Э.Ф. Тейлор, Дж.А. Уилер - Физика пространства-времени (1120533), страница 18
Текст из файла (страница 18)
, соз 0« Поэтому формулы преобразования переходят в Ьх= Ьх' сов 8„+ Ьу'.вш 0„, Ьу= — Ьх' вш8,+Ьу'.сов8„ (29) я мы можем заключить, что связь между старыми и новыми координатами приобретает наипростейший вид, если коэффициенты в ковариантных преоб- разованиях выразить через «тригонометрические», или «круговые», функции угла поворота. Упрощение формул преобразования Лоренца путем введения парометра скорости Обратимся теперь к формулам преобразования Лоренца, записанным через относительную скорость: Ьх= (1 — ~«) мЬх'+р„(1 — Я) ~«Ь1', ьг =-0, (1 — б«)-н«л '+ (1 — р«)-ц«ьг'.
Как станет выглядеть эта пара уравнений, если мы выразим в ней скорость р„ через «улучшенную» характеристику движения 0„? Ответ таков. Вспомним, что скорость и параметр скорости связаны между собой соотношением 0,=«Ь0,. Отметим, что коэффициенты в формулах преобразования Лоренца зависят от р„и тем самым от 0„.
Эти коэффициенты' равны (1 — (1«) н = (1 — 1)««8„) а 94 0„(1 — 0,*)-'" = 1Ь 8„(1 — ) «8„)-'". (31) Полученные выражения на первый взгляд довольно сложны. Тем не менее они вполне определенны. Мы знаем, как найти величину 1)«8„для любого заданного вначения 8„(см. рис. 31 и сопровождающие его рассуждения). Знание величины «Ь 8, позволяет нам вычислить выражения (30) и (31) с любой желаемой степенью точности для любого наперед заданного значения параметра скорости. Эти две функции О„настолько вая«ны, что каждая из них (30) Для того чтобы сориентироваться в этом вопросе, рассмотрим сначала аналогичную задачу в евклидовой геометрии на плоскости ху. Станет ли фор- мула (19), выражающая одну систему координат через другую, Ьх=(1+8«) ~«Ьх'+Я, (1+о«) ~«Ьу, Ьу — Я„(1+ Я„') ' 'Ьх'+(1+8«) 'Ьу', менее сложной, если выразить относительный наклон Я„осей у и у' через обычный угол О,? Ответ: коэффициенты в преобрааованпи поворота прини- мают вид 1+ о«п« „«0 н«( со«~0~+«1вп 0«1-на ( 1 ~1-пг 74 !.
ГЕОМЕТРИЯ ПРОСТРЛНСТВЛ-ВРЕМЕНИ получила свое собственное название в теории гиперболических функций. Если мы приме»«стандартные названия для этих функций, то это никоим образом не повлияет на наши возможности определять величины этих функций в любом интересующем нас случае без испольвования каких-либо руководств или справочников, своими собственными силами. Поэтому мы примем н будем в дальнейшем употреблять следующие стандартные наавания: (1 — 1Ь» О,) и =СЬ О, =(Косинус гиперболический О,), 1Ь 0„(1 — 1Ь' О,) гэ = зЬ О, = (Синус гиперболический О,). Это названия, и не более чем наавания1 Испольвуя их, мы найдем, что формулы преобразования Лоренца принимают вид йх = йх' сЬ 0„1- й1' зЬ О„, Ч1 = йх'.
зЬ О, + й1'. сЬ О,. (32) Преобразование Лоренца, выраженное через параметр скорости Отсюда мы заключаем, что связь между старыми и новыми координатами приобретает наиболее простой вид, когда коэффициенты преобразования выражаются как гиперболические функции параметра относительного движения О, систем отсчета. Более того, будучи выражены с помощью гиперболических синуса и косинуса, формулы преобразования Лоренца еще больше, чем ранее, напоминают стандартный тригонометрический вид (29) формул преобразования поворота. Как можно лучше уяснить себе и прочувствовать свойства фигурирующих в преобразовании Лоренца гиперболических функций? Два самых интересных и существенных их свойства вытекают непосредственно из определений (30) и (31). Во-первых, отношение (33) совершенно аналогично соответствующему отношению для тригонометрических функций. Во-вторых, разность квадратов двух гиперболических функций равна 1 11««0„1 — «Ь« О, "" — зЬ"-1-тьз в„-1-сь "О, — ~-сьэ в,'-' Сопоставьте эту формулу с аналогичным соотношением для тригонометрических функций: соз' (угол) + з1п* (угол) = 1.
(35) Сравнение тригонометрических и гиперболических функций ') Уравнения (34) и (35) допускают простую геометрическую интерпретацию. Отложи»«на рнс. 32 по вертикальной оси функцию «косинус», а по ') Авторы здесь и з других местах вместо термина «тригокометрическийэ говорят «круговойэ. Действительно, тригопометрвческие фупкции, как зто видно из дальнейшего обсуждекия, тесно связаны с простейшей кривое второго порядка — окружностью, тогда как пшерболические функции связапм со свойствамк другой кривой второго порядка, гиперболы. Поэтому между ними много общего. Однако в переводе мы пользуемся болев принятым в отечественной литературе термином «тригонометрический».— Прем.
верее. Е.ПАРАМЕТР СКОРОСТИ Р и с. 32. Тригонометрические функции: график связи между косинусом и аннусом — окружность. Пример: ! (3/5)«+(4/5)« =1 4 у и3 о $6 и сбп9 горизонтальной оси — функцию «синус» (одного и того же аргумента). Уравнение (35) тогда описывает окружность единичного радиуса, н поэтому тригонометрические функции можно называть «круговыми». Напротив, уравнение (34) описывает при аналогичном построении гиперболу (рис. 33), и поэтому мы говорим а «гиперболических функциях». Знак «плюс» в соотношении сов«а + з(пза = 1 происходит оттого, что для получения квадрата длины вектора нун«но сложить его х- и у-компоненты, возведенные в квадрат. Почему же в соотношении СܫΠ— вЬ» О = 1 фигурирует знак «минус»? Потому, что квадрат пространственно-временного интервала определяется как разность квадратов удаленностей событий во времени и в пространстве.
еле Р в с. 33. Гиперболические функцви: график сея»и между гвперболвческвми косинусом в синусом — гипербола. Првмер: (5/3)« — (4«3)» 1. 1. ГЕОМЕТРИЯ ПРОСТРЛНСТВЛ-ВРЕМЕНИ тз Проверка того факта, что преобразование поворота е евклидовой геометрии остаеллет неизменной длину Разные знаки в соотношениях соз' а + з1п' а = 1 и сЬз Π— зЬ* 0 = 1 связаны с различием между понятиями длины в евклидовой геометрии и интервала в лоренцевой геометрии. Рассмотрим по очереди более подробно и ту и другую геометрии с этой точки зрения.
Удостоверимся вновь в том факте, что в евклидовой геометрии ковариантное преобразование координат (29), выраженное теперь не через величину наклона, а через тригонометрические функции, обеспечивает выполнение инвариантности длины. Для этого вычислим в штрихованных координатах квадрат длины: (Длина)г = (Ох)г+ (Оу)з = = (Ох' соз О„+ ну' з)п 0„)'+ ( — Ьх' зш О„+ Оу' соз 0,)з = (Ох')г соз 8 „+ 2 (Ох') (Оу') соз О„зш 8, + (йу')з зшз 0„+ +(йх)з з!пз О, — 2 (пх) (Оу') з1п О„соз О, + (йу')г созе 8, = = [(Ьх')з+(Ьу')з[.(созе О„+шпз 0„) = =(Ох')з+(Оу')з (подчеркнутые члены сокращаются).
Тем самым мы провели инвариантность выражения для длины. Отметим, что соотношение сов* О„+ з[пз О„= 1 играет важную роль, связывая понятия ковариантности (преобразование координат, сводящееся к изменению ориентаций координатных осей) и ннвариантности (неизменность длины при переходах между системами координат). Проверка того факта, что преобразование Лоренца оставляет неизменным интервал Ясно, что связь менгду ковариантностью и инвариантностью в лоренцевой геометрии основывается на соотношении сЬз ΄— зЬз О „= 1. Это видно из вычисления квадрата интервала (как пространственноиодобного, так и временноподобного) в штрнхованных координатах: (Интервал собственной длины)з= = — (Интервал собственного времени)' = =(Удаленность в пространстве)г — (Удаленность во времени)з= = (йх)з — (Ог)з = =- (йх' сЬ О, + Ог' зЬ 0„)з — (йх' зЬ 0„4- йг' сЬ 8,)з = = (Ох')з сЬ' 0„+ 2 (йх') (М') сЬ О„зЬ О, + (ОГ')з зЬ' О,— — [(Ах')г зЬ' О„+ 2 (Ьх') (ЛГ') зЬ О„сЬ О, +(йг')з сЬ'0„[ = = [(Ох')г — (йг')г[(сЬ'О, — зЬ'О„) = = (йх')г — (Ог')г.
Так мы вновь проверили (простейшим возможным способом) тот факт, что преобразование Лоренца Оставляет неизменным выражение для интервала. В, ПЛРАМКТР СКОРОСТИ Обратное яреобраоооание Лоренца Как мы уже вполне убедились, преобразование Лоренца служит для перевода информации с языка системы координат ракеты (х', г') на язык лабораторной системы координат (х, 1). Кроме того, этот «словарьз во всех отношениях согласуется с универсальным языком интервалов (непротиворечивость коварнаптного н инвариантного описаний в физике пространства-времени). Но мы нуждаемся в большем — ведь турецко-английский словарь можно купить в одном переплете с англо-турецким.
Так где же этот второй «словарь теории относительностиз? Как совершить обратный переход от х н 1 к х' и 1'? Если первый словарь соответствовал формулам х=х сЬВ,+1'яЬВ„, 1= х' яЬ 0„+ Р сЬ 0„, (36) то какие формулы будут служить для обратного перехода от лабораторных к ракетным данным? Ответ: преобразование Лоренца, обратное преобразованию (36)', задается формулами Ь„— 1яЬО„ 1' = — х яЬ О, -(- Г СЬ 0„.
(37) Табнпка О. Тригонометрические и гиперболические функции ОПРЕДЕЛЕНИЯ Трио«ноно>клич«скис функции Гинербоаичвскис функции вв с-в зЬ 9= ,«в в-«в 1. з1п 9= 2. «ЬО= + 2 3. «Ь О=— зЬО сЬ О Оз Оз 9> 4. «ЬО .О+ — -'- — + — +.. 3! 3! ' 71 в'в+в-«в соз 9= «1п 9 109=— соз 9 9з Оз 9> з!и 9=9 — — += — — + ° ° ° 3! 31 7'. Доказательство. Подставьте последние выраясения для х' и 1' в формулы (36) н покажите, что получаются тождества (т. е. если перевести английское слово на турецкий язык, а затем снова на английский, то мы снова придем к исходному слову, если только каждый кз словарей действительно является обратным по отношению к другому!). В табл. 8 формальные определения гиперболических функпууй и некоторые соотношения для ннх записаны параллельно аналогичным определениям и соотношениям для тригонометрических функций.
Здесь через е обозначено основание натуральных логарифмов, численно равное 2,7!8281..., а через «обозначен квадратный корень из минус единицы (мнимая единица), так что 1« = — 1. Обычные правила сложения к умнов«ения экспонент справедливы и для экспонент, содержащих «. Угол 0 берется в обычных нли гиперболических радианах, но не в градусах. Выра>кения типа 4! обозначают факториал; так, «четыре факторпалз = 4! = 4 Х 3 Х 2 Х 1 = 24. Чтобы рааобраться в этих соотношениях, получите равенства 7 — 13 из определений 1 — 6 на обеих сторонах таблицы н качествепно покап«ите, как из них вытекают графики на рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
