Э.Ф. Тейлор, Дж.А. Уилер - Физика пространства-времени (1120533), страница 39
Текст из файла (страница 39)
рис. 89). Подробности хода этих рассуждений и различные формы записи пространственных и временнйх компонент всех этих трех 4-векторов приведены (В приведенном здесь частном случае полная пространственная компонента перемещения вр- -р ., в.рь- в ° ° "р р в' в'(в*) «-(ы'е-ве(' ' 'ю ' Р р р компоненту едииачного вектора касательной, рааиую — еЬ 0.) Р я с. 88.
Единичный касательный вектор к мировой ливии частицы, полученный деленяем 4-иектора перемещения АВ (рис. 87) ка ииаарнаитный интервал собстееииото времени Ыт. Временная и пространстиеииая компоненты единичного иеитора касательной раины (т й 1 1 1 > (>е — ((~ ((( — (в*(в (' >(( — В >(( — в в 1 сьв — сьв ев ~е Е'Бев: е сЬе В сЬе О и Ая ((л (Ый 1ЬВ 1 )р (яб (((*)е (('1 — ОЫй)е (/1 ре (р 1 — тве В 1ЬО 1ЬВСЬВ )à —— свт 0 ЭЬе 0 ((Рсйе 0 — ейе 0 сЬВВ СЬ28 2. импульс и знввгия $52 Р и с.
88. 4-кектор знергяи-импульса, полученный при умножения единичного аекгора касательной (рнс. 88) па постоянную массу и частицы. Временная компонента его вазызается «релятизистской знергиеи» и обозначается через Е. ыа рисунках. Не может быть никакого сомнения в том, что 4-вектор (й, Ых, Ыу, й) остается 4-вектором после деления его на величину Ыт и уыноже- ния ыа величину т, которые обе остаются одиыаковыми во всех системах отсчета.
Сохранение энергии Е в одной системе отсчета следует иэ сохранения импульса во всех системах отсчета Эти равенства ые нарушатся, если их разделать с обеих сторон па инвариант- ный интервал с>т =Ыт' и умножить на инвариантную массу т: Ыл' Ыл Ыг т —, = т — сЬ О„вЂ” т — зЬ О„, Ыт' Ыт " Ыт — — — ЬО,+ — ЬО„ ЫЕ Ыл ет Ыт' Ыт Ыт Ыу' Ыу Ыт' Ыт Ыг' Ыэ т= —,=т— Ыт' Ыт л Ыэ Ыл Ыг Но т —, т — и т — — компоненты релятивистского импульса, а т —— Ыг ' Ыт Ыт Ыт времеыная компонента нового 4-вектора, т.
е. та самая величина, которую мы решили назвать «релятивистской энергией Е». Мы пришли, таким образом, к следующим нажным соотношениям, свяаывающим импульс и новую величину Е в одной системе отсчета с импульсом и Е' — в другой инерцвальной системе отсчета: Е'= — рлзЬО,+ЕсЬО„р'"=р*сЬ΄— ЕзЬО„, р'"=р", р'* р'. (78) Этим и исчерпывается краткое введение во взаимосвязь между импульсом и энергией. Перейдем теперь к важному вопросу: почему временную компоненту получившегося 4-вектора можно называть энсрвисй7 Причины две.
Во-первых, потому что эта компонеыта имеет правильную размерность— она выражается в единицах массы. Во-вторых, и это важнее всего, потому что полная величина этой компоыенты сохраняется при всех столкновениях. Доказательство того, что сумма значений Е для всех частиц подчиняется закону сохранения, базируется на простом соображении: если три компоненты каково-либо 4ввктора сохраняются во всех системах отсчета, то чепюсртая компонента также должна сохраняться (см.
табл. 9). Мы знаем, что три (пространственные) компоненты полного импульса физической системы сохраняются во всех системах отсчета. Поэтому полная временная компонента его тоже сохраняется. Подробности этого доказательства см. пинте. Формулы преобразования Лоренца для элементов смещеыия при переходе между лабораторной системой отсчета и системой ракеты можно записать в виде (37): г>г'= — ЫхзЬО,+>м'сЬОг, Ых'=ЫхсЬО,— агзЬО„ Ыу' = Ыу, Ых' = Ыз.
13. 4-Вектор энергии импульсА Преобразования Лоренца для энергии и иынрльса Рассмотрим теперь столкновение двух частиц; пусть р,* и р," будут соответственно х-компонентами импульса этих частиц до столкновения, измеренными в лабпрапшрной системе отсчета, а Ег и Еэ — их «релятивистскими энергиями» в этой же системе. Пусть аналогично р,'* и р',* будут х-компонентами импульса этих частиц до столкновения, измеренными в системе отсчета ракеты.
Для того чтобы записать х-компоненту полного импульса в системе отсчета ракеты до столкновения, следует сложить друг с другом два выражения х-компоненты импульса (для каждой частицы), Таблица 9. Неизменность нмпульса в двух снстемах отсчета гарантирует вон»модность энергвп в обеих свстемах СВЯЗЬ С ОБСУЖДЕНИЕМ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ Равенство нулю х-компоненты вектора в обмой системе отсчета никак не облетчает мсследонанне поведепня с-компоненты этого вектора. Здесь в»обращены трп вектора, обладающве разными абсолппнымн нелпчвнамв (к один нэ ннх вообще равен нулю), которые нее кажутся одинаковыми для последователя, знающего лишь велвчнву вх х-компонент. Взглянусь па этот же вектор пэ другой снстеыыотсчета — эначнтсраэу жа обпаружвть раэввцу между векторами, паэавшвмпся одинаковыми в прежней системе отсчета. Допустнм, по, как мы внаем, пространственная комповыпа некоторого 4-ведтора равна нулю в двух разных снстеыах отсчета, Тогда можно быть уверенным, по этот 4-вептор вообще ранен нулю (случай, внображепвый справа).
Закон сохрэпенкк кмоульсэ утверждает, что полнея сумме кмпульсоэ после оголкпоэепкл равна солкой сумме кмпульсоэ до сгодкноэеппд. Илп, что то же самое, кмеетск опреаелепкэк эелкчккэ — кэ. мэнепке полного кмкуэьсэ прк сголкноэенпк. о которой мы жжем, что онэ рээка нулю, Но это еше ке эсе.
Нэм нужна эск ккФормеднк о полном 4-эекторе (рээном кэмп<экою полного 4" эгкторэ эсэр" гкк-кмпульоэ прк столп коэенкк). Рассмэтркээк одну только прострэпгтэеккую компоненту (нлк, пэ пешей дкэгрэмме, удостоэеркэшксь только э рээекстэе нулю х-комдэкэктм этого 4-»екторэ), мм кккэк ке мок<ем эдэсь доказать, что рээнэ кулю к »ременная комсокекта (нпэче говоря. что р»эко нулю к»песенке эпергок). Раеенстэо нулю щюсгракстээкпой компоненты (»эмсульслой компопэнтм») определенного 4-эекгорэ (который к есть рээкссть дслнмх 4-эектороэ экергкк-кмлульсэ до н после отодекоэенкд) э дэух рээлпчпьп системах отсчете гарэдткруэт, что эсе компоненты этого 4-эекгорэ ° ообже равны дулю.
Знэчкт, пэ того Факса, чтоемпульс сохрэкдетса кэк э лабораторной сксгеме отсчете„тэк к э скстеме отсчете" рэкжм, пшено жкэючэть, что к эпэргкя сохрэппетск е обенх скот«мех. 154 з. импульс и энкэгия фигурирующие как второе уравнение в системе (78): (р'*,-(-р,'*) =(р,"-';р,") сЬО,— (Е, +-Е,) зЬО,. Такое же уравнение можно записать для этих частиц и после столкновения (две отдельные частицы после упругого столкновения; одна объединенная частица при неупругом ударе и много частиц, если неупругий удар сопровождался дроблением).
Можно следующим образом сопоставить зти уравнения до и после столкновения: зЫВ (79) спбе— зобе (ВВ) с!еВ,— Второй раз в этой главе мы потрвбуеэе, чтобы импульс сохранялся при столкновениях как в лабораторной системе отсчета, так и в системе отсчета ракеты. Ввиду этого требования каждая иэ скобок, обозначающая импульс в уравнении (79), будет равна соответствующей скобке, обозначающей импульс в уравнении (80). Если справедливы оба уравнения, причем соответствующие скобки для импульсов равны друг другу, то скобки, обозначающие энергию, также должны быть равны.
Поэтому в лабораторной системе отсчета полная релятивистская энергия одинакова до и после столкновения: полнал релятивистская энергия при столкновениях сохраняется. Свойства полной релятивистской энергии Из этих рассуждений ыы получаем три вывода. Во-первых, мы можем сопоставить каждой частице массы т «релятивистску!о энергиюэ Е=т- —. ое вт ' Во-вторых, если имеется несколько свободно движущихся частиц, то релятивистская энергия атой системы равна сумме релятивистских энергий отдельных частиц.
В-третьих, когда зти частицы разлетаются друг от друга после соударений и анергии отдельных частиц изменя«отея, полная релятивистская энергия системы остается той же, какой она была до столкновения (сохранение релятивистской энергии). Свойство аддитивности, когда энергия системы свободных частиц равна сумме энергий отдельных частиц системы, знакомо нам на прил«ере имяуль- Де еекелкмоееммл: колкая к-комповевта импульса, каблюдаемая в системе отсчета ракеты 1-й этап: эти члены реевы друг другу ввиду закона сохравеввя импульса! Песке екюлкмоеемкл: колкая к-комяовеита импульса, ваблюдаемая в системе отсчета ракеты Де екьелкмеееммл: полиая к-комповевта импульса, вабвюдаемая в лабораторвой системе отсчета 1 2-й этап: этп члены равны друг другу ввиду закова сохрввеивя импульса! После екеелкмеееммл: колкая к-комповевта импульса, иаблюдвемая в лабораторвой системе отсчета До окелкмеее- ммл: колкая релятвэвстская эвергкя, каблюдаемая в лабораторной системе отсчета 1 Вывод: эти члены равны друг другу, что доказывает сохранение релятиввстской эвер- гки! После ею«ламе«е- мка: полная релятивистская эвергпя, ваблюдаемая в лабораторной системе отсчета 12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
