Э.Ф. Тейлор, Дж.А. Уилер - Физика пространства-времени (1120533), страница 40
Текст из файла (страница 40)
4-вектОР энеРГии-импулься са, когда полный импульс физической системы складывается из импульсов входящих в нее частиц. Факт такой аддитивности говорит о том, что для нахождения энергии системы частиц достаточно вычислить энергии всех входящих в нее частиц по отдельности. Другие способы выражать энергию Выражение для релятивистской энергии частицы может быть записано множеством способов, причем целесообразность использования каждого из них зависит от обстоятельств. Так, согласно рис. 89, мы получим Е=т — = =тсЬО.
ат 1/1 а> (81) Какие можно сделать заключения о связи между релятивистской энергией Е и скоростью из этого соотношения? Какие заключения можно сделать отсюда о связи между Е и энергией в ньютоновской теории? Между энергией и импульсом? При очень малых скоростях )) можно разложить выражение для релятивистской внергии в ряд по степеням р, пользуясь формулой бинома или каким-либо другим методом: Е= =т (1 — ~з) '~~=т(1+ —,+-6-()в+...).
Если скорость р достаточно мала, в атом разложении можно ограничиться с любой желаемой степенью точности первыми двумя членами: Е ж т (1 + —, 1 =- т + — х (малые скорости). бз 1 г>бз (82) 1 Но адесь —, трз — обычное ньютоновское выражение для кинетической 2 энергии, взятое в единицах массы. Значит, релятивистская энергия имеет о«>ношение к кинетической энергии частицы, хотя она (величина Е) и не равна этой кинетической знергии ввиду наличия добавочного члена т.
Этот добавочный член сохраняется, даже если частица находится в состоянии покоя, т. е. вообще лишена кинетической анергии. Поэтому член т позыва>от энеРгией показ Е„,„ек частиуы, Е „,„=т (энергия покоя в единицах массы). (83) Выражение для энергии покоя частицы в обычных единицах Еео можно получить из выражения для энергии покоя в единицах массы, умно>кая последнее на множитель перевода сз. Мы приходим тогда к анаменитому выражению Е„„,пое„ч„=тсг (энергия покоя в обычных единицах).
(84) Включение энергии покоя су>цестпвенно для выполнения закона сохранения Невозможно удовлетворить требованию сохранения импульса и энергии во всех инерциальных системах отсчета, если не учитывать во всех системах энергию покоя в составе полной анергии. Этот урок, преподнесенный нам физикой пространства-времени, никак не предполагался в ньютоновской физике. Механик» Ньютона не знает выражения для энергии покоя частицы, хотя, правда, в ней допускается добавление к энергии частицы любой постоянной добавочной энергии без нарушения законов, описывающих движение этой частицы. Предельное значение релятивистского выражения для энергии в случае малых скоростей можно рассматривать как нахождение величины этой ранее произвольной постоянной.
з. импульс и энвргия Релятивистское еыражение для кинетической энергии Моткно считать, что релятивистская энергия частицы в любой систеые отсчета складывается из двух частей: энергии покоя частицы тн плюс дополнительной энергии, которой обладает частица благодаря своему движению. Этот добавок и есть кинетическая энергия частицы. Тогда релятивистское выражение для кинетической энергии иыеет вид Т = Š— Е„к,„= т сЬ 0 — т = тн (сй 6 — 1) = 1 =т( — 1) (кинетическая энергия в единицах массы).
(85) (— Это выражение для релятивистской кинетической энергии справедливо для частиц, движущихся с любыми скоростями. Напротив, ньютяоноеская формула для кинетической энергии 1/2т()а верна лишь для медлетвных частиц. При возрастании скорости и ее стремлении к скорости свет» энергия возрастает безгранично. Поэтому, если бы мы даже располагалп неограниченными энергетическими ресурсами, вам все равно не удалось бы разогнать частицу до скорости света.
Таблица 10 иллюстрирует зто быстрое возрастание энергии, необходимой для ускорения частицы по мере приближения ее скорости к скорости света. Энергию как вреыенную компоненту 4-вектора энергии-иыпульса пли как сторону треугольника на рис. 90, направленную вдоль оси времени, Таблица 10. Энергия, которую дол>кап получкть атом водорода (ю = 1,67 10 а" кв) для того, чтобы приобрести скорость, близкую к скорости света раввывинив, нрвасвнивв ввввиавас ввннюкаа внв *инивв выарива»рн вввииввании ввв~на 1а чавивиин ва время. исаа чаввиииа нв вывыанвив на т ам 'ибычн *~~~ычи мм ивсв твбычн Обновннна внвиваоавврви вин\в виыс внвнаии 2 ° 10 и 10 в 3 10 в 0,5 0,99 0,99999 2 см 1,15 0,15 1 м 7,1 8,1 1 км 222 221 Кяпатячсская экоргкя одной круннпкп поваренной соля, упавшей с высоты 1 см 0,999...99 (13 девяток) 10п м ') 2 2,10в 2 2.10в 3 10-а Кяявткческая энер- гия одной круппов дробянкя, упавшей с высоты 1 см 7,1 10в 7,1 ° 10а 10м 0,9999...99 (18 девяток) Кдв м в) Кяпотяческая эпсргкя одной крупной дробвпкн, уяаашей яэ окна третьего атажа 7,1.10'а 7,1 10ва 10в Кяяаткческвя эаергяя иотоцюсла, движущегося со скоростью 40 км/час 0,9999...999 (28 девяток) 1Оы м а) в) около а/в расавоаиия ов савела да звяка.
в1 Около одного светового гоРа. в) Пркблиаичвльиаа расстояние до самоа дааамаа сфототрафкровакиоа в касвоащва время талак° ииа. 13. 4-Винтов эннргии-импульса Р в с. 90. 4-вектор звертив-юшульсе. можно вычислить по методам, обычно применяемым для нахождения сторон л«обого треугольника. В двух основных методах используются пропорциональность и теорема Пи4агора. Чтобы найти энергию как функцию скорости, мы пользовались подобием треугольника тЕр и треугольника свт с(в с(л (сы. рис. 87). Из пропорциональности их сторон мы нашли соотношение В дс т ат Т~~ ()« Теперь же нас интересует зависимость Энергии от импульса. Чтобы найти ее„достаточно проанализировать один лишь треугольник тЕр, но при атом необходимо и»«еть в виду, что для него справедлива не евклидова, а лоренцева геометрия. Квадрат гипотенузы определяется тогда не как сумма, а как разность квадратов катетов, так что т'= Е' — р' (в единицах массы).
(86) Масса как абсолютная величина 4-вектора энергии-ил!пульса Но так определяется квадрат «длины» 4-вектора энергии-импульса '). Эта формула совершенно аналогична выражени«о для квадрата чотырехыер- ') По ряду причин удобно еырахсать квадрат абсолютяой зеличивы 4-воктора через зсе четыре комвоиевты »того вектора, однако ври этом следует быть яесколысо болев вяиыитольиыы, чеы ири записи квадрата 3-мерного вектора е еиклвдовом пространстве. В этой книге, как в е большей частя современной литературы, 4-векторы записываются через вх коыповеяты с верхними инда!свми (ковтраиариавтиые компоненты): ! Ш ик с(у ив (рс=Е=т —, рх=т —, рв=т —, р*=т —.
йт ' ат с(т йт ' В другом предстазлевив используются нихснис индвксы (коаарвактиые компоненты), Однаиа всв кростронстввнныв кос!кон«носы яри етод меняют вник! !(! с(у их Рс=т — в Ру= о! — ° Рх= — !и — 1 дт дт ' Ыт ' и! Р! = — !ив дт в! Вх= — к~ Вв= — у, Вв= — в В этих обозвачеввях ивеериавтвый квадрат интервала для события, отделенного от начала иремеввоподобвым интервалом, имеет стандартный звд т« = В!В!+ Пхни + Ввде+ Вв В в = !» — *« — уа —,» Воля же интервал является вростравстаевиояодобвым, его квадрат следует ааписмаоть как о» (В!В!+Виях ) Водоч Всдв) — !«+к«+у»+в« Этя деа альтернативных представлеввя, использующие ковтраварвавтиые я ковариавтвые комповевты (верхние в ввжвие нвдексы), примеввмы ве только к р, ио в к другам 4-векторам, в«пример к радиусу-еектору В, соединяющему качало коордиват некоторой ииерцвальиой свстеым отсчета с каким-либо давимм событием (кировой точкой), так что яс-! Дх-к ду у яв 3.
импульс и эпиРгия ного пространственно-временнбго интервала между соседними мировыми точками на ыировой линии частицы (й) =И() -(й). В обеих формулах слагаемые, стоящие справа, зависят о; состояния движения частицы или той системы отсчета, в которой производится наблюдение. Иными словами, отдельные компоненты 4-вектора энергии-импульса (энергия частицы Е и ее импульс р) обладают разными значениями в лабораторной системе отсчета и в системе отсчета ракеты. Левые части каждого из этих соотношений (масса покоя т и интервал т), напротив, одинаковы во всех системах отсчета. Явное выражение для энергии через иьшульс можно получить из формулы (88), разрешая ее относительно Е: Е = ~l тз + рэ.
(87) Это выра>кение справедливо в равной мере как при больших, так и при ыалых импульсах, причем его можно упростить для обоих предельных случаев. Выражение энергии через импульс: ньютоновский и ультрарелятивистский предельные случаи Иогда импульс р мал по сравнению с т (т. е.
когда скорость () весьма мала по сравнению с единицей — «нерелятивистский предел»), выражение (87) люжно разложить, пользуясь формулой для бинома или каким- 4-вектор энергии-импульса является зременпоподобным 4-зектором по зссьмз простой причине: ведь две последозательпме мировые точки пэ мировой ла~аа одной н той;кв частицы разделены времепаоподобны»~ затерзало»ь Поэтому квадрат абсолютной величпнм этого вектора следует вычпслять по формуле, апэлогпчпой фор»гуле дзп ч», т. ~. (К адрзт абсолютной эелпчвпы) =Ри»г+Рздг+Ргдг+Ргдг= ~лг Я»и)» — (Вг)г — (Вз)г — (Вг)г) г(тз эгз Е геометрии Егклпвв, где векторы обладают ляшь пространственными комповептаив, такое разлнчпе между зэрхвпмп п нижними нпдексамн вэсущестзевво, в тзм часто вспользуются лишь ппжвне иидексы, причем в евклидовой геометрия знак пространственных ковтразарвавтпых я коварнаатпых компонент берется одвв н тот же.
Однако г гггмгжрпи пдгещдангэыв-едем»пи, где существует разница в знаке пространственных компонент, взятых с вэрхввма яэа с впжвпмп пвдексамп, необходимо явно учатмзать ковтразэраавтвость а коварпзвтпость ко»шопепт. Кроме того, обычно удобнее работать с ковтрззариаатвымп компопептамп 4-вектороз (зерхпве индексы!), так кзк амепво этп компопепты часто бмвэют пепосредствэвпо связаны с коордппзтамп мировых точек, дяфферэацяэлм радиусов-векторов которых являются коатраэарпзвтпыма по определению э произвольных састемзх коорднвзт (пе только в декартовых). (Е орагнвале книги это примечание кмело несколько иной знд, з ямепно авторы прппяля, что прв переходе от ковтрзварязптных к коварпаатным компонентам пзмеппют зпзк пе пространственные, а врэмеввая компонента 4-вектороз, что позволяет проще увязать аэложеапэ с езкллдоэой геометрией дпя 3-мерных векторов.
Одвзко в современной литературе, особенно по общей теория отпосптельности, преобладает протвзоположкый эмбер спгпатурм, тэк что многие авторы перепела к прввятой пзмя здесь записи компонент векторов и з частаой теории отпосвтэльпостя, вапрамер Л, Д. Ландау я Е. М. Лвфшпц в последпэм вздавпп (1967 г.) »Теоряп поля». Для того чтобы стапдартвзпрозать пзложепве, перезодчаку пришлось несколько наменять данное примечание, сохрзивв общий стиль авторов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
