Э.Ф. Тейлор, Дж.А. Уилер - Физика пространства-времени (1120533), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Здесь не утверя«дается ничего нового об импульсе (и зто не релятивистское выражение для импульса!), лишь подчеркивается, что время измеряется в метрах. Ио когда время измеряется в лсетрах, импульс имеет размерность массы. Для того чтобы перейти к обычным единицам (например, кг м/сек), требуется лишь домножить этот импульс на коэффициент перевода с (скорость света), чтобы перейти от )) к о, так что (Ньютоновский импульс в обычных единицах) =трс=то.
Импульс и энергию удобнее всего выражать в единицах массы Подобным же образом в ньютоновской механике кинетическая энергия частицы определяется как произведение массы на квадрат скорости, разделенное на два. Взяв скорость (1, измеряемую в мlм, получим ньютоновское выран«ение для кинетической энергии в виде — трз. Здесь не утверждается 2 ничего нового об энергии (и это не релятивистское выражение для энергии!), лишь подчеркивается, что время измеряется в метрах. Ио когда время измеряется в метрах, энергия имеет размерность массы; и энергия, и импульс обладают одной и той же размерностью. Для того чтобы перейти к обычным единицам (например, джоулям), требуется лишь домножить эту энергию на коэффициент перевода с«(квадрат скорости света), чтобы перейти от р«к «р, так что (Ньютоновская кинетическая энергия в обычных единицах) =.
— тргс' = — тиг. 2 2 Мы будем обозначать импульс (р) и кинетическую энергию (Т), выраженные в единицах массы, без дополнительных значков. Итак, в ньютонов- 2. импульс и энвэгяя 142 оком пределе малых скоростей р=тр (малые скорости, размерность массы). 2 т" При этом мы снабдим обозначения для импульса и энергии в обычных единицах индексом «обычв», подчеркнуто громоздким, чтобы вызвать неприязнь к использованию обычвых единиц.
Тогда в ньютоновском пределе малых скоростей Ровылв = ти 1 . (малые скорости, обычные единицы). (68) 7«вычо = —,тп ) 2 (67) В этой главе мы выведем релятивистские вырая»евия для энергии и импульса в единицах массы. Энергия и импульс, выраженвые в единицах массы, могут быть просто переведены в величины обычной размерности путем умножения соответственно па с и с". Эти результаты подытожены (в обеих системах единиц) на внутренней стороне обложки книги. И. ИМПУЛЬС Много ли моя<во узнать об импульсе, не обращаясь к эксперименту„ а просто из сведений, которыми мы располагаем о структуре простравствавреыени? В частвости, если вообще существует для кая»дой частицы такая векторная величина, которую мы называем «импульс», причем сумма этих величии для всех частиц при взаимодействиях последних сохраняется, то как должен импульс любой частицы зависеть от ее скорости? Так как импульс — величина векторная, наы следует прежде всего выяснить направление этого вектора для данной частицы и уже затем найти зависимость его модуля от ее скорости.
Начнем с обоснования того, что вектор импульса Ив соображений симметрии следует, что импульс параллелен скорости частицы ориентирован по направлению ее движения. Этот вывод можно получить из соображений симл»етрии — мощного метода физического анализа — следующим образом.
В инерциальвой системе отсчета пространство одинаково во всех направлениях, так что мы называем его извтрвпным. Раз это так, то одним-единственным направлением, связанным с движением пря»юлинейно летящей частицы, попоет быть лишь то направление, в котором происходит это движение. Если бы вектор импульса частицы ве был направлен в точности по ее движению, а составлял, скажем, угол 30 с направлением движения частицы, то су«цествовало бы громадное множество векторов, все повернутые на 30' по отношению к направлению движения и совершенно равноправные, каждый из которых мог бы изображать импульс.
Но ведь простпавство изотпопно! Поэтому мы не могли бы предпочесть ни одного из этих векторов остальным. Но, однако, мы предположили, что импульс определяется одаозначко как по своему модулю, так и по направлению, если задана скорость. Значит, мы столкнулись с противоречием, от которого можно избавиться, лишь привяв, что вектор импульса должен лежать вдоль направления движения частицы.
Но это значит, что можно выбрать его как параллельным, так и автипараллельвым этому направлению, и мы произвольно выбираем направление вектора импульса, $1. ИМПУЛЬС совпадающее с направлением скорости частицы '). Итак, можно окончатель- но сказать, что вектор импульса частицы совпадает по направлению с ев скоростью. Нахождение зависимости импульса от скорости на основании закона сохранения импульса Итак, мы знаем уже, как направлен вектор импульса частицы.
Вторым этапом исследования будет определение абсолютной величины (модуля) этого вектора. Это можно сделать, потребовав, чтобы полный импульс сохранялся при упругих столкновениях. Вместе со свойством инвариантностп интервала в лоренцевой геометрии зто требование окажется достаточным для того, чтобы показать, что ньютоновское выражение для импульса р=т(3(=тьЬО)=т (Смещение за единицу времени) должно быть заменено релятивистской формулой р = т зЬ О * = т (Смещение за единицу собственного времени). (69) м() яг Коли скорость р мала (т.
е. Мал параметр О), точное релятивистское выражение (69) приближенно совпадает с ньютоновским выражением. Возьмем в качестве сталкивающихся объектов два одинаковых шара А и В и предположим, что между ними происходит не лобовое (редкое) столкновение, а скользящее (типичное). Всегда можно найти систему отсчета, движущуюся с такой скоростью, что скорости шаров до столкновения равны н противоположны по направлению (рис. 82). В этой системе отсчета полный импульс двух одинаковых шаров равен нулю.
Закаюченке о равенстве кулю полного импульса следует яз таких соображений свмметрни: допустим, что полный импульс в атой свмметрячяой по скоростям сястене отсчета отлвчен от нуля. Тогда, как мы сейчас уаядкы, возникает противоречие. Есля ') Мы могли бя, конечно, выбрать напрзвленяе вектора импульса частипы крогооооколоегкнм (антнпараллельяым) направлению ее дзкжекяя. Такой выбор соответствовал бы симметрии данной задачи и не приводил бы ня к кокни физическим протяеоречиям, если его респростреннть на есе чзспщы. В таком случае нмпульсы отдельных частиц н полиыв импульс системы обладали бы направлениями, противоположными направлениям соответствующих импульсов, определенных выше.
Однако по трздикян ыы ориентяруеи вектор ямпульса частицы о том жс вапраялеяян, каков имеет ее скорость. Р ис. 82. Скользящее упругое столкяоееяяе, наблюдаемое в сястеме отсчета, которая движется таким образок, что обе шара имеют Во столкновения одинаковые скорости, но движутся во взаимно противоположных направлениях. Рассуждения, прпведеняые в тексте, показывают, что косое упругого столкноненин оба шаре движутся вновь с кх персояачальвымя скоростямя, а направления ях деиженкя снова взаимно противоположны, есля ях наблюдать в тов же сястене отсчета. Нри соответствующем выборе системы отсчета полный импульс до столкновения равен нулю ~п/) 4 З. ИМПУЛЬС И ЭНЕРГИЯ !44 другое язз шара азчяазют дзягаться я точности тая же, яак А а В аа рас.
82, зрячем оаа отличаются лишь теы, что аа место шара А аоыешеа шар В, а аа место  — А, сятуацяя ае люжет азыеваться. Поэтому аолаый алшульс долм<ее остаться теы же сал<ым яая по величине, тая я во аааразлеаяю, что а аолаый ямзульс системы аа ряс. 82 (мы ае изобразили его там, аотому что па самом деле ов разеа аулю!). Но ведь азображение апзого столкновения ыожяо получить, если рассматраззть рас. 82, позерауз азату вверх ногами (поворот аа <80' о ее собстзеааой плоскости). А зто арззодат я азаеаеааю аааразлеаая полного ямаульса аа обратаое.
Следовательно, возаый вектор аапульсз ае доля<ев озыеаяться арв повороте аа 180'! Это протазоречве асчезяет, лишь соля полпь>8 вектор импульса ао модулю равен аулю. Итак, до столааозсвая дзе тождестзеааые частицы обладают разаыыа а протяяоаоложао направленаыаа яааульсама. Что же произойдет после столкповеиия? Шары должны и тогда двигаться во взаимно противополоа<ыых еапразлоыиях с равными скоростями.
Если бы это было ие так, то сумма их импульсов ие была бы равна нулю и полный импульс ие сохранялся бы при соударепии в нарушение принятого требования. Ограничимся (лишь временно) анализом соударений, являющихся упругими по следующему определению. Если просматривать кинофильм, л<зобрая<а<ощпй процесс столкновения, в обратном порядке, то в зт<>м процессе ие произойдет никаких пзыопеоий, кроме того, что частица А стала двигаться теперь справа палево, а частица  — слева направо, тогда кзк рапьше все было наоборот.
В этом смысле упругое соударение— это такое соударепие, которое обратимо. Если изображенное яа рис. 82 соударепие является в этом смысле упругим, то каждый шар изменяет лишь направление своего дви>кеиия, по ие абсолютную величину скорости (пе считая момепта удара), и в результате эффект соударепия сводится к простому повороту векторов скорости обеих частиц. В этой системе отсчета можно выбрать иаправлееия осей х и у таким образом, что х-компопенты скоростей обеих частиц пе изменятся при столкповееии, тогда как пх у-компоненты просто изменят знак.
Описание столкновения е трех разных системах отсчета Нас интересует анализ у-коыпоиепты полного импульса и сохранение этой компоненты при лаком столкиовепии. Для этого проще всего рассмотреть столкновение в такой системе отсчета, где шар А движется только в направлении оси у. Это система отсчета ракеты, летящей вправо по отношекию к системе, в которой изобрая<ея рис. 82, со скоростью, равной х-компоненте скорости шара А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
