Э.Ф. Тейлор, Дж.А. Уилер - Физика пространства-времени (1120533), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Рассуждения сводятся к следующему. Плоскость, на которой показання часов лаборатории и ракеты совпадают, должна быть перпендикулярна направлению относительного движения этих систем отсчета, так как видеть сразу и лабораторные, и ракетные часы синхронизованныыи друг с другом можно лишь в такой плоскости (см.
часть 6) упражнения л>1 Однако лабораторная система отсчета и система ракеты во всех отношенпях взаимно равнозначны. Поэтому скорость «плоскости согласия» должна быть одинакова как с точки зрения системы отсчета ракеты, так и с точки зренпв лабораторной системы (разным может быть лишь ее направление). Какая промежуточная скорость будет сохранять свое численное аначение при переходе от первой системы отсчета ко второйг Во всяком случае, не р/2.
Предмет, движущийся в лабораторной системе со скоростью ~)/2, будет обладать а системе отсчета ракеты скоростью, не равной — р/2 (ведь скорости не просто складываются). Однако предмет, движущийся в лабораторной системе так, что его параметр скорости равен 0„/2, будет обладать в системе отсчета ракеты параллетрол> скорости — 0„/2 (параметры скорости аддитивяы). Поэтому скорость цзин<ения «плоскости согласия» должна быть равна в лабораторной системе отсчета р = «Ь —,,', если, конечно, такая плоскость существует. Математические преобразования, дающие тот же результат, состоят в следующем.
Положите в преобразованиях Лоренца (36) е = /'. Исключпте затем иа них х и найдите, чему равно отношение х/à — скорость движения Реш!.и!!н упгажнкнип к Гл. ! 15В Р и с. 142. Электрические силовые линии заряженной частицы в лабораторной системе отсчета. Р а с. 142. Электрические силовые линии ааряженной частнкы а системе отсчета ракеты. плоскости, на которой времеш! одинаковь!. Вы получите (см.
табл. 8)! 2,'зЬт — ' к сЬΠ— 1 ' 2, 0„ — 1п —" вЬОг 2вЬ ~~ ' Ь вЂ” Оз 2 2' 2 Лх = Лх' )~1 — рз, где йх' =(1 и) сов <р'. Отсюда легко вычислить величину тангенса искомого угла в лабораторной системе отсчета йр !в ф' о 1~1 — Я Длина метрового стержня, измеренная в лабораторной системе отсчета, равна Б = )! (Лх)з+ (Лу)з. Подставляя сюда полученные выше значения Лх и Лу, найдем з = 'г' 1 — ()з соэз<р' м.
Мысленно заменяя электрические силовые линии метровыми стержнямп, можно выяснить, как выглядит электрическое поло вблизи заряя;енной частицы, покоящейся в системе отсчета ракеты (па рис. 142 изобракека картина, наблюдаемая в системе ракеты, а на ряс. 143 — картина, наблюдаемая в лабораторной системе отсчета). Мы считаем, что электрическая сила, действующая на пробный заряд, покоящийся в лабораторной системе отсчета, пропорциональна плотности электрических силовых линий в том месте, где он находится.
Следовательно, на пробные заряды, располои<енные вдоль пути движения быстрой заряженной частицы (например, в точке А на рнс. 143), будет действовать сила, меньшая, чем еслн бы частица покоилась. В свою очередь на пробные заряды, расположенные в стороне от пути движения быстрой заряженной частицы, будет действовать в момент пх наибольшего сближения (например, в точке В на рис. 143) сила, превь!- шающая ту, которая действовала бы, если бы частица — источник полив 19. Преобразование углов Обозначим через йх' проекцию метрового стерн!ня на ось х' в системе отсчета ракеты, а через йу — аналогичную проекцвю на ось у . Значит, тангенс угла ф' равен 1я ф' = йу'!!хх'.
11 лабораторной системе отсчета у-проекция будет оставаться равной прежней р-проекции в системе ракеты, но х-проекция подвергнется лоренцеву сокращению, согласно выводам упражнения 9. Мы нолучнм !ху = !хр', где !ху' =- (1 м) в!и ф', 4. РИПННПЯ УПРАЖНЕНИИ збо покоилась. На этом и на подобных ему релятивистских аффектах основывается анализ электрического и магнитного полей в превосходной книге Парселла, выпущенной в издательстве Мак-Гроу Хилл. 20. Преобразование скорости вдоль оси у Из условия задачи мы знаем, что для любой пары событий на мировой линии частицы Ьх' = О. Тогда из формул преобразования Лоренца Лу=ьу, Лх=буийв„, Лг=Л1'сЬ0„, откуда можно вычислить компонеяты скорости в лабораторной системе отсчета: ги» йр б»' бе Ш' сй О, с)л Ое ))" = — =11лО„. бз 21.
Преобразование направлений скоростей В системе отсчета ракеты разнслсти координат даются соотношениями слу' =р'и)пер'.сл1' елх' =р'сои ф' ел1'. Найдем значения смещений Лу и елх в лабораторной системе отсчета, пользуясь формулами преобразования Лоренца (42), откуда угол мея<ду вектором скорости частицы н направлением относительного движения в лабораторной системе отсчета оказывается равен з)" Ч' йи сЬО, йа )3'сиз ю'+))е ' Отличие полученного угла от угла, найденного в упражнении 19, вытекает пз того, что теперь мы рассматривали преобразование скорости — величины, иключалощей время.
В последнем уравнении угол ср стремится к нулю при р„-» 1, тогда как, напротив, в упражнении 19 мы нашли, что угол наклона метрового стернспя по отношению к направленило относительного движения систем стремится к 90', когда )) „-л 1. 22. Эффект «прожектора» ') В системе отсчета ракеты прое кция на ось х пути, пройденного светом испышки, равна Лх'=соэлр'.йз'.
Чтобы найти елх и й1 в лабораторн ой системе отсчета, воспользуемся форму- лани преобразования Лоренца (42). Скорость распространения света исиышки р равна едияице как в спи томе отсчета ракеты, так п в лабораторной системе. Поэтому косинус угла между направлением луча и осью х в лабо- риторний систем: дается выражеяним бх сиз ю'+ 1), — = соиер= Ы 6„»р+1' :-)то выраисенио совпадает с полученным в упралкнснпи 21 в случае, когда 1, как можно показать па основании трмгояомитрнческнх тождеств. Лучи, распространялощпеся в переднее полушарие в системе отсчета ракеты, ~) Здесь речь идет и тим пучке лучей, который испужеи прн идииичиий мсиоиеиииа вспышке.
Если бы еирожеитирл действовал иеирерыиии и течение всего иремеии. еси ичч, папротии, рисширилси бы вокруг иси, сиииадзюшей с ииираилеииим диижеиии (»лерид или назад — иисушестиеиии), киицеитрируись с точки зрзиии пеиидиилиииси ииблюдзтели и перизидииулириим дияжеияю «прил«затирал и«при»ленин (и«пример, ии летншем вместе с иим экране). См. и сияли с этим уирижиеиие 19. Я благидиреи П. И. Фи.зиииииу, заметившему этот эффект и обрати»»лему ии него люи ииимаиие.— П)льм. перез. РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИИ К ГЛ.
! 261 Р в с. 144. Простравствен|ю-вре- менная диаграмма а системе от- счета сарая. Фест и ценная о аеннен ~~Передний конец шеспса проникает и сарай и ненненпт 2=Пас обладают углами, меньшимн, чем ~Р' = 90'. Из только что полученного выражения следует величина максимального угла для таких лучей в лабораторной системе отсчета: сезар=))„при <р'=90'. Весь снег, испущеныый лампой в ее системе покоя в переднее полушарие, собирается в направленном вперед конусе с таким углом раствора относительно направления движения лампы, если ыаблюдение проводится из лабораторной системы отсчета.
23. Парадокс эйыштейновского поезда — подробный пример Решение дано в тексте. 24. Загадка Эйнштейна Да, он увидит себя в зеркале. В его системе отсчета, как и в любой другой няерциальной системе, свет обладает одной и той же скоростью, Свое изображение в зеркале он будет видеть точно таким же, как к при любой другой постоянной скорости движения относительно земли. 25. Парадокс шеста и сарая Разрешение этого «парадоксач состоит в том, что в системе отсчета бегуна передний коыец шеста покидает сарай прежде, чем задний конец шеста входит в сарай. Поэтому с точки зрения бегуна шест вообще ни в какой момент времеыи не находится в сарае целиком. Последовательность событий моя;но подробнее проиллюстрировать двумя диаграммамя пространствавремеыи (рис. 144 и 145), численные значения длин я моментов времени ыа которых можно получить из следующих соображений.
Так как множитель, описывающий лоренцево сокращение, по условяю задачи равен 2, то (см. упражнение 9) сЬО, =2. Поэтому из тонсдества сЬ Е вЂ”.Ь Е=1 .ь е,= багз. следует, что Отсюда относительыая скорость двух систем отсчета равна Р,= Ье,= 2'. ~/з Решнння лтшлнкняний Р в с. 14б. Простран- етвевео-врем»амза диаграмма е системе отсчета бегуна. Задниц ни шесша асан в краи в мгнш ' Ф .»Г и лонги проникаараи в Г' 22.,м =лУ Пгрейнив нинеб шеста пронинагн в трай о иоснгнит Г= й им Чтобы зайти чвслопные значения, приведенные на рис.
144 и 145, достаточно воспользоваться этими данными, а также тем, что длина шеста в системе отсчета бегуна равна 20 лл, а в лабораторной системе 10 зл. 26. Война в космосе 11амеиь преткновения состоял в понятии одновременности — лв тот момшп, когда» (см. также управ»пение 11).
Точки а н а' могут поравняться друг с другом только в другом месте вдоль траектории относительн~ го движения ракет, а пе в точке, где пропзводнтся выстрел нз орудия. Поэтому ли~мент, когда точки а и а поравнялись друг с другом, может совпадать с момонтом выстрола лишь в какой-то одной из двух систем отсчета.
По условию задачи такая одновременность имеет место в системе О, так что рвс. 42 пчавилен по определению. Но рис, 43 неверен: к тому врем;ни, когда 1 У Ф в системе О поравнялотся точки а и а, выстрел уже будет пр нш»1едеиа Неверна и подпись под рис. 43: снаряд пролетит мимо ракеты с точки зрения обеих систем отсчета. 27, Парадоке часов а) Возраст отправившегося в путешествие Потра будет при его возвращении равен (в годах): 21 (возраст на старте) + 7 (время, проведенное на удаляющейся от Павла ракете А) + 7 (время, проведенное па приближающейся к Павлу ракете В), т.
е. всего 35 лгт. б) См. рис. 146. з) Исходя из величины относительной скорости, равной 24/25, найдем значение гиперболического косинуса от параметра скорости — 25 сЬО„= ): 1 — ф,'=— с=а'зЬО,+ м'сЬО„=О-л 7.— 25 лвлн. Точка в котор й Петр нзменил свело скорость на обратную, имеет в системе отсчета ракеты А координату х = О, так как Петр все время был в начале коорднпзт этой системы; время же, соответствующее этому моменту, равно в системе отсчета ракеты 1' = 7 лвт. Из формулы преобразовапия Лоренца для времени найдем, что момент измонения направления скорости в лабораторной системе отсчета соответствует гэз Ришвпия упэхжийний к гл.
Рааатаа Р Ъ ' Старт с> и с. 146. Кроме>кутик врс пепи между расставанием и встречей в лабораторной системе >тсчета вдвое превышает это 1, так что к момеиту встречи Павлу исполнится 24 + 25 + 25 =. 71 год, и он будет более чем в цва раза старше, чем Петри у тнпестве и пи к! 23. Предметы, движущиеся быстрее света з) Когда стержень проходит в своем двинсении ввиэ расстояние >ау =- = рий>'. точка А продвигается вдоль оси х пз расстояпие стх, даваемое вырансеп кем с. е. стх === — >г в> би СЗ >Г сй Ч> Поэтому скорость движении точки пересечения А раина а»а »~ кх= — = — ° аС сз и> Для любой величины ри можво подобрать такой достаточно маленький, но все же отличный от нуля угол ср, что р л будет больше единицы, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
