Э.Ф. Тейлор, Дж.А. Уилер - Физика пространства-времени (1120533), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Разница в знаках в приведенных выше уравнениях вызвана произвольным (и асимметричным) выбором общего для обеих осей х положительного направления. е) Полученные выводы иногда выражаются в виде утверждения, что «наблюдатель на ракете обнаруживает рассинхронизовавность разных лабораторных часов между собой». Объясните, в чем ошибочность этой формулировки. Покажите, что для необходимых при этом измерений недостаточно одного-единственного наблюдателя яа ракете.
Как выразить полученные выше выводы беаупречво корректно, четко и ясно (хотя бы это окааалось значительно длиннее!)? 12. Евклидовы аналогии а) Пусть в плоскости ху евклидовой системы координат лежит прямой стержень. Начертите диаграмму, изображающую этот стержень в плоскости ху; постройте проекции стержня ва оси х, у н х', у'. Разбервте аналогию между различием в значениях х-компонент длины стержня, измеренных в двух повернутых относительно друг друга евклидовых свстемах координат, и различием в длине движущегося стержня, наблюдаемого в лабораторной системе отсчета, и покоящегося в системе ракеты стержня.
б) Разберите аналогию между замедлением времеви и иаменевием длины у-компоненты стержня при переходе между повернутыми друг отвоси- Ь ГВОМЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВА-ВРВМЕНИ тельно друга евклидовыми системами координат [см. часть (а)). Назовите инварианты геометрии Квклида и геометрии Лоренца. в) Разберите аналогию между относительной синхронизацией часов и случаем двух повернутых друг относительно друга евклидовых систем коордиват, когда точки ва положительной части оси х в одной системе координат будут иметь, скажем, отрицательные значения координаты у в другой системе (и тем более отрицательные, чем дальше мы будем уходить от пачала координат).
14. Замедление хода часов. 11 Два события происходят в одном и том же месте, во в разные момевты времеви в системе отсчета ракеты. Покажите, что Наблюдатель в лабораторной системе заключит, что промежуток времеви между этими двумя событиями будет больше в его системе, если измерит расстояние между событиями в лабораторной системе и разделит его ва величину относительной скорости движения систем. 16. Формулы преобразования Лоренца ео временем в секундах Пусть Время измеряется в секундах (пометкы это индексом; Г,„„), а Є— относительвая скорость лабораторной системы отсчета я системы ракеты, вырахсеввая в гс/сек.
Покажите, что формулы преобразования Лоренца принимают тогда вид х' =- х сЬ 8, — сз„„зЬ 8, = [/( — (~ф/сс) сс гесс з е (;,„= — — 'ВЬ8„+(, еЬ8„= )/с — (ссс/сг) (48) где — "=(Ь 8,. с Запишите в тех же обозначениях и обратное преобразование Лоренца. 16'.
Вывод формул преобразования Лоренца Воспользуйтесь следующим новым методом (принадлежащим эйвштейву) для вывода формул преобразования Лоренца. Пусть ракета равномерно движется со скоростью р„в направлении оси х в лабораторной системе отсчета. Координаты х', у', г', (' произвольвого события (например, взрыва) в системе отсчета ракеты взаимно одвозвачно связаны с коордиватамп х, у, г, ( атого же события, измеренными в лабораторной системе.
При атом у = у и г = з (расстояния в направлениях, перпендикулярных движению, совпадают в обеих системах), Что же касается связи между х, г и х', (', то предположим существование Аимейной зависимости х = ах'+Ь|', с = ех' + [с'. 13. Лореицево сокращение. П Пусть метровый стержень, покоящийся в системе отсчета ракеты, направлен вдоль оси х'. Покажите, что наблюдатель в лабораторией системе заключвт, что стержень претерпел лоревцево сокращение, если измерит время, за которое этот стержень пролетает мимо одних из часов лабораторной системы, и умкожит его Ва величину относительной скорости дав>кения систем. кпвлжннния к гл. 1 Здесь четверка коэффициентов а, Ь, е н ) 1) неизвестна, 2) не зависит ни от х, г, ви от х, г' и 3) зависит лишь от относительной скорости ()„движения этих двух систем отсчета. Найдите отношения Ыа, еаза, ~/а как функции скорости р„исходя лишь из следующих трех предположений: 1) световая вспышка, происшедптая в х = О, е = 0 (х = О, г = 0), распространяется енраео со скоростью света в обеих системах отсчета (х = е, х' = г'); 2) световая вспышка, происшедшая в х = О, е = 0 (х'= О, е' = 0), распространяется елеео со скоростью света в обеих системах отсчета (х = — е, х' = — г'); 3) точка х' =- О обладает в лабораторной системе отсчета скоростью р„.
Теперь используйте четвертое предположение — инвариантность интервала (равд. 5): 4) ее — х' = (г')' — (х')' и найдите с его помощью величину постоянной а, а тем самым значения всех 4 коэффициентов а, Ь, е и ). Согласуются ли полученные таким путем результаты с лоренцеоыми значениями коэффициентов преобразованияу 17 . Собственная дивна и собственное время а) Пусть два события Р и () разделены пространственноподобным интервалом.
Покажите, что можно найти такую систему отсчета ракеты, в которой оба события произошли одноеременно. Покажите также, что в этой системе отсчета ракеты расстояние между данными событиями равно собственному расстоянию о между ними. (Один нз путей: предположим, что такая система отсчета действительно существует, а затем с помощью формул преобразования Лоренца покажем, что относительная скорость этой системы меньше скорости света (р„(1), что и оправдывает сделанное предположение). б) Пусть два события Р и А разделены временноподобным интервалом. Покажите, что можно найти такую систему отсчета ракеты, в которой оба события произошли е одном и том же месте. Покажите также, что в этой системе отсчета ракеты промежуток времени между данными событиями равен промежутку собственного времеви т между ними.
18 . Плавность обоюдного согласия В каждый момент имеется лишь одна плоскость, на которой показания часов лаборатории и ракеты совпадают. Покажите, что скорость движения втой плоскости в лабораторной системе отсчета равна 1Ь (О,/2), где 0„— параметр относительной скорости лабораторной системы отсчета и системы ракеты. 19».
Преобразование углов Метровый стержень покоится в системе отсчета ракеты под углом ф' с осью х . Под каким углом ф ориентирован тот же метровый стержень и оси х лабораторной системы отсчета) Чему равна длина этого стержня, наблюдаемая в лабораторной системе отсчета? Предположим теперь, что направления электрических силовых линий вокруг точечного заряд» преобразуются так же, как направление метрового стержня, направленного вдоль той же линии. Качественно изобразите электрические силовые линии изолированного точечного положительного заряда, покоящегося в системе отсчета ракеты, если их рассматривать: а) в системе отсчета ракеты и б) в лабораторной системе отсчета.
Какие отсюда можно получить выводы о силах, действующих в лабораторной системе отсчета на покоящиеся в этой системе пробные заряды, окружающие наш движущийся заряд7 20'. Преобразовавве скорости вдоль оси у Пусть частица движется с постоянной скоростью ()гг = —, в направое' дс' ленин оси у' в системе отсчета ракеты. Преобразуйте компоненты ее смещения у и е, пользуясь формулами преобразования Лоренца.
Покажите, что х- и у-компоненты скорости этой частицы выражаются в лабораторяой г гвомвтгия пгостглнствл-ВРБмени 92 системе отсчета как (49) ~г Р' сЛ 9> 21 '. Преобразование направлений скоростей Пусть частица движется со скоростью р в плоскости х у в системе отсчета ракеты, и направление ее движения образует угол г?' с осью х'. Найти угол, который образует направление скорости этой частицы с осью х в лабораторпой системе отсчета. (Совет: преобразовать не скорости, а смещения.) Почему получаемый угол будет иным, чем найденный в упражнении 19? Сравните эти результаты в предположении, что скорость ракеты относительно лабораторной системы отсчета весьма велика. 22". Эффект «прожектора» Световая вспышка испущена под углом у' к оси х' в системе отсчета ракеты.
Показать, что угол у направления распространения этой вспышки по отношению к оси х в лабораторной системе отсчета дается уравнением '" '~'+р (50) Показать, что этот результат можно получить из решения предыдущего упражнения, положив в нем скорость р' равной единице. Рассмотрите затем частицу, покоящуюся в системе отсчета ракеты и равномерно излучающую свет во всех направлениях. Рассмотрите те 50»А света, которые эта частица излучает в переднюю полусферу в системе отсчета ракеты. Примите также, что ракета двингется относительно лабораторной системы отсчета весьма быстро. Требуется показать, что в лабораторной системе отсчета этот свет сконцентрируется в узкий конус, направленный «перед по движению, с осью, совпадающей с направлением движения частицы. Это явление нааывается зф4ектозз «лрожектораэ.
В. ЗАГАДКИ И ПАРАДОКСЫ 23. Парадокс эйиштейновского поезда — подробный пример Пусть на поеаде, движущемся со скоростью р„, близкой к единице, едут три человека (А, О и В). А едет в голове поезда, О в середине, а В— в хвосте (рис. 39). На земле около железнодорожного пути стоит четвертый человек, О'. В тот самый момент, когда О проезжает мимо О', сигналы ламп вспышек от А и В достигают О и О'. Кто первым послал сигнал? Пользуясь только тем фактом, что скорость света конечна и не зависит от скорости движения его источника, покажите, что О и О ответят на этот вопрос по-равному.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
