Э.Ф. Тейлор, Дж.А. Уилер - Физика пространства-времени (1120533), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Эту ско- 1. гвомвтРия ПРостРАнстВА ВРВмвни оо рость непосредственно дает отношение координат х и 1, ави что х = р,1 х»=р) 1». или (17) Переый этап вывода преобразования Лоренца Временноподобный интереал, образованный х и 1, определяется временем жиани я-мазана в системе отсчета ракеты (где меаон покоится в точке х' = О) < Р— х»=Р» — х'» = /'а — О = т'„. или (Ч и с л е н н ы й и р и и е р: положим ()„= 12/13 скорости света; тогда 1 — Р'; =1 — 144/169 = 25/169 и (1 — Р»)-1/з = 13/5 = 2,6. Следовательно, время я<нани я-меаона, измеренное в лаборатории, в 2,6 рааа длиннее »собственного времени жизни», т. е.
оно в 2,6 раза длиннее, чем время жизни, измеренное в системе отсчета, связанной с самим мезоном.) расстояние, пройденное я-меаоном, равно времени движения, умноженному на скорость, так что х=р„г 5л' У1 — Р' Решение задачи о и-А<озоне Этим расчетом аавершается решение поставленной аадачи (найти координаты мировой точки распада и-мезона относительно мировой точки его рождения в лабораторной системе координат). Задача о я-меаоне служвла введением к об<пей задаче — найти коордиваты данного события в лабораторной системе, если авданы ого координаты в системе ракеты. Если мы покажем,что эта аадача равноаначна выводу формул преобрааования Лоренца, аначит, мы пришли к методу вывода этого преобрааования, исходя иа простейших предположений.
На самом деле, мы уже нашли два коэффициента из четырех в формулах преобрааования Лоренца< + Ах', 'Р'1 — й» х= +Вх. М Что касается остальных двух коэффициентов, временно обозначенных череа А и В, то о них мы ничего не уанали просто потому, что я-меаон все время покоился в точке х' = О в системе ракеты. Благодаря этому коэффициенты А и В могли иметь любые конечные значения при одном и том же решенив Подставим в эту формулу Я<» вместо х' ва основании уравнения (17).
Получим < <1 ~ т»зэ Или Р=— — аи — 1 6»~ 8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛОРЕНПА 88 ез 88 лз или (-Ал' ~ — ~ + Ве'~ =1'з — х'8, Р илп 1'8+ 2(А ~"н)еч +(Аз — Вз)х'8=1" — х'8. ъч=рГ (18) Это равенство не может выполняться для всевозможных г' и л', если только коэффициенты А и В не выбраны вполне определенным образом. Во-первых, эти коэффициенты должны быть такими, чтобы в левой части равенства (18) обратился в нуль множитель при х'«' (так как в правой части подобного члена нет).
Тогда А =()„В. Во-вторых, множители при ( — л") в левой и праной частях равенства (1 ) должны совпадать. Поэтому В« — А« =1. Мы получили дэа уравнения для двух неизвестных А и В; решая их, найдем А= Р. У~-р) Этим вычислением и завершается вывод формул преобразования Лоренца (16). Роль преобразоеанал Лоренца Новый — ковариаитный — подход имеет дело с компонентами пространственно-временного интервала — координатами л, 8 (16), а не с величиной самого интервала (15). Язык интервалов подобен универсальному языку: любой интервал одинаков для наблюдателей во всех системах отсчета.
Напротив, компоненты взаимного удаления событий в пространстве-времени, измеренные в одной системе отсчета,— это весьма частный язык для выражения такого удаления. По своей форме этот язык похож на тот частный язык, с помощью которого та же удаленность описывается в другой системе отсчета.
Ведь в обоих языках фигурируют «пространственные» и «временная компонентыз, Но само по себе зто обстоятельство еще ничего не дает для сравнения информации, которой располагают разные группы наблюдателей. Когда англичанин берет турецкую газету, ему не легче от знания того, что в турецком языке, как и в английском, есть глаголы и существительные! Ему нужен Конечный этап вывода преобразования Лоренца задачи о мезоне, Чтобы найти значения этих коэффициентов, мы перейдем от специального случая (события — распада Е) к более общему случаю — событию, происходящему в точке с произвольными координатами л и « . Мы вновь потребуем, чтобы величина интервала была одинаковой в лабораторной системе и в системе отсчета ракеты. Другими словами, потребуем выполнения равенства >. ГЕОМЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВА ВРЕМЕНИ еще и словарь. Так вот для перевода на свой язык информации о пространственных и временных координатах событий из других систем Отсчета наблюдателю тоже требуется словарь.
Этот словарь — формулы преобразования Лоренца (16). Аналогия: землемеры пользуются преобрааованпем евклидова пространства Подобный же словарь необходим и при гораздо более обычных обстоятельствах. Дневной вемлемер, определяющий север по магнитному компасу, ыожет перевести на свой язык намерения северной и восточной координат, сделанные ночным землемероь>, ориентирующимся по Полярной звезде. По не потребуется никакого словаря, если они будут сравнивать свои результаты, выраженные на универсальном языке расстояний.
Бросается в глаза различие между двумя методами — исходящим нз ивварнантов (расстояния — универсальный язык) и использующим компоненты (северную н восточную координаты, величины которых, определенпыс разными наблюдателямн, различны). Эту противоположность ннварнаптных н коварнантных величин иллюстрирует рис. 26. В притче о землеыерах студент сделал, как теперь обнаруживается, лшпь полдела. Он выяснил, как должен кап«дый землемер переводить свои результаты на универсальный язык расстояний: (Расстояние)з = (Лх)в+ (Лу)в = (Лх')в+ (Лу')в.
Однако он ве сформулировал того словаря, который необходим для перевода с дневного ва ночной язык и обратно величин ком>ганеят. Конечно, выводы студента были ценными, но ведь случается жс, когда дневной землемер должен знать не только величину расстояния ОА, ио и конкретные координаты (Лх, Лу) этого отрезка. При атом может оказаться, что по воле судеб ему недоступно прямое измерение этих компонент. Тогда в его распоря>кевин будут лишь данные о компонентах (Лх', Лр'), полученные прп нзмерешш ОА Р и с. 26.
Иоваряантиый подход к геометрии использует помпонеиты веаичин, например помпанснты вептара ОА . (Напротив, в пиварпаитиаы подходе используются длины, напримермер длина ОА. Танис длины имеют численные значения, не зависящие от выбора системы отсчета. Иначе говоря, любая длина одинакова независимо ат того, кта ее определяет — землемер, определяющий направление на север по Полярной звезде, нли землемер, нальзующнйсн магнитным компасом.) Пусть в одной системе значения яоыпаисит равны (г, у) = (7, 6), а в другов системе— (з', у') = (2, 9). (Вти числа соответствуют нашему чертежу.) Очевидно, что значения яоыпаиеит в двух системах отсчета различим. В самом деле, онп связаны завоиоы «навариаитиаг<> преобразования> з=(4/5) з'+ (3/5) у', у = — (3/5) з'+ (4/5) у', наторый в частном случае вектора ОА ааипсмвастсн и виде 7=(4/5) 2+ (3/5) ° 9, 6 = — (3/5) 2 —; (4!5) 9.
Приведенные здесь конкретные чпслеииь>е значения во«4у<нч«еяп>о«в закове преобразования связаны г тем нонпретиым ла«арамом, нотарый изображен иа чертеже. 8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛОРЕНЦА сз б~.~у~~ ф '~~ гУ Р и с. 27. Предстввлеипе произвол»мого вектора иаи геометрической суммы двух векторов, ивпрввлеииых соответственно вдоль осей у' и л'. Это представление использовано при выводе урввяеиий (19) закона преобрвзоввиия поворота (см. текст). его коллегои — иочныы землемером, Как же ему перевести ил~еющиеся в его распоряжении числа (Лх', Лу') на его «язык» и получить требуемые (Лх, Лу)? Каким должен быть словарь? И что должен он знать, чтобы быть з состоянии этот словарь составить? Вот ответ. Подобно тому, как для построения формул Евклидова преобразование поворота координатных осей преобразования Лоренца, переводящих (Лх', Лг') в (Лх, Л(), необходимо знать относительную око(»ость движения двух систем отсчета ()„для перевода компонент (Лх', Лу ) в (Лх, Лу) требуется знать величину наклона Я, прялюй Оу' относительно прямой Оу.
В примере, иаображенном ва рис. 26, наклон оси Оу' к оси Оу равен О„=»/,. Это значит, что при перемещении вверх по оси у ва 4 единицы необходимо сдвинуться от нее вправо на 3 единицы, чтобы оказаться ва оси у'. Если выразить через величину наклона 8, формулу преобразования поворота, мы получим 8.ау' Лх= + — ' Г (+б! )" (+ б! ~у' у'"(+8! + )" (+б! Доказательство. 1. Произвольный вектор (Лх', Лу') ыожет рассматриваться (см. рис. 27) как сумма вектора (Лх, 0), направленного вдоль оси х, и вектора (О, Лу ). направленного вдоль оси у'. Для общего доказательства справедливости ф~ рмул (19) достаточно удостовериться в том,что они верны по отдельности для этих двух векторов. 2.
Вектор, направленный вдоль оси у' и имеющий длину Лу', обладает относительно осей х и у компонентами, относящимися друг к другу как 5, по определению «наклона». Итак, — =Я Ле Г> илн 1. ГЕОМЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ (Ьх)з = Я*. (Ьу)а. 3. Расстояние от начала координат до конца вектора вмеет одну и ту же величину в обеих системах координат: (Ьх)'+ (Ьу)з = (Ь ')*+ (Ьу')з влн 8„(Ьу)з+(Ьу)з = О+(Ьу )1, или (Ьу) = — ',, (ЬР')1 1+ее влв, наконец, так что Ьх=8,Ьу= У' 1+уй'„ Сравнивая эти результаты с формуламв преобразования поворота (19), мы убеждаемся в правильноств коэффициентов при Ьу'. 4.
Аналогично рассмотрвм вектор, направленный вдоль оси х' и имеющий коьшоневты (Ьх, 0). Его компоненты вдоль осей у и х находятся друг к другу в отношевви Это равенство вьюсте с фактом инзарнантности длины (Ьх)1+(Ьу) =(Ь ')в+О приводит в ходе рассуждеввй, аналогичных предыдущим, к соотношениям Ьх= ив' У'1+8! л„ав' Тем самым мы проверили остальные дза коэффициента в формулах ($9) евкли- дова преобразовання поворота, Относительный наклон осей Б„в геометрии Евклида аналогичен относительной скорости р„в геометрии Лоренца Подводя итоги, моягно сказать, что коварнантное преобразование в геометрии Евклида от (Ьх', Ьу') к (Ьх, Ьу) с очевидностью аналогично преобразованию от (Ьх', ЬР) к (Ьх, Ьг) в лоренцевой геометрии реального физического мира.
Величина наклона Я, осей одной системы координат относительно соответствующих осей другой системы аналогична скорости ()„одной инерциальной системы отсчета относительно другой. Отношения катетов прямоугольного треугольника к его гвпотенузе в евклидовой геометрии 1 8 н )~~+я,' !" 1+8; э. плвлмвтг скоэоств заменяются в лоренцевой геометрии. выражениями $ „бе У$ — б! ~'1 †!' Противоположны лишь знаки прн 8'„и р„'в знаменателях этих выражений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
