Э.Ф. Тейлор, Дж.А. Уилер - Физика пространства-времени (1120533), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Знак «минус» в лоренцевой геометрии связан с минусом в выражении для квадрата интервала. 9. ПАРАМЕТР СКОРОСТИ Аддитивность углов подсказывает воэможность определения аддитивного параметра скорости Все ли исчерпано? Мы выяснили, как перейти от компонент взаимной удаленности событий, известных в одной системе отсчета, к аналогичным компонентам в другой системе отсчета. Короче, мы записали ковариантный закон, связывающий компоненты в разных системах, как для преобразования Лоренца («преобразование в плоскости х, с»), так и для поворота («преобраэоэание в плоскости х, у»). В первом случае формулы содержат параметр )) ° (относительную скорость систем), а зо втором — параметр 8, (относительный ваклон осей).
Однако нн один из этих параметров не позволяет еще получить самое простое описание взаимоотношения рассматриваемых систем координат. Было бы желательно заменить как р„так и 8„более естественвыми параметрами. Оказывается, найти такой более удобный способ описапия движения н поворота систем можпо. Лучшей характеристикой поворота является угол. Аналогично самой удобной характеристикой движения систем вместо скорости является некоторый параметр скорости В, который еще должен быть найден. Лучше всего можно понять смысл и значение этого параметра скорости прп описании относительного движения систем отсчета, если сначала выяснить, почему угол — более удобный параметр, чем наклон прн описании поворота. Ответ таков: потому что угли аддитивны, а наклони — нет. Что означает зто утверждение? Взглянем на рис. 26.
Вектор ОА имеет наклон относительно осп у'. Этот наклон можно описать величиной 8' (отношеннем числа единиц длины з направлении оси х, приходящегося на единицу расстояния э направлении оск у'). В данном случае мы имеем 8 =— 2 9 ' Вместе с тем вектор ОА имеет наклоа к оси у, равнын 7 8= —, 6 в ось у' в свою очередь обладает относительно оси у наклоном 3 8 =— е Вопрос: выполняется ли следующий закон для наклонов: < Наклон ОА Наклон ОА Наклон оси у' относительно = относительно + относительно оси у оси у' оси у 1.
РЕОМЕТРНЯ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ Наклоны в евклидовой геометрии не аддитивны Проверка (аэкспериментальная математикаа): 7 2 3 — = — + — ? 6 З 4 42 6 27 — = — + — ? 36 36 36 42 = 8+ 27 =- 85? ! Неверно ! Вывод: наклоны не аддитивны! Вонрве: раз наклоны не аддитивны, т. е. Я не равняется сумме В' и В„, то как же найти правильно наклон В иэ наклонов Я' и Я„? Ответ: (по определению наклона) (деление числителя и ана- менателя на Ьу ) (ав >ау )+ да — 3 (М')ау')+1 Окончательный вывод: В= (20) 1 — 33, Иныааи словами, наклоны Я и Я, люгут считаться аддитивкыми, лишь если произведением В'.В„стоящим в знаменателе, >южно пренебречь по сравнению с единицей.
Аддитивны углы наклона Так как наклоны пе аддитивны, а значит, неудобны для описания отн >- снтельного поворота двух систем координат, то как же выбрать лучшую характеристику этого поворота? Ответ: взять угол между осями у и у'. Почему? Потому что углы подчиняются простому закону ело>кения (рис. 28): < Угол между ОА1 (Угол между ОА>) (Угол ые>кду осями иосьюу >) (~ иссьюу' / а у ну плп (2!) 0 = 8'+8,. Благодаря выполнению этого соотношения угол теристикой наклона.
Как связаны между собой новая н старая угол 8 и наклон Я, оси у относительно оси у? ~а 288г является простейшей харак- характеристики наклона— Ответ: (22) (по тригонометрическому определению функции тангенса; сы. рис. 29). < Наклон ОА относительно оси у > Де =Я= — = Ьу (1+За! ЫЛе'+Я„(1+да) '>>Лу' — Яа((+Я)-па аз ( (1+,уа)-'/а((у 6*'+ д„ау' (сокращение числителя и — у„ае'+ Ьу' знаменателя на (1+Ва) Н) З.ПАРАМЕТР СКОРОСТИ бт о 'М, '~~'Хг Р и с.
29. Связь между взввмным маклоном Я„осей у' н у двух евклндовых скстен коордкнзт н углом В„ между зтпмн осямн. Р н с. 28. Угол — удобная мера наклона осн у' относнтельноосн у. Удобство здесь в том, чтв углы нодчння<отся простому врзвнлу слвн<ення< 0 = 0' + В,. Закон сложения величин наклона в евклидовой геометрии гив=си(0'+Е,) = <И В'+ <я 0 =т-<00 <00„' (адднтпвность углов) (тригонометрия) (23) нли Я = , ' ° (тангенсы заыенены на величины наклонов) Я'+Яг т — х' хг Сравнивая сложный закон сложения тангенсов (величин наклона) с прос- тым законом сложения углов (8 = 9' + О,), мы убеждаемся в том, что угол — простейшая характеристика поворота. Закон сложения скоростей Что же будет простейшей характеристикой движения? Во всяком случае, не сама скорость, так как она не подчиняется простому закону слоя<ения.
Определим этот закон сложения скоростей, Пусть в системе отсчета ракеты будет в направлении вперед по ее движению выстрелена пуля со скоростью р' в этой системе (рис. 30): Число метров, нрвйденных в нвнрввленнн1 ( оск л' зв каждый ) аг' Л<' Метр времена <', нрошедшлй) ( но чвсвы оз ракете Воирос: как можно расшифровать закон сложения величин наклона, если исходить из того, что зги величины суть тангенсы углов< Ответ; $. ГВОМВТРИЯ ПРОСТРАНСТВА-ВРВМИНИ ей Относительно лаборатории ракета движется со скоростью ()„.
Чему равна скорость () пули относительно лаборатории, измеренная по решетке часов лабораторной системы отсчета) Ответ: зта скорость равна Чясле нетрое, пройдекяыя е шяреелеяки) ося» за каждый ( ) Ь» аа Метр ереыеяя а, прошедшей ) ( по часам е лаборатория +р"(~ б') ~~ — (преобразование Лоренца; формулы (16)) б,(1 — щ-'Нб*'+(( — р))-" аа' (в числителе и знаменателе произведено сокраацение на множитель (1 — Я) Ча) Ьх'+ р„бг' = ба~+аг (а»'/аг) + р, = р,(д»/аг)+( (чнслитель и анаменатель разделены на Ы') Окончательно р+а. ~= +кК (24) а/ +а/ а/ й 1 + (а/а)'(а/а> за/аа Вб 'з метрак лабораторного расстояния за метр светового времени по лаборатор- ныы часам).
Таким образом, релятивистский закон сложения скоростей (24) ~ арантнрует, что никакой объект не может быть приведен в движение се ско- ростью света. Ряс. 30. Мировая лянка пули, взобрежеякая ка дяаграмые простреле»ее-ереыеяя системы отсчета ракеты. Пуля быае ыапущева еяеред по деежеяаю Ракеты со скоростью Ь»' аа' Р' †, е системе отсчета Ракеты, (закон сложения скоростей). Иными словами, скорости не аддитивны. Лишь а предельном саучае, коедя скорости малы, две скорости р' и ()„могут рассматриваться как аддвтивные (с определенной степенью точности), если в знаменателе закона (24) произведением ()'()„можно пренебречь по сравнению с единицей (с той же самой степенью точности, например 1: 10 или 4:!Оа). /аримср нсаддитиености скоросяасйа пусть в момент выстрела ракета обладает скоростью, равной 3/4 скорости света; пусть пуля движется относительно ракеты со скоростью, равной 3/4 скорости света.
Чему будет равна скорость пули относительно лаборатории) Ответ: не 3/4 + 3/4 = 1,5 скорости света, а ». ПАРАмнтР скоРости Определим параметр скорости таким образом, чл«обы он был аддитиеным< Выяснив, что скорость сама по себе не аддитивна, мы предлагаем найтв новую меру движения — «параметр скорости» О, который должен быть адднтивным, т. е. с Параметр скорости Параметр скорости Параметр скорости пули относительно .. пули относительно + ракеты относительлаборатории ракеты но лаборатории или (25) 8=8'+О,.
Смысл этого параметра 0 будет совершенно иным, чем смысл угла, описывающего поворот. Ни на какой диаграмме параметр скорости нельзя изобразить в виде обычного угла, и вот по какой простой причине. Расстояния между точками на листе бумаги подчиняются законам евклидовой геометрии. Напротив, интервалы»<ен<ду событиями в физическом мире определяются лоренцевой геометрией пространства-времени.
Но если невозможно запечатлеть движущиеся пули и идущие часы на листе бумаги, то зто никоим образом не лишает реальности указанные функционирующие объекты. Так и невозможность изобразить на листе бумаги аддктнвность параметра скорости 0 не сможет нас смутить, но скорее заставит взглянуть на действительный л<нр быстрых частиц и физики высокой энергии с тем, чтобы увидеть там активное проявление закона сложения параметра скорости. Зтот закон сложения параметра скорости, 0 = 8' + О„, во всех отношениях столь же реален, как и закон сложения углов поворота.
Скорость равна тангенсу гиперболическому от параметра скорости б'+ () р =(+ — (уХ и требования аддитивности 8=6' (-О, мы получаем закон сложения ФЬО=«Ь(8'+0„) +, +,,„" + ' « (27) (см. определение (26)]. Как же связаны между собой скорость () и параметр скорости 87 Соответствующая формула аналогична формуле, выражающей связь между наклоном и углом наклона (через тангенс угла), и имеет вид р=1ЬО.
(26) Обозначение «Ь означает «тангенс гиперболический». Функция гиперболического тангенса, как и гиперболических синуса и косинуса (зЬ О и сЬ 8), причем 1Ь 6 = зЬ О/сЬ 8, обычны в математическом анализе. Таблицы всех этих трех функций можно найти в любом хорошем математическом справочнике. Их формальное определение дано в табл. 8. Тем не менее нам нет необходимости обращаться к этой таблице и к справочникам; ведь все, что нам требуется знать о функции сЬ О, можно без труда получить уже нз ее определения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
