущегося поворота также стремится к нулю, и получается результат наблюдения, следующий из теории Ньютона. В пре- РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИИ К ГЛ. 1 деле нри р -<- 1 объект представляется повернувшимся на 90' — вам кажется, что он летит, повернувшись к вам своей боковой стороной! в) Ответы разным наблюдателям: 1) Наблюдателю в системе отсчета ракеты: «Когда объект покоится в данной системе отсчета, метод, с помощью которого вы его наблюдаете, не играет роли, так как разное время распространения света от разных частей объекта не приводит к искажению наблюдаемой картины». 2) Наблюдателю, использу<ощему часову<о сетку лабораторной системы: «Ваша система часов позволяет вам определять, в какое время происходят далекие друг от друга события, и корректно фиксировать их одновременность.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
