Э.Ф. Тейлор, Дж.А. Уилер - Физика пространства-времени (1120533), страница 17
Текст из файла (страница 17)
А определяется она следующими двумя свойствами: а) Зта функцпя должна правильно описывать закон сложения скоростей. Тогда из соотношения 70 Е ГЕОМЕТРИЯ ЛРОСТРАНСТВА-ВРЕМВНН 6) Прн малых скоростях парами тр О должен переходить в обычную характеристику движения — скорость (1, Зто требование означает, что функция (Ь О должна становиться сколь угодно близка к О при стремлении О к нул!о. Вспо»«ним, что обычный тангенс обычного угла стремится по величине к этому углу в пределе малых углов, если углы измеряются В Радианах. Если измерять углы в градусах, то следует ввести поправочный множитель л/180'.
Здесь подобным же образом было бы можно измерять параыетр скоРости и в единицах, аналогичных градусам и минутам, но проще всего те единицы, при которых (Ь 0 — О. малые Е Назовем эти единицы «гиперболическими радианами»; они безразмерны. Как можно найти связь между параметром скорости и скоростью нз свойств (а) (адднтивность) и (6) (равенство (Ь 0 = 0 для малых значений параметра скорости)? Построение таблицы длл тангенса гиперболического Ответ.
1) Начнем со столь малого параметра скорости О, что его ФЬ 8 мо>иет быть приравнен 8 с требуемой степенью точности. Примем, например, (Ь0,01 =0,01 з качестве первого шага для построения таблицы тангенса гиперболического. 2) Следующий шаг состоит в использовании закона сложения (27): (Ь 0,02 = 1Ь (0,01+ 0,01) = РЬ0,0(+(ЬО,О! 0,0(+0,0! !+«Ьо,о! «Ьо,о! (+0,000! 3) На этом этапе следует условиться о том, с какой степенью точности мы будем брать численные значения.
Почему бы, например, не принять (Ь 0,02 равным 0,02 точно так же, как мы приняли (Ь 0,01 равным 0,01? Однако е знаменателе формулы (28) стоит слагаемое О,ОООН Его наличие означает, что число 0,02 отличается от величины (Ь 0,02 приблизительно на 1: 10«. Условимся же теперь вычислять все значения (Ь 0 с точностью до 1: 10', Поэтому нам потребуется учесть поправку 0,0001, стоящую в анаменателе. Но если нам понадобилось учитывать такую поправку при вычислении (Ь 0,02, почему бы не учесть ее ив (Ь 0,01? Потому что там она была бы еще меньше. Иными словами, разница между ЬЬ 0,01 и 0,01 равна величине, которой можно пренебречь, если условиться брать результаты с точностью лишь до 1: 10'. С этой точностью мы получим в конце концов $Ь 0,02 = '," = 0,019998.
4) Найдем теперь значение !Ь 0,04: е) 0 04 (Ь (О 02 +0 02) «Ь 0 02+«Ь 0 02 2.0,0! 0 039980 1 ! «Ь 0,02.ГЬ 0,02 1+(0,0(9999)е Поправка в знаменателе изменяет теперь численную величину результата примерно па 4: 10'. Тем не менее этот результат верен с точностью около 1: 10'. Он получен на основании точной формулы (27) в применении к значениям гиперболического тангенса, которые сами были верны с точностью 1: 10'. Э. ПАРАМЕТР СКОРОСТИ 71 5) Дальнейшие шаги при построении таблицы значений гиперболического тавгенса аналогичны предыдущим.
Так, зная ЭЬ 0,04 и 1Ь 0,01, мы можем вычислить 1Ь 0,05 = 1Ь (0,04 + 0,01). Мы получим далее 1Ь 0,1; 1Ь 0,2 и 1Ь 0,4, а затем 1Ь 0,5 = 1Ь (0,4 + 0,1). Аналогично мы вычислим 1Ь 1, 1Ь 2 и все прочие значения 1Ь 8, которые нам потребуются. Так злы получим результаты, подытожевные на рис. 31.
Различие между параметром скорости и обычным углом Иа рис. 31 сраау же видны два свойства параметра скорости, никак не свяаанпые с конкретным выбором чисел. Во-первых, наклон кривой функции 1Ь О относительно 8 стремится к единице при малых О. Это — новое выражение того факта, что скорость () = 1Ь 8 и параметр скорости О стремятся друг к другу при стремлении О-ч О. Во-вторых, когда параметр скорости стремится к бесконечно большим положительным (или отрицательным) значениям, то скорость (л = 1Ь 8 стремится к плюс (или минус) единице.
Другими словами, допустимы ллобые значения параметра скорости на всем интервале значений от О = — со и до О = + оо. Различие между эгиперболическнми углами» нли параметром скорости, область изменения которого неограниченна, и обычными углами очевидно. Обычный угол не приводит ни к чему новому, когда он превысит конечный интервал от 0 до 2я радиан.
Параметр скорости и постоянство скорости света Как связаны представления о параметре скорости и о законе сложения скоростей с тем элементарным физическим опытным фактом, который привел Р и с. 91. Связь между параметром скорости 6 и сеной скоростью 6 = ЭЬ 6, получаемая непосредственно из ззиовэ сложения 1ЬЕ,+РЬВ, ~ ( '+ з)=1+166,.»ьез' иэи это описано е тексте. Например, пусть пуля винусизетси ео скоростью й' = 0,75 из ракеты, движущейся со скоростью 6, = 0,75.
Требуетсн найти скорость пули й относительно лабораторной системы. Мы знаем, что зддитивны не скорости, а вараметры скорости. По графику для точки л находим 6' = 6, = 0,973. Сложение дает 6 = 6' + 6„= = 1,946. Для этого аначепин параметра скорости находим по графину точку В и еэличйну сиерости 6 = 0,96. Тот же результат получен другим способом в тексте (стр. 66).
> гиомнтРия пРостРАнства"ВРимкни физику к пространственно-временной точке зрения>' Вот самая непосредственная из возможных связей. Из результатов наблюдений и всего того, что ужв в 1905 г. было известно об электромагнитных волнах, Эйнштейн был вынужден заключить, что скорость света одинакова во всех инврциальных системах отсчета. Это жв можно сказать иначе, переводя на язык мысленных опытов: фотон, выстреленный со скоростью света из быстро движущейся ракеты, движется относительно лаборатории со скоростью, равной осе той лсе скорости света. На языке параметра скорости можно сказать, что ракета обладает конечным параметром скорости 8„, тогда как величина параметра скорости фотона (р' = 1) бесконечна (8' = оо; см. асимптотическую часть кривой в верхней правой части рис.
31). Прибавьте к бесконечности конечное число. и вы получите снова бесконечность в качестве суммы 0 = 8' + О,. Поэтому скорость фотона в лабораторной системе отсчета равна р = хЬ 0 =ФЬ оо = 1. т. е. это снова скорость света. Мы замкнули круг, вновь вернувшись к идее, лежащей в основании теории относительности: скорость света имеет одну и ту же величину во всех системах отсчета. Простота описания деижения с помои(ью параметра скорости Мы пришли к заключению, что естественной характеристикой движения является параметр скорости, подчиняющийся простому аакону сложения: 8 = 8' + 0„.
Но почему же наша интуиция не подсказала нам сразу идеи введения этого парамвтраг Почему гиперболические углы не знакомы всякому школьнику так же хорошо, как обычные углыг Ответ на это прост. Обыденный опыт сталкивает нас со всякими углами — и большими, и малыми. Поэтому не найдется простачка, который стал бы, складывая наклоны 8' = 1 (угол в 45') и 8, = 1 (еще раз 45'), утверждать, что он получит наклон, равный 8 = 8' + 8, = 2 (т, е. угол в 63'26', что неверно!).
Все знают, что правильный путь — зто складывать углы (сумма в нашем при>>ере равна 45' + 45' = 90', чему соответствует наклон 8 = оо). Но обыденный опыт не сталкивает нас со скоростями, близкими к скорости света. Автомобили, реальные ракеты и реальные пули движутся со скоростями, крайне малыми по сравнению со скоростью света.
Поэтому и потребовалось долгое время, пока люди нв узнали истинной физики пространства-времени. Но теперь, наконец, мы поняли разницу природы закона сложения скоростей (громоздкое уравнение (24)) и закона ело>кения параметров скорости [про. стае уравнение (21): 8 = 0' + 0„). Более того, те наблюдения, которые прежде обескураживали (например, равенство величины скорости света во всех системах отсчета), стали описываться очень просто на языке параметра скорости. К тому же этот параметр, как и зсе, что входит вместе с ним в пространственно-временную структуру физики, совершенно необходим.
Если вы хотитв описать природу физического мира такой, какая она на самом деле у этого четырехмерного мира, то у вас нвт никакого другого выбора, кроме описанных выше идей. Эта железная необходимость становится все очевиднее по мере того, как в обиход нашей цивилизации, нашей индустрии входят электронные и ядерные установки, а вместе с ними — сверхбыстрые частицы. Обходного пути нет! Параметр скорости — такой >ке простой способ для описания скорости движения, как обычный угол — для описания наклона. Но, согласившись с этим выводом, какую выгоду извлечем мы, пытаясь упростить формулы преобразования Лоренца3 ». плглмвтг скогости Упрощение евклидова преобразования поворота путем введения угла Я (1+5)) и:=:108„.соз0,=- «1вв' созб,==в1п0„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
