Э.Ф. Тейлор, Дж.А. Уилер - Физика пространства-времени (1120533), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Наблюдаемое в такой системе отсчета столкиовеиие изображено еа рис. 83. Имеется также система отсчета, в которой шар В движется только в направлении оси у. Это лабораторная система отсчета, движущаяся влево по отеошеншо к системе, в которой изображен рис. 82, со скоростью, равной х-компоненте скорости шара В. Наблюдаемое в такой системе отсчета столкновение изображено па рис. 84. Мы стремимся узнать все, что только можно, об импульсе частицы (скорость которой может быть очень близка к скорости света), исходя из даиоых ньютоновской физики об импульсе частицы с очень малой скоростью.
Для этих целей анализ скользящего соударееия подходит идеально. Мы можем подобрать такое столкновение, при котором частица-мишень обладает сколь угодно малой скоростью ие только до соударения, ио и после него (частица В еа рпс. 84). Тогда импульс частицы-мишени может быть получен по ньютоновской формуле р = тр как до, так и после соудареяия. Исходя из этого, легко определить измепеиие импульса медленной частицы (В) в процессе соударееия,' что позволит иам найти изменение ы.
имптльс Р а с. 83. То же етолккокекке, что ка рас. 82, во наблюдаемое в системе отсчета ракеты. импульса и даже самый импульс быстрой частицы (А). Исходя из симметрии схемы столкновения, очевидно, что приобретенный частицей В импульс вдвое превышает величину ее импульса до соударения, так что —, ° (Изменение импульса В) =т — „, .
1 ку 2 Импульс пропорционален величине перемещения частицы ва единицу собственново времени Частица А передает часть импульса частице В, но не за счет изменения абсолютной величины своего импульса, а за счет изменения направления своего вектора импульса. Иными словами, переданный импульс составляет мекыпую и известную нам сторону треугольника импульсов. Другие две (равные друг другу) стороны этого треугольника являются большими и неизвестны нам. Однако мы знаем, чему равны как длинные, так и короткая стороны подобного треугольника — треугольника перемещений. Из пропорциональности соответствующих сторон подобных треугольников мы в После Ло Г Р к с.
84. То же столкковекае, что ка рвс. 82, ко наблюдаемое к лабораторной скстеие отсчета. 3. импульс и эинггия 146 сразу же получаем (см. рис. 85) выражение для импульса быстро движущейся частицы А: р=т — =т (Перемещение за единицу собственного времени). (70) аг 1Й Компоненты этого вектора по отдельности' ) раины: р =т а ~ р~=т — ~ р — т— л аз в ду « »т ' «т ' ат (7>) Массу наиболее целесообразно определять как не зависящий от скорости коэффициент в выражении для импульса Из исследования импульса, проделанпого на рис. 85, ясно, что величина т — зто масса в том смысле, в каком ее понимают в ньютоновской механике.
Поэтому т есть величина постоянная, одинаковая для всех скоростей, всех положений и всех моментов времени. Все различие между реляавъ тивистской формулой для импульса (например, т ° — ) и соответствующей / ав1 ньютоновской формулой (т* — ) сводится поэтому к различию между собст° ш) венным и лабораторным временем, а не к различию в т при этих двух описаниях природы. В некоторых преп>них изложениях теории относительности ав> ньютоновское выражение для импульса (т ° — ) исправлялось не путем о>) простой замены с>г на с>т, принятой сейчас, а путем введения «массы движения>, зависящей от скорости таким образом, чтобы можно было продолжать пользоваться формулами типа Ньютона, например: ав р" (релятивистская величина) =т аа а> ' Эта масса движения должна тогда быть равна и таааж«аз а = т вт = -~'~ — й« (72) >) Почему нв р„, а р"3 В чатырехморной геометрии пространства-ар«меня а отличие от евклидовой геометрия пространства сущестаонпо распопожвнно индекса (см.
подробпоств относнтепьно стандартных обозначеннй н прнмвчаннн на стр. >57). в лабораторной системе отсчета. В системе отсчета ракеты компоненты импульса даются выражениями, аналогичными формулам (7>) с той лишь разницей, что в них фигурируют дх', с>у и аг — компоненты перемещенин, измеренные в системе отсчета ракеты. Интервал собственного времени дт' между двумя близкими событиями на мировой линии частицы обладает одним и тем же значением при вычислении исходя из данных, полученных на ракете, и при вычислении на основании лабораторных намерений («инвариантность интервалаз).
Поэтому излишне различать дт и дт'. Кроме того, величина ду' (в системе отсчета ракеты) равна величине с>у (в лабораторной системе отсчета), а также дг = с ау, а« = дг . Следовательно, компоненты импульса р = т — и р = т —, пера« ат пендикулярные к направлению движения ракеты относительно лабораторной сиопехы отсчета, не зависят от скорости этого движения. Импульс аналогичен перемещению в том отношении, что поперечные компоненты этих обоих векторов не зависят от скорости движения наблюдателя. Такая аналогия этих двух векторов имеет очень простую причину: импульс получается из перемещения (с>х, Ьу, бг) путем умножения на величину т/бт, одинаковую во всех инерциальных системах отсчета! ы.
импульс 147 т— бу аз Диаграмма оввсмсщвиий Р и с. 65. Вывод релятивистского выражеаия для импульса аз аакоаа сохранения импульса в случае скольаящего соудареиия. Частица В движется настолько медлеаао, что ыьютоаовское выражеыяе для импульса представляет собой сколь угодно хорошее пряближеаие для ее импульса: (Импульс) = = т.ЬВВ/Ьгп. Здесь Ьгп — вРема, эа которое частица В пролетает расстояыяе луп от аижаей границы рисуака до точки соудареыяя. Это лабораторное время по своей величине сколь угодно блиако к собствсннвму времеыи полета Ьтп по той же прячиве, а имепио потому, что скорость В может быть выбраиа сколь угодно малой. (Пример: при 8 = 0,01 отаосительпое различие величав Ьт и бг составляет 5.10 '".) Поэтому импульс В можно ааписать как т Ьуы/Ьтп.
Зная величяыу ямпульса В, можяо ыайтп величину импульса р,в частицы А, сравнивая изображеааые здесь диаграммы для импульса и для перемещеыйя А (правало подобаых треугольников). Для частяцы А у-компоаевта перемещения может быть сделапа равной у-компояепте перемещевия частицы В (си»»матричное расположеаие впала» и «потолка», о которые ударяются соответственно А я В): дул = Ьуа —— Ьу. Промежуток собстввнново врсмвни между моментами соудорснив и удара об ков (котелок) также один и тот оюв длк А и В: /Втл — — Ьтл. Доказательство.
1) Двпжеаие частицы Л в системе отсчета ракеты совпадает с двпжепием частицы Е/ в лаборатораой системе отсчета (ср. рис. 83 я 81), Поэтому собстввннмс времена полета равыы адью другому: (/втл)система ракеты =(/втв)лабораторяак свстсма. 2) По собственное время между двумя событиями (столкаовеппе и удар) одпыаково во всех системах отсчета, т.
е. (бтл)лабораторыаа свстема= (бтл)система раивтм. 3) Следовательно, (игл)лабораторвая светова=(итп)лабораторван система что и требовалось доказать, Конечно, лобороторнмв чаем показывают совершенно развые продолжительности полетов частиц Л и В, если Л обладает скоростью, близкой к скорости света: (огл)знабораторная система=(бтл) кабораторван састема+(бкл) набор»торная свстсма )) вз вз Ъ (лтл)злабораториэн система=(отл) лабораторная система = (йгВ) иабараториан система. Поэтому импульс частицы Л в конце копцов выраясается аепосредствеыао через величавы, которые отиосятся лишь к движааию Л: рл = т (Ьгл/йтл). Переходя от коыечяых разностей к производным и вспомиыая, что импульс и перемещепяе обладают одыпм и тем же направлением, получим р = т (бт/бт).
Зто и есть релятивистская формула для импульса, справедливая для частицы, обладающей сколь угодно высокой энергией. э. Импульс и знизгия 148 Такое обозначение еще можно иногда встретить. Однако в физических рассуждениях полезнее всего испольаовать величины, одинаковые во всех системах отсчета, такие, как ш и Ыт. Этот факт сейчас получает все болев широкое признание. Поэтому мы будем обычно понимать под термином «масса» не вависяи1ую ош скоросп»и величину т. Релятивистский импульс сводится к ньютоновскому в пределе малых скоростей Насколько велико различие между релятивистским и ньютоновским выражениями для импульса7 Релятивистское выражение для импульса должно сводиться к ньютоновскому, когда скорости частиц малы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
